西安工程大学2013年数学分析试卷

河海大学2002年数学分析

一、计算下列极限（16分，每题4分）

1

、n →∞++ ；

2、111lim()122n n n n

→∞+++++ ； 3

、0x →； 4

、32lim x x →+∞

二、计算下列积分（12分，每题4分）

1、arctan x xdx ?

2

、

3、24011x dx x

+∞

++? 三、设函数()f x 和()g x 在[],a b 连续，在(),a b 可导.证明：在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()()()()()()

f a f b f a f b a

g a g b g a g ξξ'=-'.（8分） 四、设函数()f x 和()g x 在[],a b 都可积，证明不等式：

222(()())(())(())b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx ≤???.（8分） 五、试用3x y x y ξη=-??=+?

作为新的自变量变换方程230xx xy yy u u u +-=.（8分） 六、求幂级数1

(1)n

n x n n ∞=+∑的和函数，并指出其定义域. （8分） 七、设某种流体的速度为v xi yj zk =++ ，求单位时间内流体流过曲面22:y x z

∑=+（2

上海大学1997年度攻读硕士学位研究生

入学考试试题

1. 计算下列极限：

2n?1?3n?1（1）limnn

n???2?3（2）lim(1?x??23x?) xx21?cosx2（3）lim2

x?0xsinx22. 研究函数f(x)?limxn?22?x2n2nn???,(x?0)的连续性.若有间断点，讨论是何种间断点.

3. 求下列函数的导数或偏导数： （1）y?ax?xa?xx?aa a?0 求（2）y?1?lnx1?x2dy. dx 求

dy. dx(,,)yyxz?(,,)zzxy(,?)（3）设x?xyz为由方程F(x,y,z)?0所定义的函数，求

?x?y?z,,. ?y?z?x4. 求下列积分： （1）?lnxdx.

x1?lnx233（2）?x5(1?2x)dx.

3f?(x)(x?1)2(x?1)（3）设f(x)?，求. 23??11?f(x)x(x?2)5. 设f(x)在[0,1]上连续，求证：?xf(sinx)dx?0??2?0?f(sinx)dx，并计算??0xsinxdx.

1?cos2x6. 证明下列函数项级数在所给区间内一致收敛. （1）?（2）??x ???x??? 421?nxn?1sinxs

第十三章 函数项级数 应用题

第十三章

函数项级数 计算题

1．设S(x)=?ne?nx x>0，计算积分?ln3ln2S(t)dt

2．.判断级数?(?1)nxnn1?xn(x>0)的敛散性.

第十三章 函数项级数 计算题答案

1．?ne?nx在[ln2,ln3]上连续且一致收敛

?它在[ln2,ln3]可逐积分 (得4分)

??ln3?s(t)dt?ln3ne?nxdxln2?? (得6分)

n?1ln2? =?[(1)n?(1)n23]?1?1?1 (得8分)

n?11?121?12 32． 对交错级数?(?1)nn 由莱布尼兹判别法知它收敛 (得3分)

而

xn1?xn 当x>1时,单增有界 ; x=1时,值为

12 ; 当x<1时,单降为界 (得6分)

故由阿贝尔判别法知?(?1)nxnnn收敛

…… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… ：……期……日……核……审…… …… …… …… …… …… …… …… …… …线 …… ：…：……名……签……人……核……审…… … 订 … …… …… …… …… …… …… ：……期……日…装卷……制…… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… ……：……名……签……人……卷……制…… …… …… …… … … 说明： 本试卷将作为样卷直接制版胶印，请命题教师在试题之间留足答题空间。

湘潭大学2013年下学期《数学分析》（上）课程考试试卷（A卷） 适用年级专业 2013级计算机 考试方式 闭卷 考试时间 120 分钟 学院 专业 班级 学号 姓名 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 阅卷 教师 得 分 ………………………………………………………………………………………………………………

2004年西安建筑科技大学数学分析试题

1 （15分）已知lim2

x1tx?atedt=1，求常数a,b的值. ??2x?0bxsinx?0（15分）设a?0,x1>0,为任意常数，xn?1??2xn?证明：数列{xn}的极限存在，并求出极限.

1?3?a?，?（n=1,2,3,……）

xn2?3 （15分）设函数f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，且ab?0，证明：至

少存在一点???a,b?，使得下式成立.f?????f?????af?b??bf?a?

a?b4 （15分）设函数f?x?在?a,b?上具有二阶导数，且f???x??0，证明：

1b1fxdx??f?a??f?b?????. b?a?a2?1?axsin,????x?0?5 （15分）已知函数f?x???，讨论f?x?，??（a为任意实数）x??0,??????????????x?0f??x?在点x?0的连续性.

6 （15分）确定参数?的值，使得在不经过直线y?0的区域上，线积分

I??x?x?y22??Cydx?x2?x2?y22??ydy与积分路径无关，并求当C为从A?1,1?到B?0,2?时I的值. 7 （15分）求幂级数?nnx的收敛域，并求其和函数.

n?1

1、 求lim(n??1n2?2n2??n?1n2).

n解 解法1 利用几何平均与算术平均不等式，及n!?n2，

1?2??nnnnn?n12?n?(n!)2?(n2)2?n4，

nlim1?2??nn??n???.

