极限存在准则证明例题

西南石油大学《高等数学》专升本讲义

极限存在准则 两个重要极限

【教学目的】

1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】

1、夹逼准则；

2、单调有界准则； 3、两个重要极限。 【重点难点】

重点是应用两个重要极限求极限。

难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。 【授课内容】

引入：考虑下面几个数列的极限

10001、limn???i?1n1n?i1n?i221000个0相加，极限等于0。

2、limn???i?1无穷多个“0”相加，极限不能确定。

3、limxn，其中xn=n??3+xn-1，x1=3，极限不能确定。

对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：

一、极限存在准则

1.

§1.4 极限存在准则与两个重要极限

一、极限存在准则 二、两个重要极限sin x lim =1 x→0 x1 n lim(1 + ) = e n→∞ n上页 下页 返回

§1.4 极限存在准则与两个重要极限

一、极限存在准则1.夹逼准则 1.夹逼准则准则Ⅰ 满足下列条件: 准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:

的极限存在, 那么数列 x n 的极限存在, 且 lim x n = a . →∞n

(1) yn ≤ xn ≤ z n ( n = 1,2,3L) ( 2) lim yn = a , lim zn = a , →∞ →∞n→ ∞ n→ ∞

证 Q yn → a ,

zn → a ,

ε > 0, N 1 > 0, N 2 > 0, 使得上页 下页 返回

§1.4 极限存在准则与两个重要极限

当 n > N 1时恒有 y n a < ε,当 n > N 2时恒有 z n a < ε ,

取 N = max{ N 1 , N 2 }, 即 a ε < y n < a + ε,

上两式同时成立, 上两式同时成立

a ε < z n

第三节

极限运算法则

一、极限四则运算法则定理1. 若limf (x)=A, limg(x)=B存在, 则

(1) lim[f (x) g(x)] = limf (x) limg(x) = A B(2) lim[f (x) g(x)] = limf (x) · limg(x) = A · B

f ( x) lim f ( x) A (3) 若B 0, 则 lim . g ( x) lim g ( x) B

推论: 设limf (x)存在. C为常数, n为自然数. 则

(1) lim[Cf (x)] = C limf (x) (2) lim[f (x)]n = [limf (x)]n

2x x 4 例1. 求 lim x 2 x 63 2

更一般的, 有结论: 若f (x)为初等函数, 且f (x)在点 x0处有定义. 则 lim f ( x ) f ( x0 )x x0

xn 1 例2. 求 lim m , 其中m, n为自然数. x 1 x 1

解: 注意到公式

x n 1 ( x 1)( x n 1 x n 2 1)有( x 1)( x n 1 1

第六节 极限存在准则及 两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、 两个重要极限

第一章

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一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1. 函数极限与数列极限的关系 定理1.x x0

lim f ( x) A

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义, xn x0 (n ), 有 lim f ( xn ) A n xn

x

为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.

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定理1. lim f ( x) Ax x0

xn x0 , f ( xn )有 lim f ( xn ) A.n

有定义, 且

证：“

” 设 lim f ( x) A , 即 0 , 0 , 当x x0

有 f ( x) A .

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义 , 且对上述 , N , 当 故 时, 有y

于是当 n N 时 f ( xn ) A .n

lim f ( xn ) A

A

“

” 可用反证法证明. (略)

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定理1. li

第六节 极限存在准则及 两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、 两个重要极限

第一章

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一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1. 函数极限与数列极限的关系 定理1.x x0

lim f ( x) A

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义, xn x0 (n ), 有 lim f ( xn ) A n xn

x

为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.

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定理1. lim f ( x) Ax x0

xn x0 , f ( xn )有 lim f ( xn ) A.n

有定义, 且

证：“

” 设 lim f ( x) A , 即 0 , 0 , 当x x0

有 f ( x) A .

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义 , 且对上述 , N , 当 故 时, 有y

于是当 n N 时 f ( xn ) A .n

lim f ( xn ) A

A

“

” 可用反证法证明. (略)

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第六节 极限存在准则及 两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、 两个重要极限

第一章

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一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1. 函数极限与数列极限的关系 (P37 定理4) 定理1x x0

lim f ( x) A

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义, xn x0 (n ), 有 lim f ( xn ) A n xn

x

为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.

机动

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定理1

x x0

lim f ( x) An

xn x0 , f ( xn )有 lim f ( xn ) A.

有定义, 且

证：“

” 设 lim f ( x) A , 即 0 , 0 , 当x x0

有 f ( x) A .

