不重合的两条直线的位置关系

空间两条直线的位置关系

空间直线的位置关系

空间两条直线的位置关系

一、空间两直线的位置关系观察正方体的图形，并指出直线AB、BB’、 CD’与直线C’D’的位置关系如何？ 1、相交——有且只有一个公共点； A' 如：CD’与C’D’是相交关系。2、平行——在同一平面内，没有公共点； 如：AB与C’D’是平行关系。A B

D'B' D

C'

C

3、异面——(既不相交又不平行)不在任何一 平面内，没有公共点； 如：BB’与C’D’是异面直线。

空间两条直线的位置关系

二、平行直线：【公理4】平行于同一直线的两条直线平行。 表示为a∥b,b∥c =>a∥c。(请举例)(书例 1) 例:已知四边形ABCD是空间四边形，E、 H分别是AB、AD的中点，F、G分别是 CF CG 2 边CB、CD上的点，且 CB CD 3 求证：四边形EFGH是梯形。

空间两条直线的位置关系

初中我们学过，如果一个角的两边分别平行另一个 角的两边，那么这两个角的关系如何？引申：如果在空间的两个角的两边分别平行，且方 向相同那么这两个角的关系又是什么样的呢？ 〖等角定理〗如果一个角的两边和另一个角的两边分别 平行，且方向相同，那么这两个角相等。 〖书中定理〗如果一个角的两边和另

§9.2 两条直线的位置关系

教学目标

1、掌握两条直线平行或重合的 条件以及平行直线的表示方法 2、能够运用直线平行的条件判 断直线间关系，求平行直线。

3、培养学生灵活运用解决问题 的能力。

1、平面内两条直线的位置 关系有哪几种？ 平行、重合、相交

2、两条不重合直线的倾斜角 相等，这两条直线的位置关系 如何？平行

3、当直线 l1 和 l2 有斜截式方程l1:y = k1 x +b 1,l2: y

= k2 x +b 2

直线 l1 ∥l2 的充要条件是 k1= k2 且 b1≠b2 .

讨论已知直线 l1 : A1x+B1y+C1= 0 l2 : A2x+B2y+C2= 0

那么直线平行(或重合 )的充要 条件是什么？

总结平行或重合 平行： 重合： 相交 A B1 1 A2 B2

A B1 C1 1 A2 B2 C2 A B C 1 1 1 A2 B2 C2A B1 1 A2 B2

例1.判断直线l1 :2x -4y +7= 0, l2 :x-2y +5 = 0 位置关系解：因为2 4 7 1 2 5

所以 L1 与 L2 平行

判断下列直线位置关系

学 生 练 习

1、2x+y-9=0与2x-y+5=0

§9.2 两条直线的位置关系

教学目标

1、掌握两条直线平行或重合的 条件以及平行直线的表示方法 2、能够运用直线平行的条件判 断直线间关系，求平行直线。

3、培养学生灵活运用解决问题 的能力。

1、平面内两条直线的位置 关系有哪几种？ 平行、重合、相交

2、两条不重合直线的倾斜角 相等，这两条直线的位置关系 如何？平行

3、当直线 l1 和 l2 有斜截式方程l1:y = k1 x +b 1,l2: y

= k2 x +b 2

直线 l1 ∥l2 的充要条件是 k1= k2 且 b1≠b2 .

讨论已知直线 l1 : A1x+B1y+C1= 0 l2 : A2x+B2y+C2= 0

那么直线平行(或重合 )的充要 条件是什么？

总结平行或重合 平行： 重合： 相交 A B1 1 A2 B2

A B1 C1 1 A2 B2 C2 A B C 1 1 1 A2 B2 C2A B1 1 A2 B2

例1.判断直线l1 :2x -4y +7= 0, l2 :x-2y +5 = 0 位置关系解：因为2 4 7 1 2 5

所以 L1 与 L2 平行

判断下列直线位置关系

学 生 练 习

1、2x+y-9=0与2x-y+5=0

【课时】第26课时

【课题】空间两条直线的位置关系（1）

【主备人】

【目标】1、了解空间中直线与直线的位置关系；

2、理解平行公理4，并会利用平行的传递性证明线线平行；

3、掌握等角定理内容并会应用．

【重点】平行公理及等角定理．

【难点】平行公理及等角定理的应用．

【教学过程】

一、问题情境：

1、平面几何中两直线的位置关系？

2、学生用自己手中的笔作为两条直线摆一摆，并观察，空间两直线的位置关系有哪些？教室内或下面图形中有哪些直线实例？有什么位置关系？

C1

A1

C

二、探索研究与建构数学（学生活动）：

1、学生讨论，归纳：

2、建构数学：

（1）问题：在平面几何中，同一平面内的三条直线a，b，c，如果a

∥b且b∥c，那么a∥c，这个性质在空间是否成立呢？

观察下面的长方体和圆柱：

B1 1 1

A1

B

归纳小结：

公理4： ．

思考：经过直线外一点，有几条直线和这条直线平行？

（2）问题：在平面中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。这一结论在空间成立吗？ 引导学生观察上图中的∠BEF和∠B1A1C1的关系归纳：

定理（等角定理）：

9.2 两条直线的位置关系

一、填空题

1．已知直线l1经过两点(－2,3)，(－2，－1)，直线l2经过两点(2,1)， (a，－5)，且l1∥l2，则a＝________.

