勾股定理知识点及题型

《勾股定理分类练习》

题型一：直接考查勾股定理：直角三角形中，若a, b分别为直角边，c为斜边，那么直角三角形三边的关系为 a2 +b2 =c2

变形公式：

1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积，则图中A 字母所代表的正方形面积是

C D B A 7cm

2、 如图4，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,

则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。 3、在Rt△ABC中,斜边AB2 =3,则AB2+BC2+AC2的值是______ “知二求一”的题，可以直接利用勾股定理变形公式！

4、在?ABC中，?C?90?．

⑴已知AC?6，BC?8．求AB的长 ⑵已知AB?17，AC?15，求BC的长

5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A．25

B．14

C．7

D．7或25

题型二：应用勾股定理建立方程（“知一求二”的题，应设未知数） 1、已知直角三角

勾股定理

一．知识归纳 １．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 b2 c2

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：

1

方法一：4S S正方形EFGH S正方形ABCD，4 ab (b a)2 c2，化简可证．

2

D

E

b

A

c

BC

方法二：

ba

c

a

b

b

c

cb

a

a

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

1

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 4 ab c2 2ab c2

2大正方形面积为S (a b)2 a2 2ab b2 所以a2 b2 c2

111

方法三：S梯形

勾股定理全章知识点总结和典型例习题分析 一、基础知识点： １．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 b2 c2 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方

２.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 D

H 用拼图的方法验证勾股定理的思路是

E

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 b②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定

cA

理

常见方法如下： ba方法一：4S S正方形EFGH S正方形ABCD，4 ab (b a)2 c2，化简可证．

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为

12

a

c

C

B

b

b

cb

a

a

Aa

1

S 4 ab c2 2ab c2，大正方形面积为S (a b)2 a2 2ab

b22

Db

初中数学

勾股定理全章知识点总结大全

一．基础知识点： 1：勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a+b＝c） 要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在 ABC中， C 90

，则c

b

，a

2

2

2

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

（若c>a+b，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c<a+b，则△ABC为锐角三角形）。

（定理中a，b，c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2 c2 b2，那么以a，b，c为

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勾股定理全章知识点总结大全

一．基础知识点：

1：勾股定理: 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在?ABC中，?C?90?，则c?a2?b2，b?c2?a2，a?c2?b2）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a+b＝c，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 （若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

2

2

2

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性

勾股定理复习小结

一、 知识结构 理 勾 股 定

直角三角形的性质:勾股定理 定理：a?b?c 应用:主要用于计算 222直角三角形的判别方法::若三角形的三边满足a它是一个直角三角形. 2?b2?c2 则二. 知识点回顾 1、 勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形

（1） 先确定最大边（如c）

（2） 验证c与a?b是否具有相等关系

（3） 若c=a?b，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若c≠a?b 则△ABC不是直角三角形。 3、 勾股数

满足a?b=c的三个正整数，称为勾股数

如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17

（5）7，24，25 （6）9, 40, 41

222222222222勾股定理培优经典题型归纳

题型一：利用勾股定理解决实际问题

训练1、

勾股定理复习小结

一、 知识结构 理 勾 股 定

直角三角形的性质:勾股定理 定理：a?b?c 应用:主要用于计算 222直角三角形的判别方法::若三角形的三边满足a它是一个直角三角形. 2?b2?c2 则二. 知识点回顾 1、 勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形

（1） 先确定最大边（如c）

（2） 验证c与a?b是否具有相等关系

（3） 若c=a?b，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若c≠a?b 则△ABC不是直角三角形。 3、 勾股数

满足a?b=c的三个正整数，称为勾股数

如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17

（5）7，24，25 （6）9, 40, 41

222222222222勾股定理培优经典题型归纳

题型一：利用勾股定理解决实际问题

训练1、

全等三角形、勾股定理教案

②对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换；

③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换；

同步训练：

1、如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，BC=DC ，E 为AC 边上的点，BE=DE.试判断：

⑴图中有哪些三角形全等？请说明理由。

⑵图中有哪些角相等？

2、如图1，AD ⊥BC ，D 为BC 的中点，则△ABD ≌＿＿＿，△ABC 是＿＿＿三角形。

3、如图2，若AB ＝DE ，BE ＝CF ，要证△ABF ≌△DEC ，需补充条件＿＿＿＿或＿＿＿＿。

4、如图3，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，E 、F 是BD 上两点，且BF ＝DE ，则图中共有＿＿＿对全等三角形，它们分别是＿＿＿＿＿。

A B C D 1 A D B

C E F 图3 A B C

D O 图4 A D B C

E

F 图5 A D B E F C 2

5、如图4，四边形ABCD 的对角线相交于O 点，且有AB ∥DC ，AD ∥BC ，则图中有＿＿＿对全等三角形。

6、如图5，已知AB ＝DC ，AD ＝BC ，E 、F 在DB 上两点且B

与直角有关的折叠问题（一）

1.如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH， 若EH=9厘米，EF=12厘米，则边AD的长是( ) A. 12厘米B. 15厘米C. 20厘米D. 21厘米

2. 如图，在矩

形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形ABCD沿EF

折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为( ) 5C.

D.

A. 6B.

3.如图1，四边形ABCD是一矩形纸片，AB=8cm，AD=10cm，E是AD上一点，且AE=8cm．操作：（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图2；（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图3．则△GFC的面积是( ) A.

B.

C.

D.

4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是( )A. D.

B.

C.

5.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=6cm，点E在BC上，将纸片

沿AE折叠，使点B落在AC上的点F处，且∠AEF=∠CEF，则AB的长是( ) A. 2cmB.

6. 如图，CD

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八年级数学上册知识点归纳：勾股定理的逆定理

八年级数学上册知识点归纳：勾股定理的逆定理

知识点总结 一、勾股定理： 1.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 ２.勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是： （1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； （2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。 4.勾股定理的适用范围： 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 二、勾股定理的逆定理 1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

说明：（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边