单摆振动中的等效问题

单摆振动中的等效问题

一、等效单摆的摆长

所谓摆长是悬点到摆球球心间的距离。单摆的运动轨迹点是一小段圆弧，其轨道半径R与等效摆长相等，即=R。对于形异质同的单摆物理模型，不管有无“悬点”，只要搞清了圆弧轨道的半径

R，单摆的周期即可用计算。

同学们对下图中各摆等效摆长一看便知（若等效摆长不易一眼看出，则应从数学角度计算）。

图1 图2 图3

例1. 由长度依次为L和2L的AC和BC两根细绳悬挂小球C，如图4所示，每根细绳跟竖直方向的夹

角均为30°，当该小球向纸内外做微小摆动时，其摆动周期为___________。

图4 图5 图6

例2. 如图6所示，光滑圆弧槽半径为R，A为最低点，C到A距离远小于R，两质点B和C都由静止

开始释放，问哪一个小球先到A点？

讨论：要使两球在A点相遇，可使B球上移，问此时B球高度h为多少？ 二、等效重力加速度

等效重力加速度的大小等于摆球的视重（摆球相对悬点静止时线的拉力F）与摆球的质量m之比，

即。求的基本步骤如下：

（1）分析摆球的受力，确定摆球相对静止的位置（即平衡

化学平衡中的等效平衡问题

化学平衡中的等效平衡问题

2005.11.

【练习一】在一个盛有催化剂、容积固定的密闭容器中，保持一定温度进行如下反应：N2+3H2 加入1molN2和3molH2达到平衡时，NH3的百分含量为m%。

⑴若其它条件不变，初始按如下情况分别加入N2、H2、NH3，平衡时NH3的百分含量仍为m%的是：

A．1molN2+3molH2+1molNH3 B．0.5molN2+1.5molH2+1molNH3

C．0.5molN2+1.5molH2 D．1molN2+3molH2+2molNH3

⑵若改为恒温恒压，初始按如下情况分别加入N2、H2、NH3，平衡时NH3的百分含量仍为m%的是：

A．1molN2+3molH2+1molNH3 B．0.5molN2+1.5molH2+1molNH3

C．0.5molN2+1.5molH2 D．1molN2+3molH2+2molNH3

【练习二】在一定温度下，把2mol SO2和1molO2通入一个定容的密闭容器里，发生如下反应：2SO2+O2 2SO3达平衡，在该容器中，维持温度不变，用a,b,c分别代表开始时加入的S

振动 特征值

机械振动中的特征值问题

机械振动是指系统在某一位置（通常是静平衡位置，简称平衡位置）附近所作的往复运动。显然这是一种特殊形式的机械运动。人类的大多数活动都包括这样或那样的机械振动。例如，我们能听见周围的声音是由于鼓膜的振动；我们能看见周围的物体是由于光波振动的结果；人的呼吸与肺的振动紧密相关；行走时人的腿和手臂也都在作机械振动；我们能讲话正是喉咙（和舌头）作机械振动的结果。

早期机械振动研究起源于摆钟与音乐。至20世纪上半叶，线性振动理论基本建立起来。欧拉（Euler）于1728年建立并求解了单摆在阻尼介质中运动的微分方程。1739年他研究了无阻尼简谐强迫振动，从理论上解释共振现象。1747年他对n个等质量质点由等刚度弹簧连接的系统列出了微分方程组并求出精确解，从而发现系统的振动是各阶简谐振动的叠加。1760年拉格朗日（Lagrange）建立了离散系统振动的一般理论。最早研究的连续系统是弦线。1746年达朗伯（d’Alembert）用片微分方程描述弦线振动而得到波动方程并求出行波解。1753年伯努利（Bernoulli）用无穷多个模态叠加的方法得到弦线振动的驻波解。1759年拉格朗日从驻波解推得性波解，但严格的数学证明直到1811年傅

第七章：

机械振动和机械波

重点难点诠释………………04典型例题剖析………………08 适时仿真训练………………13

重点难点诠释跟踪练习1 已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单

摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6 m.则两单摆摆长la与lb分

别为(

)

