有实根的判别式

围场卉原初中初三数学导学案N0２2. 编制人：李建利 刘海龙 鲁秀峰 霍志科 孙松峰 审核： 包科组长签字： 时间：2010. 姓名： 层次: 评价区：

一元二次方程的根的判别式练习学案

教学目标：1、了解一元二次方程的根的判别式的产生过程；

2、能运用根的判别式判别方程根的情况，会进行有关的推理论证； 3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；

4、激情投入,阳光展示。

一、导学部分

1、一般地，式子 2、若 则 ，方程有两个不相等的实数根 若，则方程有两个相等的实数根 若，则方程没有实数根。 二、学习新知

例1：不解方程判别下列方程根的情况

1 2x2 3x 4 0 2 16y2 9 24y 3 5 x2 1 7x 0

4 x2 k2 0

例2：求证关于x的方程 m2 1 x2 2mx m2 4 0没有实数根

三、巩固提高 （一）、选择题

1. （2009年台湾）若a、b为方程式x2

4(x 1)=1的两根，且a＞b，则a=（ ）

A．－5 B．－

用判别式法法求值域

一、 判别式法

分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型

对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。

二、例题讲解

1、求函数y 2x

x22 4x 7 2x 3的值域。

由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：xy 2xy 3y 2x 4x 7整理得：(y 2)x 2(y 2)x 3y 7 0当y 2时，上式可以看成关于x的二次方程，该方程的x范围应该满足f(x) x 2x 3 0即x R此时方程有实根即△ 0，△ 2(y 2)] 4(y 2)(3y 7) 0 y [ 222229

2,2]. 注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是y 2,y

将y 2,y

2、求函数y 9229292）代回方程检验。 ,2)。 分别代入检验得y 2不符合方程，所以y [ x 1x 2x 2的值域。

2解答：先将此函数化成隐函数的形式得：yx (2y 1)x 2y 1 0，(1)

这是一个关于x的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方

这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习

韦达定理与根的判别式

知识点：

1、根的判别式b2

4ac

（1）b2

4ac 0 ，方程有两个不相等的实数根； （2）b2 4ac 0，方程有两个相等的实数根； （3）b2 4ac 0，方程没有实数根； 2、韦达定理

已知x1,x2是一元二次方程的两根，则有

xb1 x2

a

x1x2

ca

例1：已知一元二次方程x2

2x m 1 0 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设x2

1,x2是方程的两个实数根，且满足x1 x1x2 1，求m的值 练习：

1

、方程x2

3 0的根的情况是（ ）

A有两个不等的有理实根 B有两个相等的有理实根 C有两个不等的无理实根 D有两个相等的无理实根 2、已知x2

1,x2是方程2x 3x 4 0的两个根，则（ ） A x331 x2 2 ，x1x2 2 B x1 x2 2 ，x1x2 2 C x1 x32

2

，x1x2 2 D x31 x2

2

，x1x2 2

3

、已知方程x2 2 0，则此方程（ ）

A 无实数根 B

两根之和为 C两根之积为2

D

有一根为2

判别式与韦达定理

根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论.

1． 判别式的应用

2

例1 已知实数a、b、c、R、P满足条件PR＞1，Pc+2b+Ra=0.求证：一元二次方程ax+2bx+c=0必有实根.

2

证明 △=（2b）-4ac.①若一元二次方程有实根，

必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra），代入①，得

2

△ =（Pc+Ra）-4ac

22

=（Pc）+2PcRa+（Ra）-4ac

2

=（Pc-Ra）+4ac（PR-1）.

∵（Pc-Ra）2≥0，又PR＞1，a≠0， （1）当ac≥0时，有△≥0；

2

（2）当ac＜0时，有△=（2b）-4ac＞0.

2

（1）、（2）证明了△≥0，故方程ax+2bx+c=0必有实数根.

例2 k是实数，O是数轴的原点，A是数轴上的点，它的坐标是正数a.P是数轴上另一点,坐

2

标是x,x＜a，且OP=k·PA·OA.

（1） k为何值时，x有两个解x1，x2（设x1＜x2）；

（2） 若k＞1，把x1，x2，0，a按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接.

2

解 （1）由已知可得x=k

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根的判别式

【例1】当m取什么值时，关于x的方程x2 2(2m 1)x (2m 2)2 0。

（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。

答案：（1）m

34

；（2）m

34

；（3）m

34

【例2】求证：无论m取何值，方程9x2 (m 7)x m 3 0都有两个不相等的实根。 分析：列出△的代数式，证其恒大于零。解略。

【例3】当m为什么值时，关于x的方程(m2 4)x2 2(m 1)x 1 0有实根。

分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分m2 4＝0和m2 4≠0两种情形讨论。

略解：当m2 4＝0即m 2时，2(m 1)≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当m2 4≠0即m 2时，方程有根的条件是：

△＝ 2(m 1) 4(m2 4) 8m 20≥0，解得m≥

2

52

52

∴当m≥ 一、填空题：

52

且m 2时，方程有实根。综上所述：当m≥

习题（一）

时，方程有实根。

1、下列方程①x2 1 0；②x2 x 0；③x2 x 1 0；④x2 x 0中，无实根的方程是 2、已知关于x的方程x2 mx 2 0有两个相等的实数根，那么m的值是

辅导资料

根的判别式与根与系数的关系

知识点一:

根的判别式：关于x的方程ax2?bx?c?0(a?0)， （1）当b2?4ac?0?方程有 的实数根。 （2）当b2?4ac?0?方程有 的实数根。 （3）当b2?4ac?0?方程有 的实数根。 常见题型：

★利用判别式判断一元二次方程根的情况 1、不解方程，判断下列方程根的情况：

（1）2x2?3x?4?0 （2）3x2?2?26x （3）

2、m为什么值时，关于x的方程2x2?(4m?1)x?2m2?1?0 ， （1）方程有两个不相等的实数根? （2）方程有两个相等的实数根? （3）方程没有实数根?

