蝴蝶定理在圆锥曲线中的应用
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圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用_3
圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用
金荣生(上海市市北中学 200071)
2003年北京高考数学卷第18(III )题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明,本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式,并由它们得到圆锥曲线的若干性质.
定理1:在圆锥曲线中,过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ,直线CE 与DF 交直线AB 于P ,Q ,则有MQ MP =. 证明:如图1,以M 为原点,AB 所在的直线为y 轴,建立直角坐标系.
设圆锥曲线的方程为022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*),设A (0,t ),B (0,-t ),知t ,-t 是02=++F Ey Cy 的两个根,所以0=E .
若CD ,EF 有一条斜率不存在,则P ,Q 与A ,B 重合,结论成立.
若CD ,EF 斜率都存在,设C (x 1,k 1x 1), D (x 2,k 1x 2),E (x 3,k 2x 3), F (x 4,k 2x 4),P (
,
p
)
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Q
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x k x x x x x k x k y CE +-?--=,1321
31111131132)
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圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用_3
圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用
金荣生(上海市市北中学 200071)
2003年北京高考数学卷第18(III )题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明,本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式,并由它们得到圆锥曲线的若干性质.
定理1:在圆锥曲线中,过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ,直线CE 与DF 交直线AB 于P ,Q ,则有MQ MP =. 证明:如图1,以M 为原点,AB 所在的直线为y 轴,建立直角坐标系.
设圆锥曲线的方程为022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*),设A (0,t ),B (0,-t ),知t ,-t 是02=++F Ey Cy 的两个根,所以0=E .
若CD ,EF 有一条斜率不存在,则P ,Q 与A ,B 重合,结论成立.
若CD ,EF 斜率都存在,设C (x 1,k 1x 1), D (x 2,k 1x 2),E (x 3,k 2x 3), F (x 4,k 2x 4),P (
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浅谈圆锥曲线在天文学中的应用
浅谈圆锥曲线在天文学中的应用
广东省中山市大南中学数学科(528447) 潘又保
2007年4月嫦蛾一号顺利发射成功,为我国探索月球开辟了新的篇章。现假设嫦蛾一号沿椭圆轨道绕月球运行,月球恰好位于椭圆轨道的焦点处,当嫦蛾一号离月球相距n万千米和
6??n万千米时,经过月球和嫦蛾一号的直线与椭圆的长轴夹角分别为和,求嫦蛾523一号与月球的最远距离。
【解析】本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离,一般的思路是:由直线与椭圆的关系,列出方程组,再求解,但运算量相对较大;故我们可以利用圆锥曲线第二定义求解。由椭圆的几何意义可知:只有当嫦蛾一号运行到椭圆的较远顶点时,嫦蛾一号与月球的距离最远。
解:建立如图所示直角坐标系,设月球位于焦点F(?c,0)处,
x2y2椭圆的方程为:2?2?1.
ab如图,由椭圆的几何意义可知
?xFA??3.
作AB?Ox于B,则FB?由椭圆第二定义可知:
13FA?n. 25?ca2n?(?c)??ac?2?6n?c(a?c?3n)?ac5?5②-①得
①
②
1c3n??n, 5a5?a?3c.
将a?3c代入①中得
18n?(9c?c)?c,
333?c?n.
83
圆锥曲线中设而不求(维达定理)
x2y2+=1的左、右焦点. 1、设F1、F2分别是椭圆54(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点,求PF1?PF2的最大值和最小值;
(Ⅱ)是否存在过点A(5,0)的直线l与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2C|=|F2D|?
若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
2、已知平面上一定点C(4,0)和一定直线l:x?1,P为该平面上一动点,作PQ?l,垂足为Q,且(PC?2PQ)(PC?2PQ)?0.
(1)问点P在什么曲线上?并求出该曲线的方程;
(2)设直线l:y?kx?1与(1)中的曲线交于不同的两点A、B,是否存在实数k,使
得以线段AB为直径的圆经过点D(0,-2)?若存在,求出k的值,若不存在,说明理由.
