初值问题

《计算机数学基础(2)》辅导六

第14章 常微分方程的数值解法

一、重点内容 1. 欧拉公式：

(k＝0，1，2，…，n－1)

局部截断误差是O(h2)。 2. 改进欧拉公式：

或表示成： 平均形式：

局部截断误差是O(h)。

3. 四阶龙格――库塔法公式：

3

0.5

其中 ?1＝f(xk，yk)；?2＝f(xk+h，yk+

0.5

h?1)；?3＝f(xk+

0.5

h，yk+

0.5

h?2)；

?4＝f(xk+h，yk+h?3)

局部截断误差是O(h5)。

二、实例

例1 用欧拉法解初值问题

取步长h＝0.2。计算过程保留4位小数。

解 h＝0.2，f(x，y)＝－y－xy2。首先建立欧拉迭代格式

＝0.2yk(4－xkyk) (k＝0，1，2) 当k＝0，x1＝0.2时，已知x0＝0，y0＝1，有

y(0.2)≈y1＝0.2×1(4－0×1)＝0.8

当k＝1，x2＝0.4时，已知x1＝0.2，y1＝0.8，有

y(0.4)≈y2＝0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.6144

当k＝2，x3＝0.6时，已知x2＝0.4，y2＝0.6144，有

常微分方程初值问题数值解法

朱欲辉

（浙江海洋学院 数理信息学院, 浙江 舟山 316004）

[摘要]：在常微分方程的课程中讨论的都是对一些典型方程求解析解的方法. 然而在生产实际和科学研究中所遇到的问题往往很复杂, 在很多情况下都不可能给出解的解析表达式. 本篇文章详细介绍了常微分方程初值问题的一些数值方法, 导出了若干种数值方法, 如Euler法、改进的Euler法、Runge－Kutta法以及线性多步法中的Adams显隐式公式和预测校正公式, 并且对其稳定性及收敛性作了理论分析. 最后给出了数值例子, 分别用不同的方法计算出近似解, 从得出的结果对比各种方法的优缺点.

[关键词]：常微分方程; 初值问题; 数值方法; 收敛性; 稳定性; 误差估计

Numerical Method for Initial-Value Problems

Zhu Yuhui

(School of Mathematics, Physics, and Information Science, Zhejiang Ocean University, Zhoushan, Zhejiang 316004)

[Abstract]: In the course abo

《计算方法》实验指导书

《计算方法》实验指导书

实验1 方程求根

一、实验目的

1． 通过对二分法、牛顿法、割线法作编程练习，进一步体会它们各自不同的特点； 2． 了解二分法，切线法，割线法。

3． 能熟练运用二分法，牛顿法进行方程求根

4． 通过上机调试运行，对方程求根的几种方法程序进行改进。

二、实验要求

1． 上机前作好充分准备，包括复习编程所需要的语言工具。 2． 上机时要遵守实验室的规章制度，爱护实验设备。

3． 记录调试过程及结果，记录并比较与手工运算结果的异同。 4． 程序调试完后，须由实验辅导教师在机器上检查运行结果。 5． 给出本章实验单元的实验报告。

三、实验环境、设备

1． 硬件设备：IBM PC以上计算

机，有硬盘和一个软驱、单机和网络环境均可。

2． 软件环境： C语言运行环境。

四、实验原理、方法 二分算法计算步骤：

（1）输入有根区间的端点a、b及预先给定的精度ε；

（2）计算中点x=(a+b)/2；

（3）若f(x)f(b)<0，则a=x，转向下一步；否则b=x，转向下一步； （4）若b-a<ε，则输出方程满足精度要求的根x，结束；否则转向步骤（2）。 迭代法：

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《计算方法》实验指导书

开始 输入 x0, ε,N k=1 开始 输入x0, ?,N k=1 f'(x0)=0? 是 k=k+1 x1=?(x0) 是 否 x?x?10f(x)

数值分析第五章课件

第5章 常微分方程数值解法§5.1 引言 u( x1 , , xn ) y ' x y y包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微 ( x) : 2 2 u u y (0) 1 2 0 2 , x1 自变量的 xn 分的方程称为微分方程.在微分方程中 个数只有一个, 称为常微分方程.自变量的个数为 两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程.微分方 程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方

程的阶数.如果未知函数y及其各阶导数

y , y , , y

( n)

都是一次的,则称它是线性的,否则称为非线性的.

