数学分析第十章定积分的应用总结

数学分析教案 (华东师大版)第十章定积分的应用

第十章 定积分的应用

教学要求：

1. 理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；

2. 熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等

教学时数：10学时

§ 1 平面图形的面积 （ 2 时 ）

教学要求：

1. 理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；

2. 熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积

一、组织教学：

二、讲授新课：

（一）直角坐标系下平面图形的面积 ：

1.简单图形：

型和

型平面图形 .

型和

2.简单图形的面积 : 给出

型平面图形的面积公式.

数学分析教案 (华东师大版)第十章定积分的应用

对由曲线和

围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图 形的几何特征简化计算.

例1 求由曲线

围成的平面图形的面积. 例2 求

第一篇 分析基础

1.1收敛序列

（收敛序列的定义）

定义：设}{n x 是实数序列，a 是实数，如果对任意0>ε都存在自然数N ，使得只要N n >，就有

ε<-a x n

那么}{n x 收敛，且以a 为极限，称为序列}{n x 收敛收敛于a ，记为

a x n =lim 或者)(+∞→→n a x n

定理1：如果序列}{n x 有极限，那么它的极限是唯一的。 定理2（夹逼原理）：设}{n x ，}{n y 和}{n z 都是实数序列，满足条件

N n z y x n n n ∈?≤≤,

如果a z x n n ==lim lim ，那么}{n y 也是收敛序列，且有

a y n =lim

定理3：设}{n x 是实数序列，a 是实数，则以下三陈述等价

（1） 序列}{n x 以a 为极限；

（2） {}n x a -是无穷小序列；

（3） 存在无穷小序列{}n a 使得

,

1,2,.n n x a a n =+=

（收敛序列性质）

定理4：收敛序列}{n x 是有界的。 定理5： （1）设a x n =lim ，则a x n =lim 。

（2）设a x n =lim ，b y n =lim ，则b a y x n n ±=±)l

第一篇 分析基础

1.1收敛序列

（收敛序列的定义）

定义：设}{n x 是实数序列，a 是实数，如果对任意0>ε都存在自然数N ，使得只要N n >，就有

ε<-a x n

那么}{n x 收敛，且以a 为极限，称为序列}{n x 收敛收敛于a ，记为

a x n =lim 或者)(+∞→→n a x n

定理1：如果序列}{n x 有极限，那么它的极限是唯一的。 定理2（夹逼原理）：设}{n x ，}{n y 和}{n z 都是实数序列，满足条件

N n z y x n n n ∈?≤≤,

如果a z x n n ==lim lim ，那么}{n y 也是收敛序列，且有

a y n =lim

定理3：设}{n x 是实数序列，a 是实数，则以下三陈述等价

（1） 序列}{n x 以a 为极限；

（2） {}n x a -是无穷小序列；

（3） 存在无穷小序列{}n a 使得

,

1,2,.n n x a a n =+=

（收敛序列性质）

定理4：收敛序列}{n x 是有界的。 定理5： （1）设a x n =lim ，则a x n =lim 。

（2）设a x n =lim ，b y n =lim ，则b a y x n n ±=±)l

第十章 曲线积分与曲面积分

10.1 对弧长的曲线积分

一、求曲线x?ecost,y?esint,z?e从t?0到任意点间的那段弧的质量，设

它各点的密度与该点到原点的距离的平方成反比，且在点(1,0,1)处的密度为

ttt1。

（ 二、计算下列曲线积分：

3(1?1)te）

1.

?L2yds32?x?a(t?sint)?，其中L为旋轮线：?y?a(1?cost)（0?t???）。

（4?a）

(x?y)ds?2. ，其中L是顶点为O(0,0),A(1,0),B(0,1)的三角形边界。

L （1?2）

3.

?eLx2?y2ds，其中L是由极坐标曲线

界

r?a,??0,????所围成的区域的

边曲线。

（

2(ea?1)???aea）

(x?y?z)ds?4. ，其中L由直线AB：A(1,1,0),B(1,0,0)及螺线

L3?22??x?cost,y?sint,z?t(0?t?2?)组成。 （2）

22cosx?yds?L三、 计算

第

，其中L是由y?x,y?限

部

分

的

R2?x2,y?0所围成的

边

界

一象。

（

2sinR???2Rc

第十章 曲线积分与曲面积分

1．计算下列对弧长的曲线积分： (1) ?Cxsinyds，其中C

?x?3t为??y?t，(0≤t≤1)；

?x?acost?y?asint2(x(2) ??C?y)ds2，其中C为圆周?，(0≤t≤2π)；

(3) ?C(4) ?Cyds2，其中C

?x?a(t?sint)为摆线?的第一拱(0≤t≤2π)；

y?a(1?cost)?yds，其中

C为抛物线y2=2x上由点(0，0)到点(2，2)之间的一段弧；

(5) ?(x?C(6) ?C(7) ?C2y)ds2，其中C为以O(0，0)，A(1，0)，B(0，1)为顶点的三角形的边界； ，其中C为圆周x2+y2=ax(a>0)；

?x?tcost?为圆锥螺线?y?tsint?z?t?222x?ydszds，其中C从t =0到t =1的一段；

(8) ?C解

xds2，其中C

??x?y?z?4为圆周???z?3

：

(1)

10答

xsinyds??C? 1 03tsint3?1dt?310?tsintdt?310(?tcost 022 1?? 1 0costdt)