???????????? 1
x2?y2?1,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,而3、已知椭圆C1的方程为4C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点. (Ⅰ)求双曲线C2的方程;
(Ⅱ)若直线l:y?kx?2与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点,且l与C2
的两个交点A和B满足OA?OB?6(其中O为原点),求k的取值范围.
4、已知圆
§14.4 圆锥曲线的应用
§14.4 圆锥曲线的应用
预备知识
直线的相关知识
圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等
重 点
难 点
学习要求
直线与圆锥曲线的相交 圆锥曲线的相交 平面曲线与圆锥曲线相交问题的解决办法
发现实际问题中圆锥曲线的应用,并能用圆锥曲线的知识予以解决
能解决有关平面曲线与圆锥曲线关系的简单问题 注意利用图形分析问题并将“形”与“数”结合起来
了解圆锥曲线在实际问题中的应用,并能解决其在实际中的
简单应用问题
能综合运用数学知识,将实际问题转化为数学问题
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圆锥曲线在数学、天文、光学、建筑以及实际生活的各个领域,有非常广泛的应用.本节将对这些应用作一个初步的介绍,范围涉及直线和圆锥曲线的综合问题及一些简单的实际应用.
1. 直线和圆锥曲线相交问题
x2y2例1 如图14-15,椭圆??1的焦点分别是F1和F2,过中心O作
4520直线与椭圆相交于A、B两点,若?ABF2的面积是20,求直线AB的
圆锥曲线在高考数学中的地位
我花了很多时间修改格式和内容,请你在这篇文章的基础上做改动。 文章结构基本合理,第二部分的内容显得十分单薄,看能否再加上一些内容,使其更加丰富;
我已经修改了中文摘要和关键词,请你将其翻译成英文的; 参考文献的格式不对,一一对照修改。
参考文献在文中的引用没有体现出来:参考文献在文中出现的地方用上标
予以标明,序号用加方括号的阿拉伯数字表示(如[1][2][3]),列于正文文末。如,定理1??完毕[3].参考文献的每个标号在文中至少(只需)出现1次,出现顺序必须是[1][2][3]?,如需帮助请呼组长
我对格式做了很大的调整,还有一些需要你自己完成:
文中的以字母表示的点,数据等等数学表达式,全部在数学公式编辑器中完成,但是文字不能在数学公式编辑器中编辑;
在公式编辑器中的字母的格式F是错的,应该改为F,将其选中后在样式中再点击一次“数字”,格式就对了! 小括号不用公式编辑器中的模版??,直接在键盘上输();中括号即闭区间符号
也不用公式编辑器中模版??,也直接在键盘上输[];否则打印出来的效果很怪异,一眼就被检查人员看出来了;区间括号中的逗号,,改为,改不来就把这个,复制过去;
我已经修改了一部分,实在是太多,没有时间帮你了,你自己再一一对照
圆锥曲线参数方程的应用
圆锥曲线参数方程的应用
课题 :圆锥曲线参数方程的应用 圆锥曲线参数方程的应用授课人:马鞍山二中 陈昌富
提 出 宝 贵 意 见
欢 迎 光 临 指 导
圆锥曲线参数方程的应用
复习提问: 回答下列曲线的参数方程(1)圆:(x-x0)2+(y-y0)2= r2 x = x 0 + r cos θ y = y 0 + r sin θ
(θ为参数)
x = a cos θ y = b sin θ
x2 y2 (2)椭圆: 2 + 2 = 1, (a > b > 0) a b x2 y2 (3)双曲线:2 b2 = 1, (a > 0, b > 0) a
x = a sec θ y = btgθ x = 2 pt 2 y = 2 pt
(4)抛物线:y2= 2px (p>0)
圆锥曲线参数方程的应用
例1、已知P(x,y)在椭圆 2 2 x y + = 1 上。求u=2x-y的最大值 4 9 解 设P(2cos θ ,3sinθ)(0≤θ<2 π ) 是椭圆上的点。 则 u=4cos θ -3sin θ= 5sin( - θ )。 4 π 其中 = arctg 显然 - θ=2kπ+ k∈
圆锥曲线利用点的坐标解决圆锥曲线问题
第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何
