组合变形例题

10 组合变形

1、 斜弯曲，弯扭，拉（压）弯，偏心拉伸（压缩）等组合变形的概念；

2、危险截面和危险点的确定,中性轴的确定； 如双向偏心拉伸, 中性轴方程为

1?zpi2yzo?ypi2z?yo?0 3、危险点的应力计算，强度计算，变形计算、。 4、截面核心。

解题范例

10.1、定性分析图10.1 示结构中各构件将发生哪些基本变形?

图 10.1

[解]（a）AD杆时压缩、弯曲组合变形，BC杆是压缩、弯曲组合变形；AC杆不发生变形。

（b）AB杆是压弯组合变形，BC杆是弯曲变形。 （c）AB是压缩弯曲组合变形，BC是压弯组合变形。

（d）CD是弯曲变形，BD发生压缩变形，AB发生弯伸变形，BC发生拉弯组合变形。 10.2 分析图10.2中各杆的受力和变形情况。

图 10.2

[解] (a)力可分解成水平和竖直方向的分力,为压弯变形。 (b) 所受外力偶矩作用,产生弯曲变形。

(c)该杆受竖向集中荷载,产生弯曲变形.

(d)该杆受水平集中荷载,偏心受压,产生压缩和弯曲变形。 (e)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:弯曲。

(f)

第12章 组合变形的强度计算

主要知识点：（1）弯曲与拉伸（压缩）组合变形的强度计算；

（2）弯曲与扭转组合变形的强度计算。 1. 试判断图中杆AB、BC和CD各产生哪些基本变形？

答：如图12-1a所示，将力F平移到B点，可知图中杆AB

产生弯曲变形；

如图12-1b所示，将力F平移到C点，可知杆BC产生 压缩和弯曲组合变形;

如图12-1c所示，杆CD产生（横力）弯曲变形。

a) b) c)

图12-1

2. 若在正方形截面短柱的中间处开一个槽，如图所示，使横截面面积减少为原截面面积的一半。试求最大正应力比不开槽时增大几倍？

FF?2 解：正方形短柱截面不开槽时最大正应力?0?A04a正方形短柱截面开槽时，BC段受偏心压缩，偏心距e=0.5a， 抗弯截面系数WZ?a/3，最大正应力

3.5a2F?max?F?Fe?F2?F?0?2 3A1WZ2aa3a?max/?0?8，所以开槽后最大正应力比不开槽时增大7倍。

3. 如图所示的支架，已知载荷F=45kN，作用在C处，支架材料的许用应力

????160MPa，试选择横梁AC的工字钢型号。

解：（

《杆件的四种基本变形及组合变形、 直杆轴向拉、压横截面上的内力》教学设计

课题 3.1杆件四种基本变形及组合变形 3.2直杆轴向拉、压横截面上的内力 知识与技能 教学时间 2课时 1、认识杆件的基本变形和组合变形； 2、掌握杆件基本变形的受力及变形特点，轴力图的绘制方法； 3、理解截面法计算轴力，掌握简捷法计算轴力； 1、通过分析工程实例、生活实例中的受力及变形掌握杆件的基本变形的受力及变形特点； 2、理解截面法的基础上掌握简捷法计算轴力。 1、通过分析工程结构中的受力及变形并口头描述，培养归纳、总结、语言表达的能力； 2、通过学习正负号规定，严格轴力的计算准确性，增强建筑施工安全意识。 教学目标 过程与方法 情感、态度、价值观 教学重点 教学难点 1、 杆件的基本变形受力特点、变形特点； 2、 轴力计算方法。 1、 轴力计算中的正负号； 2、 轴力图绘制的分段。 教学内容及其过程 学生活动 让同学来回答弹簧、胳膊的受力和形状改变。 1、自主学习 自学教材、自主完成导学提纲，记录疑点或无法解决的问题，为交流作准备。 教师导学 通过引导学生回答问题，引出物体在力的作用下变形是客观存在的，进入课题。 当有学生问到，

典型例题一

例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：

如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．

如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三．

如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四．

解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3

3个来排列，故有A9个；

当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一

11个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有A4． ?A8?A82（个）

∴ 没有重复数字的四位偶数有

311 A9?A4?A8?A82?504?179?2229个．6

3 解法2：当个位数上排“0”时，同解一有A9个；当个位数上排2

第八章 组合变形

内容提要

一、组合变形综述

组合变形：拉伸、压缩、弯曲、剪切、扭转称为基本变形。构件同时产生两种或两种以上的基本变形时称为组合变形。

组合变形的计算方法：在小变形且材料在线弹性范围内工作时，将组合变形分解成几种基本变形，分别计算各基本变形时的应力和位移，将其各自叠加，可得到组合变形时的应力和位移。

二、斜弯曲

斜弯曲的概念：在横力弯曲时，设梁上的横向力通过横截面的弯曲中心(梁不产生扭转变形)。当横向力的方向和横截面的形心主轴平行时，梁产生平面弯曲，即外力作用面和挠曲面平行；当横向力方向和横截面的形心主轴不平行时，梁产生斜弯曲，即外力作用面和挠曲面不平行。斜弯曲时，外力和中性轴不垂直，挠度仍垂直于中性轴。

斜弯曲的计算方法：将横向力向两个形心主轴方向分解，在两个形心主轴方向的横向力作用下，梁在两个形心主惯性平面内分别发生平面弯曲。分别计算两个平面弯曲时的应力和位移，将其各自叠加，就得到斜弯曲时的应力和位移。

