函数一致连续性的判别方法

函数的一致连续性

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]一 函数在穷处一连性 (] )无远的致续塑主 .直(集美大学师范学院，厦门 3 12 ) 601 摘要

01/ 7

根据函数一致连续的定义及函数在有限区间的一致连续性问题，着重讨论函数在无限

区间一致连续性的条件。

中安0 耋分 ’ 图

几

,

我们已经知道，若函数， )限闭区间，】 (在有 b上连续，那么函数， ) (在闭区间，] b上必一致连续( .at定理) GC n r o但是，如果将闭区间，] b改为有限开￣l( b,则定理将 h a,) q不成立，主要是两个端点处的问题，如果加上条件：f a 0与，自一0存在且有限，就有 (+) ( )如下定理：若函数， ) (在有限3￣ 1( ): . a内连续， F h q刚函数， ) (在，) b内一致连续的充要条件为f a 0与/ b一0存在且有限，其充分性只要补充定义： (+) ( )

, ) (=

,( ( ) )

。( , )

即可得证。其必要性，由f ) (在，) b内的一致连续性，对端点 a,当 ,“满足： 0 一a

一元函数连续性的判别方法探讨

摘要

连续与一致连续的概念和关系出发，主要对一元函数在不同类型区间上函数一致连续的判定方法进行了讨论，总结和应用，并且将部分判定一元函数一致连续的方法推广到了多元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识。 函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要概念,在分析问题中起着十分重要的作用.它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础,而且与随后的含参量积分,函数项级数等概念都有着密切的联系.因此,判定函数的一致连续性是数学分析的一项重要内容.本文对函数的一致连续性的概念进行了深入分析,对判定函数一致连续性的充分条件,充要条件作了简要概括,并给出了闭区间和开区间上函数一致连续性的判别方法.包括无穷区间上函数一致连续性的判定,并分别给出了这些定理的证明.同时,本文也总结了一致连续性的几个性质及它的应用.

关键词 连续函数 ；极限 ；有界函数 ； 一致连续 ；非一致连续

1. 引言

我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。函数f(x)在某区间内连续，是指函数f(x)在该区间内每一点都连续，它反映函数f(x)在该区间上一点附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数f(x)在给定

函数项级数一致收敛性的判别法

摘 要 函数项级数是数学分析中的重点和难点,因此讨论和分析它的性质和判别方法显得尤为重要,本文给出了函数项级数的定义以及函数项级数一致收敛性的判别定理，并用之来解决函数项级数一致收敛性的一些问题比较容易.

关键词 函数项级数；一致收敛性；判别法. 中图分类号 O173.1

Function Seies Convergence Criterion

Abstract：Function is a mathematical analysis of series of focus and difficult, so the discussion and analysis of its nature and it is particularly important to identify methods.In this paper, the definition of Function series and uniform convergence of Function series of discriminant theorem,and used to solve the s

摘 要

函数项级数是数学分析中的一个重要的概念,在工程技术领域也有着重要应用. 关于函数项级数的问题往往是数学分析的重点,又是难点,不易理解和掌握 而函数项级数的一个基本问题就是研究其一致收敛性,但是一致收敛的判别往往比较困难,我们的教材中对于函数项级数?un(x)的收敛判别给出了一些基本方法,然而这些方法却只能解决一些常见的问题,对于很多其它类型的函数项级数,我们需要寻求其它更为方便的方法。例如,我们可以把正项级数的达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法和它们的极限形式顺利地推广到函数项级数的一致收敛的判别上,此外,还有很多种不常见的判别函数项级数一致收敛的方法,它们在处理某些类型函数项级数一致收敛判别问题上有着很重要的应用。本文旨在对上述函数项级数收敛判别的方法进行全面的总结和探究,为今后在处理函数项级数一致收敛性的判别提供理论基础。

关键词：函数项级数、 一致收敛、函数列、部分和数列

n?1?

Ⅰ

Abstract

The function series is an important concept in mathematical analysis ,also has its importing application in e

数列、函数极限和函数连续性

数列极限

定义1（??N语言）：设?an?是个数列，a是一个常数，若???0，?正整数N，使得当n?N时，都有an?a??，则称a是数列?an?当n无限增大时的极限，或称?an?收敛于a，记作liman?a，或an?a?n????.这时，也称?an?的极限

n???存在.