利用点的坐标处理解析几何问题
有些解析几何的题目,问题的求解不依赖于传统的“设点,联立,消元,韦达定理整体代入”步骤,而是能够计算出交点的坐标,且点的坐标并不复杂,然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识:
1、韦达定理的实质:在处理解析几何的问题时,韦达定理的运用最频繁的,甚至有的学生将其视为“必备结构”,无论此题是否有思路,都先联立方程,韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么?实质是“整体代入”的一种方式,只是因为在解析几何中,一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关,利用“韦达定理”可进行整体代入,可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具,只是在需要进行整体代入时,才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣:
(1)优点:如果能得到点的坐标,那么便可应对更多的问题,且计算更为灵活,不受
x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束
(2)缺点:有些方程的根过于复杂(例如用求根公式解出的根),从而使得点
正余弦定理应用形状判断数列圆锥曲线
一.解答题(共10小题) 1.已知
的离心率为
,直线l:x﹣y=0与以原点为圆心,以椭圆C1的短半轴长为
半径的圆相切,曲线C2以x轴为对称轴. (1)求椭圆C1的方程;
(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,曲线C2上任意一点M到l1距离与MF2相等,求曲线C2的方程. (3)若A(x1,2),C(x0,y0),是C2上不同的点,且AB⊥BC,求y0的取值范围.
2.如图,设F是椭圆:
(a>b>0)的左焦点,直线l为其左准线,直线l与x轴交于点P,线段
MN为椭圆的长轴,已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|. (1)求椭圆C的标准方程;
(2)若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A,B,求证:∠AFM=∠BFN; (3)(理)求三角形ABF面积的最大值.
3.已知椭圆
的离心率为
,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线x
﹣y+2=0相切,A,B分别是椭圆的左右两个顶点,P为椭圆C上的动点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若P与A,B均不重合,设直线PA与PB的斜率分别为k1,k2,证明:k1?k2为定值; (Ⅲ)M为过P且垂直于x轴的直线上的点,若
4.如图所示,椭圆C:
成等比数列,
=1(a>b
横截式方程在圆锥曲线中的妙用
直线方程横截式在圆锥曲线中的妙用
贵州省玉屏民族(高级)中学 (554000) 敖复文
在给学生讲解直线斜截式方程时,时有学生提问:既然可以用y轴上的截距表示直线方程(即斜截式),那么是否可以用x轴上的截距表示直线方程?当然答案是肯定的,不仅可以,而且它在圆锥曲线中还有着非常巧妙的应用。
已知直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b,则其截距式方程为
xy
1(a 0,b 0) ab
可变形为y
b
○1 x b,即斜截式方程式 y kx b
a
其中k为斜率,b为y轴上的截距,且不受b 0的限制;当k 0时,方程为y a,表示平行于x轴的直线,缺点是不能表示垂直于x轴的直线。
还可变形为x 其中h
aa
2 y a,令h ,则为 x hy a ○
bb
1
,a为x轴上的截距,且不受a 0的限制;当h 0时,方程为x a,表k
示垂直于x轴的直线,缺点是不能表示平行于x轴的直线。
于是,在解题的过程中,可根据直线的位置状况自由地选择方程的形式:若根据题意直线不能垂直于x轴,可选择○1式;若根据题意直线不能平行x轴,可选择○2式。可见,方程○2与○1弥补了各自的缺陷,二者珠联璧合,形成了互补。在直线和圆锥曲线(特别是椭圆和抛物线)