解析 由题意知直线l1的倾斜角为90°，而l1∥l2，所以直线l2的倾斜角也为90°，又直线l2经过两点(2,1)，(a，－5)，所以a＝2. 答案 2

2．若三条直线l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4不能围成三角形，则实数m的取值最多有________个．

解析 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一1

点．若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－l2∥l3，则m的值不存在；若

62

三条直线相交于同一点，则m＝－1或，故实数m的取值最多有4个．

3答案 4

3．若三条直线x＋y＋1＝0,2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则实数a满足的条件是________．

1

解析 当三条直线交于一点时，a＝；当x＋y＋1＝0与ax＋3y－5＝0平行时，

3

a＝3；当2x－y＋8＝0与ax＋3y－5＝0平行时，a＝－6. 1

故a满足的条件是a≠a≠－6且a≠3.

31

答案 a≠且a≠－6且a≠3

3

4．若

2019-2020学年高一数学必修二

第二节:两条直线的位置关系

1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：

①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. (2)两条直线垂直：

①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2?k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 2．两条直线的交点的求法

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组

?A1x＋B1y＋C1＝0，??的解． ??A2x＋B2y＋C2＝0

3．三种距离公式

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离 |P1P2|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2 |Ax0＋By0＋C|d＝ A2＋B2d＝|C1－C2| A2＋B2点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2?l1

两条直线的位置关系综合练习题及答案

（一）知识梳理:

1、两直线的位置关系

（1）平行的判断：

①当1（2有斜截式（或点斜式）方程 l i : y k i x b i ," : y k ?x b ? 则 h 〃l 2

_k 1 k 2,b! b^ ②当 hl 有一般式方程：l i ：A i X

B i y

C i 0,l 2 : A ?x B ?y C ? 0， （2）垂直的判断:

3、点到直线的距离:

（2）两平行直线间的距离求法:

（二）例题讲解：

例I 、（ I ）已知直线I 的方程为3x 4y I2 0,求与I 平行且过点 i,3的直线方程；

（2）已知直线l i ：2x 3y I0 0,l 2:3x 4y 2

0，求过直线l i 和l 2的交点，且与直线l 3: 3x 垂直的直线l 方程. 则l i l 2 _ l i : y k i x dh : y

k 2x b 2_- ②当l i ,l 2 有 -般式方程： l i : A i x

B i y

C i 0,〔2 ： A 2x B 2y C 20 ， 则l i l 2 _AA B i B 2 0_

2、两条直线的交点

①当l i 」2有斜截式（或点斜式）方程 l i : y k i x b

新授课

3.3.1两条直线的交点坐标

1. 知识与技能

会求利用二元一次方程组的解的情况来判断直线和直线是否相交，并能熟练地求出交点.

2. 过程和方法

1）经历两直线交点坐标的求法，会初步判断两直线位置关系：相交或平行.

2）学会用代数方程的解来研究平面中两条直线的位置关系. 3. 情感、态度和价值观

感受用代数方法研究几何问题的方便,增强学习解析几何学的信心.

教学重点：判断两直线是否相交，求交点坐标 教学难点：两直线相交与二元一次方程的关系

教学 数形结合——讲解两直线的交点与方程组解得关系——讲解例题

设计： 教 一．情境设置，导入新课

学 给出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置过 关系。

程：

课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？ 二．讲授新课

1． 分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系 已知两直线 L1：A1x+B1y +C1=0,L2：A2x+B2y+C2=0 如何判断这两条直线的关系？

教师引导学生先从点与直线的位置关系

【课题】8．3 两条直线的位置关系（二）

【教学目标】

知识目标：

（1）掌握两条直线平行的条件； （2）能应用点到直线的距离公式解题． 能力目标：

培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力．

【教学重点】

两条直线的位置关系，点到直线的距离公式．

【教学难点】

两条直线的位置关系的判断及应用．

【教学设计】

与倾角的定义相类似，本教材将两条直线夹角的定义建立在任意角定义的基础上．两条直线相交所形成的最小正角叫做这两条直线的夹角．同时规定，两条直线平行或重合时两条直线的夹角为零角，这样两条直线的夹角的范围是?0,90?．

??教材采用“数形结合”、“看图说话”的方法，导入两条直线垂直的条件，过程简单易懂．两条直线垂直的实质就是这两条直线的夹角为90．运用垂直条件时，要注意斜率不存在的情况．

例4是巩固性题目．属于基础性题．首先将直线的方程化为斜截式方程，再根据斜率判断两条直线垂直是本套教材判断两条直线垂直的主要方法．

例5是利用垂直条件求直线的方程的题目，属于基础性题．首先利用垂直条件求出直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后将方程化为一般式方程．这一系列解题程序，蕴含着“解析法”的思想方法．

需要强调，点到直线的距离公式中的直线方

空间中两条直线的位置关系

二、重难点提示

重点：异面直线的概念、异面直线所成的角及其求法，公理4的运用。

难点：异面直线概念的理解与求法。

考点一：空间中两条直线的位置关系

【要点诠释】

1. 若无特别说明，本书中的两条直线均指不重合的两条直线。

2. 异面直线定义中“不同在任何一个平面内”是指“不可能找到一个平面能同时包含这两条直线”，也可理解为“这两条直线不能确定一个平面”不可误解为“分别在两个平面内的两条直线”。

3. 异面直线的判定方法：

①定义法：不同在任何一个平面内的两条直线。

②定理法：“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线”。

符号表示：若l?α，A?α，B∈α，B?l，则直线AB与l是异面直线。

③排除法：其核心思想是反证法。

4. 异面直线所成角

（1）定义：已知两条异面直线a，b经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我

1

2 们把直线a ′和b ′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a ，b 所成的角。

（2）异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°。

（3）若两条异面直线a ，b 所成角是直角，就称异面直线a ，b 互相垂直，记作a ⊥b 。

5. 异面直线的画法：以辅助平面衬托不共面的特征。可画成下列情况：

考点二