解法2 利用Stolz定理， 原式?lim1?2??n?1n

n?? ?limnn??(n?1)?n ?ln?i?mn???.

2 、求limlnn!.

n??nlnn解 利用Stolz定理， 原式?limln(n?1)(n?1)ln(n?1)?nlnn

n???limln(n?1)

n??ln(1?11n)n??n?limln(n?1)1

n??ln(1?n)n?1?lnn?lim1n??

ln(1?1n)n?1ln(n?1)?lnnln(n?1)?1.

3 求lim1nn???0x(1?x)xdx.

解 0??10xn(1?x)xdx??1n02xdx?1n?1，lim1nxn???0x(1?x)dx?0.

1

x??1?1?x,1?x4 设g(x)??2，求limn??n?x?x?2,x??1n?i?1g(x?i(1?x)n).

解 原式??121?x0g(x?y)dy，

n??n??3?445

1、 求lim(n??1n2?2n2??n?1n2).

n解 解法1 利用几何平均与算术平均不等式，及n!?n2，

1?2??nnnnn?n12?n?(n!)2?(n2)2?n4，

nlim1?2??nn??n???.

解法2 利用Stolz定理， 原式?lim1?2??n?1n

n?? ?limnn??(n?1)?n ?ln?i?mn???.

2 、求limlnn!.

n??nlnn解 利用Stolz定理， 原式?limln(n?1)(n?1)ln(n?1)?nlnn

n???limln(n?1)

n??ln(1?11n)n??n?limln(n?1)1

n??ln(1?n)n?1?lnn?lim1n??

ln(1?1n)n?1ln(n?1)?lnnln(n?1)?1.

3 求lim1nn???0x(1?x)xdx.

解 0??10xn(1?x)xdx??1n02xdx?1n?1，lim1nxn???0x(1?x)dx?0.

1

x??1?1?x,1?x4 设g(x)??2，求limn??n?x?x?2,x??1n?i?1g(x?i(1?x)n).

解 原式??121?x0g(x?y)dy，

n??n??3?445

《数学分析》(三)――参考答案及评分标准

一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。

111. 求函数f(x,y)?3xsin?3ysin在点(0,0)处的二次极限与二重极限.

yx11解： f(x,y)?3xsin?3ysin?3x?3y，因此二重极限为0.……(4分)

yx1111因为lim3xsin?3ysin与lim3xsin?3ysin均不存在，

x?0yxy?0yx故二次极限均不存在。 ……(9分)

?z?xf(x?y),?y?y(x),2. 设? 是由方程组?所确定的隐函数,其中f和F分别

F(x,y,z)?0z?z(x)??dz具有连续的导数和偏导数,求.

dx解： 对两方程分别关于x求偏导:

dy?dz?f(x?y)?xf?(x?y)(?1)， ??dxdx? ……(4分)

dydz?F?F?Fz?0。 xy?dxdx?dzFy?f(x?y)?xf?(x?y)(Fy?Fx)?解此方程组并整理得. ……(9分) dxFy?xf?(x?y)Fz

3. 取?,?为新自变量及w?w(?,v)为新函数，变换方程

华南理工2001年数学分析考研试题解答

一．1.解 limx?0sinx1?xsinx?sinx22 cosx ?limx?0?1?xsinx?cosxsinxx221?xsinx?cosx?

? ?2limx?02xsinx?xcosx?sinx

2limx?01sinxx11?12??cosx243

?2limx?0.

2.证明 对0?2x?22， ，知 x221?1?由x?x??x???2?4?2?x??14，x?12，

1?1?1?1?2x?x??x?????2????22?4?2?4?1，

于是e4故有2e?e14x?x2?e2，?x???1??2?，

??n?n20ex?x2dx?2e2.

3.解 n!?，

lnn!?nlnn， ，

?1nlnn??1lnn!?n?21nlnn20发散，所以?n?21ln?n!?f发散.

24.解 ?f?x?1?dx??010?x?1?dx??11f?x?1?dx

??f?t?dt???10 ??t?11?e0f?t?dtetdt??1011?tdt ?ln

一、计算 （1）lim[x x2ln(1 x 1x )] （3） min(e

0 x,)dx 2

2222 u x 2y z z z z（2）设变换方程 可把62 =0简化为 0，求常数a。 2v x ay x y x y u v

二、将函数 x 2f(x)

0

x

a220 x 2 2z22展开正弦级数，并指出该正弦级数的和函数。 x 三、求在椭球面 yb22 c 1(a,b,c R)内嵌入的有最大体积的各棱平行于坐标

轴的直角平行六面体的体积 四、证明曲线积分 (1

Lyx22cosyx)dx (sinyx_yxcosyx)dy在右半平面内与积分路径无

关，并当L的起点为(1, )，终点为(2, )时计算此积分。

五、求积分

y azxdy d2yzzdz d(1x z)dxd,y其中 为yoz2面上的曲线z e(0 y a)绕z轴旋转所得的曲面的下侧。

dsinx

( f(x,y)dy)x 0 dxx六、设函数f(x,y)在R2上有连续的偏导数，问函数g(x) d xtsint( edt)x 0 dxt0

在哪些间断点处连续？若有间断点，请指出其类型并说明理由。

七、设f(x)为[0. ]上恒

取正值的连续