大数定理与中心极限定理的应用

第四章 大数定理与中心极限定理典型题解

1．计算器在进行时，将每个加数舍入，最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在(?0.5,0.5)上服从均匀分布，将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

解 设第k个加数的舍入误差为Xk(k?1,2,?,1500),已知Xk在(?0.5,0.5)15001上服从均匀分布，故知E(Xk)?0,D(Xk)?．记X??Xk，由中心极限定理，

12k?1当n充分 时有近似公式

P{X?1500?01500112?x}??(x)，

于是

P{x?15}?1?P{x?15}?1?P{?15?X?15}?15?0X?015?0??}15001150011500112121215?15 ?1?[?()??()]1500115001121215?1?[2?(?1]?2?(1.342)?2[1?0.9099]150012?0.1802.即误差总和的绝对值超过15的概率近似地为0.1802．

2．有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现在从这批木柱中地取100根，求其中至少有30根短于3m的概率．

?1?P{解 以X记被抽取的100根木柱长度短于3m的根数，则X~b(100,0.2)．于

第五章大数定律与中心极限定理§5.1大数定律的概念 §5.2切贝谢夫不等式 §5.3切贝谢夫定理 §5.4中心极限定理

§5.1大数定律的概念 例1 掷一颗均匀的正六面体的骰子,出现么点的概率 是1/6,在掷的次数比较少时,出现么点的频率可能与 1/6相差得很大.但是在掷的次数很多时,出现么点的频 率接近1/6几乎是必然的. 例2 测量一个长度a,一次测量的结果不见得就等于a,量 了若干次,其算术平均值仍不见得等于a,但当测量的 次数很多时,算术平均值接近于a几乎是必然的.

这两个例子说明：在大量随机现象中,不仅看到了随机事 件的频率具有稳定性,而且还看到大量测量值 的平均结果也具有稳定性。这种稳定性就是 本章所要讨论的大数定律的客观背景。即无 论个别随机现象的结果如何,或者它们在进行 过程中的个别特征如何,大量随机现象的平均 结果实际上与每一个别随机现象的特征无关, 并且几乎不再是随机的了。

大数定律以确切的数学形式表达了这种规律 性,并论证了它成立的条件,即从理论上阐述了 这种大量的、在一定条件下的、重复的随机现 象呈现的规律性即稳定性.由于大数定律的作用, 大量随机因素的总体作用必然导致某种不

第四章 大数定理与中心极限定理典型题解

1．计算器在进行时，将每个加数舍入，最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在(?0.5,0.5)上服从均匀分布，将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

解 设第k个加数的舍入误差为Xk(k?1,2,?,1500),已

Xk在(?0.5,0.5)15001上服从均匀分布，故知E(Xk)?0,D(Xk)?．记X??Xk，由中心极限定理，

12k?1当n充分 时有近似公式

P{X?1500?01500112?x}??(x)，

于是

P{x?15}?1?P{x?15}?1?P{?15?X?15}?15?0X?015?0??}15001150011500112121215?15 ?1?[?()??()]1500115001121215?1?[2?(?1]?2?(1.342)?2[1?0.9099]150012?0.1802.即误差总和的绝对值超过15的概率近似地为0.1802．

2．有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现在从这批木柱中地取100根，求其中至少有30根短于3m的概率．

?1?P{解 以X记被抽取的100根木柱长度短于3m的根数，则X~b(100,0.2)．于是

第五章 大数定律和中心极限定理第一节 大数定律 第二节 中心极限定理

第5章概述 章概述 大数定律和中心极限定理就是使用极限方法 大数定律和中心极限定理就是使用极限方法 使用极限 研究大量随机现象统计规律性. 研究大量随机现象统计规律性 阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的 阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的 大量重复试验的平均结果具有稳定性 一系列定律都称为大数定律 一系列定律都称为大数定律. 大数定律 论证随机变量(试验结果) 论证随机变量(试验结果)之和渐进服从某 随机变量 一分布的定理称为中心极限定理. 的定理称为中心极限定理 一分布的定理称为中心极限定理

切比雪夫不等式定理 设随机变量 X 具有数学期望 E ( X ) = µ, 方差 D( X ) = σ 2 , 则对于任意正数 ε , 不等式 σ P{ X µ ≥ ε } ≤ 2 ε 成立.证明 对连续型随机变量的情况来证明. 对连续型随机变量的情况来证明2

设 X 的概率密度为 f ( x), 则有

P{ X µ ≥ ε }=

∫

x µ ≥ε

f ( x)dx ≤ ∫ x µ ≥ ε

x µ ε2

2

f ( x)

第五章 《中心极限定理》测验题

班级： 姓名： 学号： 成绩：

一、单项选择题（每题2分，共10分）

1. 如果离散型随机变量X1,X2,L,Xn相互独立且皆服从参数为????0?的泊松分布，则当n充分大时，离散型随机变量Y?（ ）近似服从标准正态分布.

?XA)

i?1ni?? B)

?Xi?1ni?? C)

?Xi?1ni?n? D)

?Xi?1ni?n?

??n?n?解: 因为 E(Xi)?D(Xi)?? ?i?1,2,?,n?,

又 Sn???????????由李雅普诺夫中心极限定理:

12n?,

??Xi?1ni?????Xi?1ni?n??N(0,1)

Sn故选(D)

n?2. 如果离散型随机变量X1,X2,L,Xn相互独立且皆服从0-1分布B?1,p?，则当n充分大时，离散型随机变量X??Xi?1ni近似服从（ ）分布.