=2.5 m,lb=0.9 m =0.9 m,lb=2.5 m

=2.4 m,lb=4.0 m=4.0 m,lb=2.4 m

[答案] B

重点难点诠释跟踪练习2 (2007· 上海)在接近收费口的道路上安装了若 干条突起于路面且与行驶方向垂直的减速带，减速带间距为

10 m,当车辆经过减速带时会产生振动.若某汽车的固有频率为1.25 Hz,则当该车以 m/s的速度行驶在此减速区时颠簸 . 得最厉害，我们把这种现象称为

[解析] 汽车每经过一个减速带时，减速带都给汽车一 个向上的力，这个力使汽车上下颠簸，当这个力的频率等于 汽车的固有频率1.25 Hz时，汽车发生共振，振动最厉害.所以 v x ,v=xf=10×12.5=12.5 m/s . 有 f

[答案] 12.5,共振

重点难点诠释跟踪练习3 如图所示，在一根张紧的水 平绳上，悬挂有a、b、c、d、e五个单摆，让 a摆略偏离平衡位

生物等效性问题汇总

一、枸橼酸他莫昔芬片项目

1. 因为达峰时间很长，1.0-1.2酸介质的溶出结果快慢对BE的影响。

答:以体外溶出结果为标准。

2.取血时间取到多长时间？

答：以FDA提供的生物等性试验指导为准

3.选择交叉or平行

答：建议选择交叉更好一些。因为多数药物的药代参数在个体之间均存在很大变异，个体间的变异系数远远大于个体内变异系数，交叉设计可以有效避免个体间变异给试验带来的偏倚。

4.因为取血时间长，是全程住院还是一部分？如何降低脱落率

答：一般情况下，受试者在生物等效性试验的清洗期期间可以出院自由行动的，仅需下一阶段试验时回院进行试验。但对于长消除半衰期药物生物等效性试验，其较长的清洗期期间，使受试者的饮食活动、身体指标、服用药物等各种行为的不定性就提高很多，造成试验的不可控因素过多，由此给试验造成的误差可能极大。若要控制这些因素，则需要受试者在清洗期期间住院，这样造成的人力、物力以及试验经费消耗极大，实施起来有一定的困难。对于某些特殊药物，比如抗癌药的临床试验要求受试者必须是患病者，长清洗期意味着病人需要在长时间段内停止服药，这不符合临床伦理学，因此长清洗期的生物等效性试验不可行。另外，较长的清洗期期间还会大大增

生物等效性问题汇总

一、枸橼酸他莫昔芬片项目

1. 因为达峰时间很长，1.0-1.2酸介质的溶出结果快慢对BE的影响。

答:以体外溶出结果为标准。

2.取血时间取到多长时间？

答：以FDA提供的生物等性试验指导为准

3.选择交叉or平行

答：建议选择交叉更好一些。因为多数药物的药代参数在个体之间均存在很大变异，个体间的变异系数远远大于个体内变异系数，交叉设计可以有效避免个体间变异给试验带来的偏倚。

4.因为取血时间长，是全程住院还是一部分？如何降低脱落率

答：一般情况下，受试者在生物等效性试验的清洗期期间可以出院自由行动的，仅需下一阶段试验时回院进行试验。但对于长消除半衰期药物生物等效性试验，其较长的清洗期期间，使受试者的饮食活动、身体指标、服用药物等各种行为的不定性就提高很多，造成试验的不可控因素过多，由此给试验造成的误差可能极大。若要控制这些因素，则需要受试者在清洗期期间住院，这样造成的人力、物力以及试验经费消耗极大，实施起来有一定的困难。对于某些特殊药物，比如抗癌药的临床试验要求受试者必须是患病者，长清洗期意味着病人需要在长时间段内停止服药，这不符合临床伦理学，因此长清洗期的生物等效性试验不可行。另外，较长的清洗期期间还会大大增

生物等效性问题汇总

一、枸橼酸他莫昔芬片项目

1. 因为达峰时间很长，1.0-1.2酸介质的溶出结果快慢对BE的影响。

答:以体外溶出结果为标准。

2.取血时间取到多长时间？

答：以FDA提供的生物等性试验指导为准

3.选择交叉or平行

答：建议选择交叉更好一些。因为多数药物的药代参数在个体之间均存在很大变异，个体间的变异系数远远大于个体内变异系数，交叉设计可以有效避免个体间变异给试验带来的偏倚。