2(x(2) ??C2?310(si?n1c；o s1)223?y)ds??2?0a2(?asint)?(

1

第十章 曲线积分与曲面积分

§10.1 第一类曲线积分

内容概要

名称 1.平面曲线：2.空间曲线：1. 若L常用的性质 2. 主要内容 第一类曲线积分 ?Lf(x,y)ds ??f(x,y,z)ds LL1?L1?L2,则?????L2 ?ds?L的弧长 L1.L:??x?x(t)，??t??，其中x(t),y(t)具有一阶连续的导数，则 y?y(t)? ds?x?2?y?2dt， ??Lf(x,y)ds??f[x(t),y(t)]x?(t)2?y?(t)2dt ??2. 计算 (平面曲线) 3. L:y?f(x)， a?x?b，其中f(x)具有一阶连续的导数，则 f(x,y)ds??f[x,f(x)]1?f?(x)2dx abds?1?y?2dx， LL:x?f(y)，c?y?d2，其中f(y)具有一阶连续的导数，则 dds?1?x?dy， 4．L:r??Lf(x,y)ds??f[f(y),y]1?f?(y)2dy c?r(?)，?????，则ds?r2?r?2d? ?Lf(x,y)ds???f(rcos?,rsin?)r2?(r?)2d??x?x(t)??:?y?y(t),??t??，其中x(t),y(t),z(

第十章 重积分

一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数f?x?在区间??a,b??上的定积分，并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形，便得到重积分的概念. 本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用.

第1节 二重积分的概念与性质

1.1 二重积分的概念

下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义.

1.1.1. 曲顶柱体的体积

曲顶柱体是指这样的立体，它的底是xOy平面上的一个有界闭区域D，其侧面是以D的边界为准线的母线平行于z轴的柱面，其顶部是在区域D上的连续函数z?f?x,y?，且f?x,y??0所表示的曲面（图10—1）.

图10—1

现在讨论如何求曲顶柱体的体积.

分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决（图10—2）.

图10—2

(1)分割闭区域D为n个小闭区域

??1,??2,?,??n,

1

同时也用Δσi表示第i个小闭区域的面积，用d?Δσi?表示区域Δσi的直径（一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值），相应地此曲顶柱体被分为n个小

第十章 重积分

一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数f?x?在区间??a,b??上的定积分，并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形，便得到重积分的概念. 本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用.

第1节 二重积分的概念与性质

1.1 二重积分的概念

下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义. 1.1.1. 曲顶柱体的体积

曲顶柱体是指这样的立体，它的底是xOy平面上的一个有界闭区域D，其侧面是以D的边界为准线的母线平行于z轴的柱面，其顶部是在区域D上的连续函数z?f?x,y?，且

f?x,y??0所表示的曲面（图

10—1）.

图10—1

现在讨论如何求曲顶柱体的体积.

分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决（图10—2）.

图10—2

(1)分割闭区域D为n个小闭区域

同时也用Δσi表示第i个小闭区域的面积，用d?Δσi?表示区域Δσi的直径（一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值），相应地此曲顶柱体被分为n个小曲顶柱体.

(2)在每个小闭区域上任取一点

对第i个小曲

1

第十章 曲线积分与曲面积分

§10.1 第一类曲线积分

内容概要 名称 1.平面曲线：2.空间曲线：1. 若L常用的性质 2. 主要内容 第一类曲线积分 ??Lf(x,y)ds f(x,y,z)ds L??L1?L2,则????L1?L2 ?ds?L的弧长 L1.L:??x?x(t)，??t??，其中x(t),y(t)具有一阶连续的导数，则 ?y?y(t) ds?x?2?y?2dt， ??Lf(x,y)ds??f[x(t),y(t)]x?(t)2?y?(t)2dt ??2. 计算 (平面曲线) 3. L:y?f(x)， a?x?b，其中f(x)具有一阶连续的导数，则 Lds?1?y?2dx， f(x,y)ds??f[x,f(x)]1?f?(x)2dx abL:x?f(y)，c?y?d，其中f(y)具有一阶连续的导数，则 2ds?1?x?dy， 4．L:r??Lf(x,y)ds??f[f(y),y]1?f?(y)2dy cd?r(?)，?????，则ds?r2?r?2d? f(x,y)ds???f(rcos?,rsin?)r2?(r?)2d? ?L?x?x(t)??:?y?y(t),??t??，其中x(t),y(t),z(

1

第十章 曲线积分与曲面积分

§10.1 第一类曲线积分

内容概要 名称 1.平面曲线：2.空间曲线：1. 若L常用的性质 2. 主要内容 第一类曲线积分 ??Lf(x,y)ds f(x,y,z)ds L??L1?L2,则????L1?L2 ?ds?L的弧长 L1.L:??x?x(t)，??t??，其中x(t),y(t)具有一阶连续的导数，则 ?y?y(t) ds?x?2?y?2dt， ??Lf(x,y)ds??f[x(t),y(t)]x?(t)2?y?(t)2dt ??2. 计算 (平面曲线) 3. L:y?f(x)， a?x?b，其中f(x)具有一阶连续的导数，则 Lds?1?y?2dx， f(x,y)ds??f[x,f(x)]1?f?(x)2dx abL:x?f(y)，c?y?d，其中f(y)具有一阶连续的导数，则 2ds?1?x?dy， 4．L:r??Lf(x,y)ds??f[f(y),y]1?f?(y)2dy cd?r(?)，?????，则ds?r2?r?2d? f(x,y)ds???f(rcos?,rsin?)r2?(r?)2d? ?L?x?x(t)??:?y?y(t),??t??，其中x(t),y(t),z(