空间几何中的向量方法公开课

第一讲：空间几何中的向量方法---------坐标运算与法向量

一、空间向量的坐标运算

??1． 若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)，则

（1）a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； （2）a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； （3）?a?(?a1,?a2,?a3),??R； （4）a?b?a1b1?a2b2?a3b3； （5）a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3,(b?0,??R)； （6）a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0； （7）a?（8）cos?a,b??22a?a?a12?a2?a3；

a1b1?a2b2?a3b3a?b. ?222222a?ba1?a2?a3?b1?b2?b3?????????例1 已知a?(2,?3,5),b?(?3,1,?4),求a?b,a?b,8a,a?b,的坐标.

????2.若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)

练习1: 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB,PC的中点，且PA=AD=1，

?????求向量MN的坐标.

二、空间直角坐标系中平面

3.2立体几何中的向量方法——空间角

1、两条直线的夹角：设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ,

a b 两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos ; 2 ab

l

l

a

m

a b

m

例： 在直三棱柱ABC A1 B1C1中，BC AC ,BC CA CC1 , 取A1 B1、A1C1的中点D1、F1, 求BD1和AF1所成的角的余弦值.zC1

解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系C xyz,如图所示，设CC1 1则： F11 1 1 A(1, 0, 0), B (0,1, 0), F1 ( , 0,1), D1 ( , ,1) 2 2 2

D1C

B1

A1A

1 所以： AF1 ( , 0,1), BD1 ( 1 , 1 ,1) 22 2

B

y

1 1 AF1 BD1 30 4 cos AF1, BD1 10 | AF1 || BD1 | 5 3 4 2 30 所以 BD1与 AF1 所成角的余弦值为 10

x

2、直线与平面的夹角： 设直线 l 的方向向量分别为 a ,平面 的 法向量分别为 u ,

a u 直线 l

课题：空间向量及其线性运算（人教A版 3.1.1+3.1.2部分内容）

? 教学内容解析：

本节课的教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-1）》（人教A版）第3章“空间向量与立体几何”第1节“空间向量及其加减运算”和第2节“空间向量的数乘运算”的部分内容。

向量是既有大小又有方向的量，既能像数一样进行运算本身又是一个“图形”所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁在很多数学问题的解决中有着重要的应用。本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。本小节的主要内容可分为两部分一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始课，是学生学习了平面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。教学过程中应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质，引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养。

? 学情分析：

1.学生已经学习过平面向量的概念及其相关运算，为本节空间向量及其线性运算的学习打下了坚实的知识基

平面向量基本定理

2015年4月3日星期五

一、课前准备： 复习1: 共线向量定理: (思考：为什么限定 a 0 向量a (a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数 , 使b a.

?)

(若a 0,当b 0时， 不唯一；当b 0时， 不存在) 复习2 : 给定平面内任意两个向量e1 , e2 , 我们能否作出向量2e1 3e2 ?向 量 的 合 成

d 2e1 3e 2

e2 e1

d

2015年4月3日星期五

如：已知 e1 , e2 , 是同一平面内的两个

不共线向量，a 是这一平面内的任一向量. 探究： a 与 e1 , e2 , 的关系

e1

想 一 想 ？

ae2

2015年4月3日星期五

学生活动：

OC OM ON 1OA 2 OB即

a 1 e1 2 e2Me1A

e1

a

C

e2

向 量 的 分 解

O

N

e2

B

2015年4月3日星期五

知识点一

平面向量基本定理

1. 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线向量，

那么对于这一平面的任意向量 a,

有且只有 一对实数 1 , 2 ,使 存 唯 在 性把不共线的向量 基底

a 1 e1 2 e2

一叫做表示这一平面内所有向量的一组

ee

课题：空间向量及其线性运算（人教A版 3.1.1+3.1.2部分内容）

? 教学内容解析：

本节课的教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-1）》（人教A版）第3章“空间向量与立体几何”第1节“空间向量及其加减运算”和第2节“空间向量的数乘运算”的部分内容。

向量是既有大小又有方向的量，既能像数一样进行运算本身又是一个“图形”所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁在很多数学问题的解决中有着重要的应用。本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。本小节的主要内容可分为两部分一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始课，是学生学习了平面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。教学过程中应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质，引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养。

? 学情分析：

1.学生已经学习过平面向量的概念及其相关运算，为本节空间向量及其线性运算的学习打下了坚实的知识基

8时间的脚印

1．理清文章的思路，弄清说明的层次，体会本文单句成段的作用。

2．品味本文生动有趣的语言。

3．学会用辩证的观点看问题，认识岩石记录时间的奇异功能及其意义，培养学生的探索意识和科学精神。

一、导入新课

播放导入视频。

如视频中所言，通过一撮沙子，就能得知地球的年龄。这看起来十分不可思议，岩石真的有如此强大的记录历史的力量吗？它是怎么记录那些已逝的时间的？让我们在《时间的脚印》一文中寻找答案。