4.因为取血时间长，是全程住院还是一部分？如何降低脱落率

答：一般情况下，受试者在生物等效性试验的清洗期期间可以出院自由行动的，仅需下一阶段试验时回院进行试验。但对于长消除半衰期药物生物等效性试验，其较长的清洗期期间，使受试者的饮食活动、身体指标、服用药物等各种行为的不定性就提高很多，造成试验的不可控因素过多，由此给试验造成的误差可能极大。若要控制这些因素，则需要受试者在清洗期期间住院，这样造成的人力、物力以及试验经费消耗极大，实施起来有一定的困难。对于某些特殊药物，比如抗癌药的临床试验要求受试者必须是患病者，长清洗期意味着病人需要在长时间段内停止服药，这不符合临床伦理学，因此长清洗期的生物等效性试验不可行。另外，较长的清洗期期间还会大大增

<>课程论文

MATLAB在单摆实验中的应用

姓名 蔡小强

学号：2010110102 专业：物理学 班级：10物理学 学院： 物电学院

完

成

日

期

：

2011/12/11

MATLAB在单摆实验中的应用

【摘要】借助MATLAB 计算软件, 研究无阻尼状态下单摆的大摆角运动, 给出了任意摆角下单摆运动

周期的精确解。同时利用MATLAB 函数库中的ode45 函数, 求解出大摆角下的单摆的运动方程。并利用其仿真动画形象的展现出单摆的运动规律, 为单摆实验中大摆角问题的讲解提供了较好的教学辅助手段。

【关键字】单摆模型；周期；MATLAB

一、问题的提出

在工科物理教学中,物理实验极其重要,它担负着训练学生基本实验技能、验证学生所

学知识、提高学生综合实力的重要职责。通过一系列的物理实验,学生可在一定程度上了解并掌握前人对一些典型物理量的经典测量方法和实验技术,并为以后的实验工作提供有价值的借鉴,进而培养学生的动手实践能力

第二课时单摆受迫振动

第一关：基础关展望高考 基 础 知 识 一、单摆 知识讲解

1.单摆:在一条不可伸长的\\,忽略质量的细线下端拴一质点,上端固定构成的装置. 2.单摆振动可看作简谐运动的条件:α≤10°.

3.周期公式:T=2π加速度.

l,式中摆长l指悬点到摆球重心的距离，g为单摆所在处的重力g4.单摆的等时性:在小振幅摆动时,单摆的振动周期跟振幅和振子的质量都没关系.

4?2l5.应用:①测重力加速度g=2;②计时器.

T6.能量转化关系:在不计阻力的情况下,单摆在运动中摆球的动能和重力势能相互转化,总能量不变.

活学活用

1.若单摆的摆长不变,摆球的质量增加为原来的4倍,摆球经过平衡位置的速度减小为原来的

1,则单摆振动的() 2A.频率不变,振幅不变 B.频率不变,振幅改变 C.频率改变,振幅改变 D.频率改变,振幅不变 解析:

摆球经过平衡位置的速度减小从而引起振幅减小,由T=2π球的质量和振幅无关,故B正确.

答案:B

二、受迫振动和共振

l,可得单摆的周期与摆g 1

知识讲解

如果振动系统不受外力作用,此时的振动叫做固有振动,其振动的频率称为固有频率. (1)阻尼振动

振动系统振动过程中受阻尼的作用,系统克服阻尼做功,消耗机

实验三 单摆的基础实验

单摆是由一摆线l连着重量为mg的摆锤所组成的力学系统，是力学基础教科书中都要讨论的一个力学模型。当年伽利略在观察比萨教堂中的吊灯摆动时发现，摆长一定的摆，其摆动‘周期不因摆角而变化，因此可用它来计时，后来惠更斯利用了伽利略的这个观察结果，发明了摆钟。如今进行的单摆实验，是要进一步精确地研究该力学系统所包含的力学线性和非线性运动行为。

一 实验目的

1、学会使用计时器和米尺，测准摆的周期和摆长。

2、验证摆长与周期的关系,掌握使用单摆测量当地重力加速度的方法。 3、初步了解误差的传递和合成。

二 仪 器 与 用 具

单摆实验装置，计时器，米尺。 三 实验原理

1利用单摆测量当地的重力加速度值g

用一不可伸长的轻线悬挂一小球，作幅角?很小的摆动就是一单摆。如图1所示。

设小球的质量为m，其质心到摆的支点O的距离为l (摆长)。作用在小球上的切向力的大小为mgsin?，它总指向平衡点O?。当?角很小，则sin???，切向力的大小为mg?，按牛顿第二定律，质点的运动方程为

d2?ma切??mgsin?， 即 ml2??mgsin?，

dt因为sin???，所以

d2?g???，