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义 , 且对上述 , N , 当 故 时, 有y

于是当 n N 时 f ( xn ) A .n

lim f ( xn ) A

A

“

” 可用反证法证明. (略)机动 目录

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第二章 数列极限 §3 数列极限存在的条件 《数学分析》电子教案

§３ 数列极限存在的条件

【教学目的】 使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些

收敛数列的极限；初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列的敛散性。

【教学重点】 单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用。 【教学难点】 相关定理的应用。

引言

在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两基本问题。

本节将重点讨论极限的存在性问题。为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断。本节就来介绍两个判断数列收敛的方法。

一、单调数列

定义 若数列?an?的各项满足不等式an?an?1(an?an?1)，则称?an?为递增（递减）数列。递增和递减数列统称为单调数列．

?(?1)n??1?2例如：??为递减数列；?n?为

案 例 题

1.某日报社原党委书记赵某妄议中央重大工作方针、决策和决定，公开发表违背中央重大工作部署要求的文章；故意作出与中央重大决策部署相违背的决定；干扰、妨碍组织审查，与相关人员串供并向组织提供伪造的证据。

问：案例中赵某的行为违反六项纪律中的哪几项纪律？具体对应《条例》哪一条款？通过分析案例你认为应给予什么处分？

答：赵某的行为违反政治纪律中第四十六条第一款第一项和第二项“通过信息网络、广播、电视、报刊、书籍、讲座、论坛、报告会、座谈会等方式，有下列行为之一的：（一）公开发表违背四项基本原则，违背、歪曲党的改革开放决策，或者其他有严重政治问题的文章、演说、宣言、声明等；（二）妄议中央大政方针，破坏党的集中统一”的内容。依据第四十六条的规定，应当给予赵某警告或者严重警告处分；情节较重的，给予撤销党内职务或者留党察看处分；情节严重的，给予开除党籍处分。

赵某的行为违反政治纪律中第五十三条第二项“故意作出与党和国家的方针政策以及决策部署相违背的决定”的内容。依据第五十三条的规定，应当给予赵某严重警告或者撤销党内职务处分；情节严重的，给予留党察看或者开除党籍处分。 赵某的行为违反政治纪律中第五十七条第一项“对抗组织审查，有下列行为之一的：

篇一：学习《准则》《条例》心得体会

【篇一】

学习贯彻《准则》、《条例》，是当前广大党员干部的重大政治任务，我们要以严和实的精神把党纪党规学习好、落实好、执行好，自觉做守纪律、讲规矩的模范，永葆共产党人清正廉洁的政治本色。

要在学深学透上下功夫。作为纪检监察干部要以身作则，率先学习，通过学习自觉增强党章党规党纪意识，使廉洁自律规范内化于心、外化于行。同时要创新学习形式，丰富学习载体，在全市教育系统各级党组织和广大党员干部中掀起学党纪、知党纪、守党纪的热潮。

要在贯彻落实中作示范。教育系统纪检监察干部要带头贯彻落实《准则》、《条例》，严格按照两项法规规范言行举止，自觉接受监督，坚决守住底线。要学思践悟，把党纪党规刻印在心上，作模范践行者，牢固树立忠诚、干净、担当的良好形象。

要在强化执纪上见实效。教育系统纪检监察干部要切实维护党纪权威，强化监督执纪问责，坚持把纪律和规矩挺在前面，在提升执纪理念、转变执纪方式、强化执纪担当上见实效。对教育领域的腐败行为，始终保持零容忍的态度，引导领导干部、教职员工时刻牢记“手莫伸，伸手必被捉”的道理。要进一步在教育系统探索建立不敢腐、不能腐、不想腐的有效机制，把党风廉政建设和反腐败工作引向深入。

【篇二】

贯彻落实《准则》和《

案 例 题

1.某日报社原党委书记赵某妄议中央重大工作方针、决策和决定，公开发表违背中央重大工作部署要求的文章；故意作出与中央重大决策部署相违背的决定；干扰、妨碍组织审查，与相关人员串供并向组织提供伪造的证据。

问：案例中赵某的行为违反六项纪律中的哪几项纪律？具体对应《条例》哪一条款？通过分析案例你认为应给予什么处分？

答：赵某的行为违反政治纪律中第四十六条第一款第一项和第二项“通过信息网络、广播、电视、报刊、书籍、讲座、论坛、报告会、座谈会等方式，有下列行为之一的：（一）公开发表违背四项基本原则，违背、歪曲党的改革开放决策，或者其他有严重政治问题的文章、演说、宣言、声明等；（二）妄议中央大政方针，破坏党的集中统一”的内容。依据第四十六条的规定，应当给予赵某警告或者严重警告处分；情节较重的，给予撤销党内职务或者留党察看处分；情节严重的，给予开除党籍处分。

赵某的行为违反政治纪律中第五十三条第二项“故意作出与党和国家的方针政策以及决策部署相违背的决定”的内容。依据第五十三条的规定，应当给予赵某严重警告或者撤销党内职务处分；情节严重的，给予留党察看或者开除党籍处分。 赵某的行为违反政治纪律中第五十七条第一项“对抗组织审查，有下列行为之一的：