A) E??? B) N?0,1? C) Nnp,np?1?p? D) B?1,p? 解 因为 E?Xi??p,?i?1,2,?

第四章 大数定律与中心极限定理答案

一、单项选择

1. 设?(x)为标准正态分布函数，Xi???1,事件A发生；100i?1i?1,2,?,100，且

?0,事件A不发生，P(A)?0.8，X1,X2,?,X100相互独立。令Y??Xi，则由中心极限定理知Y的分

布函数F(y)近似于（ ）

y?80（A）?(y) （B）Ф() （C）?(16y?80) （D）?(4y?80)

4答案：D 二、填空

1. 设X的期望和方差分别为

?和?2，则由切比雪夫不等式可估计

P(X???2?) 。

答案：?

3 42．设随机变量X和Y的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式，有P{|X?Y|?6}?________． 答案：

1 123． 已知随机变量?的均值μ=12，标准差σ=3，试用切比雪夫不等式估计?落在6到18之间的概率为________．与3到21之间

解 由题意得，E??12,D???2?32, 由切比雪夫不等式得

P{6???18}?P{??12?6}D?323?1?2?1?2?466

?P{6???18}?3 4

4． 已知随机变

第 5 章 大数定律与中心极限定理

一、

填空题：

21.设随机变量E(?)??，方差D(?)??，则由切比雪夫不等式有P{|???|?3?}? 2.设?1,?2,?,?n是

1 . 9n个相互独立同分布的随机变量，

E(?i)??,D(?i)?8,(i?1,2,?,n)对于???i，写出所满足的切彼雪夫不等式 ?i?1nnP{|???|??}?D(?)811? ，并估计 . ?P{|???|?4}?2n?2n?23. 设随机变量X1,X2,?,X9相互独立且同分布, 而且有EXi?1,

DXi?1(i?1,2,?,9), 令X??Xi, 则对任意给定的??0, 由切比雪夫不等式

i?19直接可得PX?9??? 1???9 . ?2解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X满足：E(X)??与D(X)??2都存在, 则对任意给定的??0, 有

?2?2P{|X??|??}?2, 或者P{|X??|??}?1?2.

??由于随机变量X1,X2,?,X9相互独立且同分布, 而且有 EXi?1,DXi?1(i?1,2,?9), 所以

9?9?9??E(X)?E??Xi?

第 5 章 大数定律与中心极限定理

一、

填空题：

2.设?1,?2,?,?n是n个相互独立同分布的随机变量，

nE(?i)??,D(?i)?8,(i?1,2,?,n)对于???i?1?in，写出所满足的切彼雪夫不等式

P{|???|??}?D(?)?2?8n?2 ，并估计P{|???|?4}? 1?12n . nD(?)??i?1D(?i)n2??2n?8n

3. 设随机变量X1,X2,?,X9相互独立且同分布, 而且有EXi?1,

9DXi?1(i?1,2,?,9), 令X??i?1Xi, 则对任意给定的??0, 由切比雪夫不等式

直接可得P?X?9???? 1?9?2 .

解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X满足：E(X)??与D(X)??2都存在, 则对任意给定的??0, 有

P{|X??|??}???22, 或者P{|X??|??}?1???22.

由于随机变量X1,X2,?,X9相互独立且同分布, 而且有 EXi?1,DXi?1(i?1,2,?9), 所以

?9???E(X)?E??Xi???i?1?99i?E(Xi?19)??1?9,

i?19 ?

第 5 章 大数定律与中心极限定理

一、

填空题：

2.设?1,?2,?,?n是n个相互独立同分布的随机变量，

nE(?i)??,D(?i)?8,(i?1,2,?,n)对于???i?1?in，写出所满足的切彼雪夫不等式

P{|???|??}?D(?)?2?8n?2 ，并估计P{|???|?4}? 1?12n . nD(?)??i?1D(?i)n2??2n?8n

3. 设随机变量X1,X2,?,X9相互独立且同分布, 而且有EXi?1,

9DXi?1(i?1,2,?,9), 令X??i?1Xi, 则对任意给定的??0, 由切比雪夫不等式

直接可得P?X?9???? 1?9?2 .

解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X满足：E(X)??与D(X)??2都存在, 则对任意给定的??0, 有

P{|X??|??}???22, 或者P{|X??|??}?1???22.

由于随机变量X1,X2,?,X9相互独立且同分布, 而且有 EXi?1,DXi?1(i?1,2,?9), 所以

?9???E(X)?E??Xi???i?1?99i?E(Xi?19)??1?9,

i?19 ?

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模块十 大数定律与中心极限定理

Ⅰ 经典习题

一． 用切比雪夫不等式估计事件的概率

1、设 1, 2 , n为独立同分布的随机变量，E i ,D i 2 i 1,2,.....,n ，若令

1n i，则切比雪夫不等式为P 2 _______. ni 1

二．大数定律

1n

2、设随机变量序列X1,X2,...,Xn,...相互独立，则根据辛钦大数定律，当n Xini 1依概率收敛于其期望，只要X1,X2,...,Xn,...（ ）

（A）具有相同的数学期望 （B）服从同一离散型分布

（C）服从同一泊松分布 （D）服从同一连续型分布

3、设随机变量序列X1,X2,...,Xn,...相互独立，记Yn X2n X2n 1，则根据辛钦大数定律，

1n

当n 时