数值分析第五章课件

在《常微分方程》中，对于常微分方程的求解，给出了一些典型方程求解析解的基本方法，如可分

离变量法、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等.但能求解的常微分方程仍 然是有限的，大多数的常微分方程是不可能给出解 析解. 譬如

y x y2

2

这个一阶微分方程就不能用初等函数及其积分来 表达它的解.

数值分析第五章课件

再如，方程

y y y (0) 1的解 y e x ,虽然有表可查,但对于表上没 有给出 e x 的值,仍

《计算方法》实验指导书

《计算方法》实验指导书

实验1 方程求根

一、实验目的

1． 通过对二分法、牛顿法、割线法作编程练习，进一步体会它们各自不同的特点； 2． 了解二分法，切线法，割线法。

3． 能熟练运用二分法，牛顿法进行方程求根

4． 通过上机调试运行，对方程求根的几种方法程序进行改进。

二、实验要求

1． 上机前作好充分准备，包括复习编程所需要的语言工具。 2． 上机时要遵守实验室的规章制度，爱护实验设备。

3． 记录调试过程及结果，记录并比较与手工运算结果的异同。 4． 程序调试完后，须由实验辅导教师在机器上检查运行结果。 5． 给出本章实验单元的实验报告。

三、实验环境、设备

1． 硬件设备：IBM PC以上计算

机，有硬盘和一个软驱、单机和网络环境均可。

2． 软件环境： C语言运行环境。

四、实验原理、方法 二分算法计算步骤：

（1）输入有根区间的端点a、b及预先给定的精度ε；

（2）计算中点x=(a+b)/2；

（3）若f(x)f(b)<0，则a=x，转向下一步；否则b=x，转向下一步； （4）若b-a<ε，则输出方程满足精度要求的根x，结束；否则转向步骤（2）。 迭代法：

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开始 输入 x0, ε,N k=1 开始 输入x0, ?,N k=1 f'(x0)=0? 是 k=k+1 x1=?(x0) 是 否 x?x?10f(x)

数值分析教学课件

第三章 常微分方初值程问数题解法值3.1引 言 3. 2简的数单方值法与本概基念

3.3 格-库龙方塔法.4 单步3法收的性敛稳与性定

.53 性线多步法36.方 程组高阶和方

程3

数值分析教学课件

.1引 言章本论一阶常微分讨方程初值的题问： y f( x ,y ) y x(0 ) y 0只要数函 f x,( y )当光适—如滑满足利普茨希条件：f x( ,y) f ( ,xy ) Ly y

论理就上保证能值问题的解 y初 y( x )存 在并且唯一。所 谓数值法解就，寻求解是 y(x) 在 系一列散离点x1 x2 xn xn 1

上的近 值 y 似, , , yy ,y , ,相两个点间邻距的离h xx 称为步 长一。情般下我况取们h h i( 1, , 2)为 数常，是节点这： x 为 x n, hn 0 ,1 2, ,1 2 nn n1n 1 n in

数值分析教学课件

3.1 0言引初值题问的解求一有基个特点，本们都是它取 采“进式步”求解，的，一即步一地求函步数值。 求的的解主方法要：是对方程进行离散化先，立

第7章 常微分方程初值问题的数值解法

7.1 引 言

科学研究和工程技术中的许多问题在数学上往往归结为微分方程的求解问题。为了确定微分方程的解，一般要加上定解条件，根据不同的情况，这些定解条件主要有初始条件(initial condition)和边界条件(boundary condition). 只含初始条件作为定解条件的微分方程求解问题称为初值问题(initial-value problem); 例如天文学中研究星体运动,空间技术中研究物体飞行等，都需要求解常微分方程初值问题(initial-value problem for ordinary differential equations). 只含边界条件作为定解条件的微分方程求解问题称为边值问题(boundary-value problem).