▲正多边截面梁，不会产生斜弯曲。

▲横截面具有外棱角(例如工字形、矩形、角形等)时，危险点位于危险截面的角点处，该处为单向应力状态，其强度条件为

?max???? (

第八章 组合变形

内容提要

一、组合变形综述

组合变形：拉伸、压缩、弯曲、剪切、扭转称为基本变形。构件同时产生两种或两种以上的基本变形时称为组合变形。

组合变形的计算方法：在小变形且材料在线弹性范围内工作时，将组合变形分解成几种基本变形，分别计算各基本变形时的应力和位移，将其各自叠加，可得到组合变形时的应力和位移。

二、斜弯曲

斜弯曲的概念：在横力弯曲时，设梁上的横向力通过横截面的弯曲中心(梁不产生扭转变形)。当横向力的方向和横截面的形心主轴平行时，梁产生平面弯曲，即外力作用面和挠曲面平行；当横向力方向和横截面的形心主轴不平行时，梁产生斜弯曲，即外力作用面和挠曲面不平行。斜弯曲时，外力和中性轴不垂直，挠度仍垂直于中性轴。

斜弯曲的计算方法：将横向力向两个形心主轴方向分解，在两个形心主轴方向的横向力作用下，梁在两个形心主惯性平面内分别发生平面弯曲。分别计算两个平面弯曲时的应力和位移，将其各自叠加，就得到斜弯曲时的应力和位移。

▲正多边截面梁，不会产生斜弯曲。

▲横截面具有外棱角(例如工字形、矩形、角形等)时，危险点位于危险截面的角点处，该处为单向应力状态，其强度条件为

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排列组合公式

复习排列与组合

考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。

考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。

2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。 重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。

难点：不重不漏。

知识要点及典型例题分析：

1．加法原理和乘法原理

两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。

例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。

（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？

（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。

解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。

（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不

组合数学鸽巢原理例题

鸽巢原理例题

组合数学鸽巢原理例题

证明[1,2n]中任意n+1个不同的数中至少有一对数互质设这n+1数为a1<a2<…<an+1,令bi=ai+1 (i=1,2,…,n)。显然，b1<b2<…<bn<=2n, a1,…,an+1,b1,…,bn这2n+1个数中必有二数相等，即存在bi与ai+1相等，而bi=ai+1,而ai与 ai+1(即ai+1)是互质的。

组合数学鸽巢原理例题

一人以11周时间准备考试，他决定每天至少做一道题，但每周不多于12题。证明：存在连续的若干天，在这些天时他恰好做了21题。改为更少的题数如何？改为22题如何？令ai表示从第一天到第i天所做的题数之和。因为每天至少做一题，有：a1<a2<…<a77<=12*11=132。考虑序列:a1+21,a2+21,…,a77+21(<=153).两个序列共有154个数，而ai≠aj(当i≠j时),同理， ai+21≠aj+21(当i≠j时),所以，必有某个aj=ai+21,即从第i+1天到第j天共做了21题。原命题改为小于21题，显然是成立的。

组合数学鸽巢原理例题

续：22题的情况 若存在某一

9.4、组合逻辑电路的分析与设计习题

1、在一旅游胜地，有两辆缆车可供游客上下山，请设计一个控制缆车正常运行的逻辑电路。要求：缆车A和B在同一时刻只能允许一上一下的行驶，并且必须同时把缆车的门关好后才能行使。设输入为A、B、C，输出为Y。（设缆车上行为“1”，门关上为“1”，允许行驶为“1”） (1) 列真值表；

（2）写出逻辑函数式；

（3）用基本门画出实现上述逻辑功能的逻辑电路图。 解：（1）列真值表： （3）逻辑电路图：

A 0 0 0 0 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 C 0 1 0 1 0 1 0 Y 0 0 0 1 0 1 0 0 ______AB1000&00>=100FC1000&0ABC0=000&01 1 1 （2）逻辑函数式：

______0FF?ABC?ABC?C(AB?AB)?C(A?B)

2、某同学参加三类课程考试，规定如下：文化课程（A）及格得2分，不及格得0分；专业理论课程（B）及格得3分，不及格得0分；专业技能课程（C）及格得5分，不及格得0分。若总分大于6分则可顺利过关（Y），试根据上述内容完成： （1）列出真值表；

（2）写出逻辑函数表达式，并化简成最简

组合数学鸽巢原理例题

鸽巢原理例题

组合数学鸽巢原理例题

证明[1,2n]中任意n+1个不同的数中至少有一对数互质设这n+1数为a1<a2<…<an+1,令bi=ai+1 (i=1,2,…,n)。显然，b1<b2<…<bn<=2n, a1,…,an+1,b1,…,bn这2n+1个数中必有二数相等，即存在bi与ai+1相等，而bi=ai+1,而ai与 ai+1(即ai+1)是互质的。

组合数学鸽巢原理例题

一人以11周时间准备考试，他决定每天至少做一道题，但每周不多于12题。证明：存在连续的若干天，在这些天时他恰好做了21题。改为更少的题数如何？改为22题如何？令ai表示从第一天到第i天所做的题数之和。因为每天至少做一题，有：a1<a2<…<a77<=12*11=132。考虑序列:a1+21,a2+21,…,a77+21(<=153).两个序列共有154个数，而ai≠aj(当i≠j时),同理， ai+21≠aj+21(当i≠j时),所以，必有某个aj=ai+21,即从第i+1天到第j天共做了21题。原命题改为小于21题，显然是成立的。

组合数学鸽巢原理例题

续：22题的情况 若存在某一