3、m为什么值时，关于x的方程(m?1)x2?(1?2x)m?2 ， （1）方程有两个不相等的实数根? （2）方程有两个相等的实数根? （3）方程没有实数根?

4、求证：关于x的方程x2?(m?2)x?2m?1?0 没有实数根。

32x?1?222x

辅导资料

5、求证：关于x的方程(k2?1)x2?2kx?k2?4?0 没有实数根。

★★根据方程根的情况，确定

姐妹情深----判别式与韦达定理

【知识要点】

一、一元二次方程判别式

1．一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 根的判别式 b2 4ac， 利用它可以判断一元二次方程的根的情况，即： ① 0 方程有两个不相等的实数根； ② 0 方程有两个相等的实数根； ③ 0 方程没有实数根．

二、一元二次方程根与系数的关系 （韦达定理）

bc

1．如果 x1,x2是方程ax2 bx c 0(a 0)的两个根，则x1 x2 .x1x2 .

aa

特别的，当一元二次方程的二次项系数为1时，如 x1,x2是方程x2 bx c 0的两个根时，则

x1 x2 b，x1x2 c.

三、一元二次方程根与系数的关系的应用

1．利用根与系数的关系求有关根的代数表达式的值，如求x1 x2,

2

2

11

,(x1 x2)2,x1 x2及相关x1x2

变形式。

2．已知两根或它们之间的关系构造一元二次方程

以两个数x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x x1 x2 x x1x2 0．一般地，如果

b

x x 2 1a

有两个数x1,x2满足 那么x1,x2必定是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两个实

xx c12 a

数根．（韦达定理的逆定理）

3．一元二次方程判别式与

一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理

一、根的判别式

1.一元二次方程根的判别式的定义：

运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a

-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开

平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ?=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．

2.判别式与根的关系：

在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ?=-确定．

判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ?=-则

①0?>?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =． ②0?=?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a

==-

． ③0?

若?为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．

说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方

程有两

4数学通讯　　　　　　　　　　　　　2001年第20期

用判别式法求函数值域的几点思考

邱　旭

(成都市第十八中学,四川610072)

(其中a2+d2≠　　形如y=2

dx+ex+f

0)的有理分式函数一般可转化为关于x的

2

一元二次方程(dy-a)x2+(ey-b)x+(fy-c)=0(以下简称方程※,其中将y看作方

≤y≤3且y≠1.3

综上所述,原函数的值域为[,3].

3

思考1　为什么必须讨论二次项系数为4(y-1)2≥0,解得

零的情形呢?

当二次项系数为零时,方程不再是二次方程,更无判别式可言.因此在用判别式法求函数值域时,必须考虑到二次项系数dy-a=0即y=

的情形,而且必须注意此时的yd

程的系数),由方程有实根的条件Δ≥0来求函数值域的方法叫做“判别式法”.在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹.

2例1　求函数y=2的值域.

x-x+1

解　函数式变形为

(y-1)x2+(1-y)x+y=0

(1)

d

值.若不存在这样的x值或存在这样的x值

值是否在函数定义域内有与之相对应的x

当y=1时,方程(1)为1=0,这显然不成立,因此y=1不在函数值域中:

当y≠1时,∵x∈R,

∴Δ=(1-y)2-4y(y-1)≥0,解得-≤y<1.3

∴函数

4数学通讯　　　　　　　　　　　　　2001年第20期

用判别式法求函数值域的几点思考

邱　旭

(成都市第十八中学,四川610072)

(其中a2+d2≠　　形如y=2

dx+ex+f

0)的有理分式函数一般可转化为关于x的

2

一元二次方程(dy-a)x2+(ey-b)x+(fy-c)=0(以下简称方程※,其中将y看作方

≤y≤3且y≠1.3

综上所述,原函数的值域为[,3].

3

思考1　为什么必须讨论二次项系数为4(y-1)2≥0,解得

零的情形呢?

当二次项系数为零时,方程不再是二次方程,更无判别式可言.因此在用判别式法求函数值域时,必须考虑到二次项系数dy-a=0即y=

的情形,而且必须注意此时的yd

程的系数),由方程有实根的条件Δ≥0来求函数值域的方法叫做“判别式法”.在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹.

2例1　求函数y=2的值域.

x-x+1

解　函数式变形为

(y-1)x2+(1-y)x+y=0

(1)

d

值.若不存在这样的x值或存在这样的x值

值是否在函数定义域内有与之相对应的x

当y=1时,方程(1)为1=0,这显然不成立,因此y=1不在函数值域中:

当y≠1时,∵x∈R,

∴Δ=(1-y)2-4y(y-1)≥0,解得-≤y<1.3

∴函数