二、教学新课

目标导学一：关注单句成段，把握文章内容

1．请同学们花三十秒迅速扫读课文，说说本文在形式上有什么特点。

明确：有不少单句成段。

2．在说明文中，单句成段很有可能意味着这个句子起着总结性作用，把握这些句子，能让我们更加迅速、清晰地把握文章内容。请同学们给正文部分的自然段标上序号，重点关注这些单句成段的句子，把握文章内容，给课文划分层次。

明确：重点单句引导把握：

第1段：“时间一年一年地过去。”引出后文，后三段文字都在记叙如何记录时间的痕迹。

第5段：“岩石是怎样记下时间的呢？”这是一个总起句，与下段一问一答说明了岩石在被破坏与重生的过程中记录时间。

第7段：“真的有‘海枯石烂’的时候。”这是一句提示语，后文则围绕岩石如何被破坏展开。

第11段与第13段：“水

8时间的脚印

1．理清文章的思路，弄清说明的层次，体会本文单句成段的作用。

2．品味本文生动有趣的语言。

3．学会用辩证的观点看问题，认识岩石记录时间的奇异功能及其意义，培养学生的探索意识和科学精神。

一、导入新课

播放导入视频。

如视频中所言，通过一撮沙子，就能得知地球的年龄。这看起来十分不可思议，岩石真的有如此强大的记录历史的力量吗？它是怎么记录那些已逝的时间的？让我们在《时间的脚印》一文中寻找答案。

二、教学新课

目标导学一：关注单句成段，把握文章内容

1．请同学们花三十秒迅速扫读课文，说说本文在形式上有什么特点。

明确：有不少单句成段。

2．在说明文中，单句成段很有可能意味着这个句子起着总结性作用，把握这些句子，能让我们更加迅速、清晰地把握文章内容。请同学们给正文部分的自然段标上序号，重点关注这些单句成段的句子，把握文章内容，给课文划分层次。

明确：重点单句引导把握：

第1段：“时间一年一年地过去。”引出后文，后三段文字都在记叙如何记录时间的痕迹。

第5段：“岩石是怎样记下时间的呢？”这是一个总起句，与下段一问一答说明了岩石在被破坏与重生的过程中记录时间。

第7段：“真的有‘海枯石烂’的时候。”这是一句提示语，后文则围绕岩石如何被破坏展开。

第11段与第13段：“水

高二理科数学

班别： _____________

导学案

空间向量与平行关系

学号： _____________

姓名： ___________

§3.2立体几何中的向量方法（2）

一、学习目标

1．掌握运用方向向量和平面法向量证明平行问题的方法．

2．能用向量语言表达线线、线面、面面的平行关系． 二、问题导学

问题1：怎样证明两个向量平行？

?????问题2：若两条直线l1、l2的方向向量分别为a1、a2，怎样证明两条直线平行？

?????问题3：若两个平面?1、?2的法向量向量分别为n1、n2，怎样证明两个平面平行？

????问题4：若直线l1的方向向量分别为a1，平面?1的法向量向量分别为n1，怎样证明直线

和平面平行？ 三、例题探究

例1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N分别是棱BB1和对角线CA1的中点，求证：MN∥BD.

例2． 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.

1

变式：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.

例3．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．求证

空间向量在立体几何中的应用

1【例1】已知三棱锥P-ABC中,PA⊥面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN，

2M,S分别为PB,BC的中点.

(Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小. 证明：

设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图.

111则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,,0)

222??????1???11(Ⅰ)CM?(1,?1,),SN?(?,?,0),

222?????????11因为CM?SN????0?0,

22所以CM⊥SN

????1(Ⅱ)NC?(?,1,0),

2设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量, 1?x?y?z?0,??2令x?2，得a=(2,1,-2). 则?1??x?y?0.??21????2?2 因为cosa,SN?223?2?1?所以SN与片面CMN所成角为45°

【例2】、如图,四棱锥S—ABCD中,SD?底面ABCD, AB//DC,AD?DC, AB?AD?1,DC=SD=2,E为棱 SB上的一点,平面EDC?平

§3.2 立体几何中的向量方法 (一>

—— 平行与垂直关系的向量证法

知识点一 求平面的法向量

已知平面α经过三点A(1,2,3>，B(2,0，－1>，C(3，－2，0>，试求平面α的一个法向量．

解∵A(1,2,3>，B(2,0，－1>，C(3，－2,0>，

＝(1，－2，－4>，错误!＝(1，－2，－4>， 设平面α的法向量为n＝(x，y，z>． 依题意，应有n·

=0， n·错误!=0.

即错误!，解得错误!.令y＝1，则x＝2.b5E2RGbCAP ∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0>．

【反思感悟】 用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量>即可．p1EanqFDPw 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：

是平面A1D1F的法向量.

DXDiTa9E3d 证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则的法向量．

证明

是平面A1D1F

设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0>，E错误!，RTCrpUDGiT ＝错误!..D1＝(0,0,1>，5PCzVD7HxA F错误!，A1(1,0,1>．jLBHr