除特殊情形外，微分方程一般求不出解析解，即使有的能求出解析解，其函数表示式也比较复杂，计算量比较大，而且实际问题往往只要求在某一时刻解的函数值. 为了解决这个问题，有两种方法可以逼近原方程的解。第一种方法是：将原微分方程化简为可以准确求解的微分方程，然后使用化简后的方程的解近似原方程的解；第二种方法是：将求原微分方程的解析解转化为求原方程的数

行程问题——相遇问题

1、客、货两车分别从两地同时出发相向而行。客车每小时行55千米，货车每小时比客车慢 5千米，经过6小时两车在途中相遇。两地相距多少千米？

2、甲乙两人同时从A、B两地出发相向而行，甲每分钟行120米，比乙每分钟快40米，行 了50分钟，两人相遇后又相距30米，求A、B两地的距离是多少？

3、甲乙两人同时从A、B两地出发相向而行，甲每分钟行120米，比乙每分钟快40米，行了50分钟，两人相距30米，求A、B两地的距离是多少？

4、客、货两车从相距840千米的两城同时出发相向而行，客车每小时行72千米，货车每小时行68千米，相遇时谁行的路程多？多多少千米？

5、客车每小时行65千米，货车每小时行55千米，两车从相距15千米的两地同时出发相背而行，行了多长时间两人相距495千米？

6、甲每小时行12千米，乙每小时行8千米，甲自南庄向北庄，同时乙自北庄向南庄，经过5小时后面两人相距103千米，南北两庄相距多少千米？

7、A、B两站相距456千米，客车每小时行60千米，货车每小时行52千米，两车先后从两站出发，相向而行，相遇时客车行了3

行程问题——相遇问题

1、客、货两车分别从两地同时出发相向而行。客车每小时行55千米，货车每小时比客车慢 5千米，经过6小时两车在途中相遇。两地相距多少千米？

2、甲乙两人同时从A、B两地出发相向而行，甲每分钟行120米，比乙每分钟快40米，行 了50分钟，两人相遇后又相距30米，求A、B两地的距离是多少？

3、甲乙两人同时从A、B两地出发相向而行，甲每分钟行120米，比乙每分钟快40米，行了50分钟，两人相距30米，求A、B两地的距离是多少？

4、客、货两车从相距840千米的两城同时出发相向而行，客车每小时行72千米，货车每小时行68千米，相遇时谁行的路程多？多多少千米？

5、客车每小时行65千米，货车每小时行55千米，两车从相距15千米的两地同时出发相背而行，行了多长时间两人相距495千米？

6、甲每小时行12千米，乙每小时行8千米，甲自南庄向北庄，同时乙自北庄向南庄，经过5小时后面两人相距103千米，南北两庄相距多少千米？

7、A、B两站相距456千米，客车每小时行60千米，货车每小时行52千米，两车先后从两站出发，相向而行，相遇时客车行了3

植树问题

（四种情况：线路两端都植树、两端都不植树、只有一端植树；环状植树）

一、非封闭线的两端都有“点”时，“点数”＝“段数”＋1＝总长/间隔＋1。

常见题型如：一条河堤长420米，从头到尾每隔3米栽一棵树，要栽多少棵树？ 420/3 +1=141

二、非封闭线只有一端有“点”时，“点数”＝“段数”。

常见题型如：财院东门至文劳路的小路，长700米。要在小路一旁每隔2米栽一棵树，一共要栽多少棵树？

三、非封闭线的两端都没有“点”时，“点数”＝“段数”－1。

常见题型如：两座楼房之间相距30米，每隔2米栽一棵树，需要种多少棵树？

四、封闭线上，“点数”＝“段数”。

常见题型如：一个圆形水池的周长60米。如果在此水池边沿每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？

例1：在一条公路的两边植树，每隔3米种一棵树，从公路的东头种到西头还剩5棵树苗，如果改为每隔2.5米种一棵，还缺树苗115棵，则这条公路长多少米？（ ）

A．700 B．800 C．900 D．600

【答案：C】 解析：线型植树问题，公路两边都要种树。故总棵数＝每边棵数×2。假设公路的长度为x米，则由题意可列方程： (X/3 +1)*2+5=(X/2.5 +1)*2-115，解