定义2（A?N语言）：若A?0,?正整数N，使得当n?N时，都有an?A,则称

??是数列?an?当n无限增大时的非正常极限，或称?an?发散于??，记作

liman???n???或an????n????，这时，称?an?有非正常极限，对于??,?的定

义类似，就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理.

1.2 数列极限求法的常用定理

定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若?an?和?bn?为收敛数列，则

?an?bn?,?an?bn?,?an?bn?也都是收敛数列，且有

lim?an?bn??liman?limbn, lima?b?lima?limb.?nn?nnn??n??n??n??n??n??

?an?若再假设bn?0及limbn?0，则??也是收敛数列，且有

高等数学上册 第一章 函数与极限课件 好东西,一起分享

第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性

第一章

高等数学上册 第一章 函数与极限课件 好东西,一起分享

一、四则运算的连续性定理1:若函数 f ( x ), g( x )在点 x0处连续, f ( x) 则 f ( x ) g( x ), f ( x ) g( x ), ( g ( x 0 ) 0) g( x ) 在点 x0处也连续.

即连续函数经过四则运算后还是连续的。例如 sin x, cos x在 ( , )内连续,sin x 故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续. cos x

即三角函数在其定义域内连续.

高等数学上册 第一章 函数与极限课件 好东西,一起分享

二、反函数的连续性定理2:单调递增(递减)的连续函数必有 单调递增(递减)的连续反函数.例如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续, 2 2 故 y arcsin x 在[ 1,1]上也是单调增加且连续.

同理 y arccos x 在[ 1,1]上单调减少且连续;

y arctan x, y arc

题 目 含参量反常积分一致收敛的判别法

学生姓名 学 号 系 别 数学系 年 级 2010级 专 业 数学与应用数学 指导教师 职 称 完成日期

1

摘 要

含参变量的反常积分是研究和表达函数的的有力工具。要更好的研究含参量反常积分所表达的函数，关键问题在于判断他的一致收敛性。本文通过研究判断含参量反常积分一致收敛的判别法,以帮助研究含参量反常积分所表达的函数。 关键词：含参量反常积分;一致收敛;判别法

2

Abstract

Improper integral with variable

函数连续性在矩阵分析中的应用

在数学分析的学习中知道，函数的连续性具有非常好的特性，比如局部有界性，介值性等，这使得很多问题在函数连续的基础上可以变得简单，那么函数连续性在高等代数中是否也有同样的好处，可以将问题简单化呢？类似于矩阵特征多项式和含字母矩阵的k阶主子式等这样一类都是关于参数的多项式，而多项式为一连续函数，因此函数的连续性可以应用在矩阵中，从而引发了对函数连续性在矩阵的各方面的应用，比如：在伴随矩阵，矩阵的正定性以及矩阵对应行列式的计算等各方面的应用。

一、预 备 知 识

定义1??、函数在一点连续的定义：若函数f?x?在x0的邻域包含x0本身有定

6义，并且limf?x??f?x0?，我们就称f?x?在点x0连续。

x?x0定义2??、函数f?x?在某一区间内有定义：若函数f?x?在开区间?a,b?内每

6一点都连续，也就是说对?a,b?内任何一点x0皆成立limf?x??f?x0?，则称f?x?x?x0在?a,b?内连续，对闭区间??a,b?来说，f?x?在??a,b?上连续的定义是指：f?x?在

?a,b?内连续，同时有f?a?0??f?a?，f?b?0??f?b?，则称f?x?在??a,b?内连

续。

引理1??、由初等函数的连续

第一章 函数与极限（§10连续函数的运算与初等函数的连续性）

第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性

要求：会利用函数的连续性求函数的极限，会讨论分段函数的连续性。 重点：利用函数的连续性求函数的极限。 难点：分段函数连续性的讨论。

作业：习题1－10（P,24)5)6)7),33)4),4 86）1问题提出 为了讨论函数的连续性，用定义逐点讨论将是很困难的．但是，如果我们用连续函数的一些特殊性质来讨论将会方便得多，因此来讨论连续函数的四则运算，复合运算，从而讨论我们主要研究对象――初等函数连续性．

一、连续函数的和、差、积及商的连续性

定理1 有限个在某点连续函数的和（差）是在该点的连续函数． 定理2 有限个在某点连续函数的乘积是在该点的连续函数．

定理3 两个在某点连续函数的商是在该点的连续函数，且分母在该点不为零．

sinxcosx,cotx?，因为sinx,cosx在区间(??,??)内连续，cosxsinx故由定理3知正切tanx和余切函数cotx在它们的定义域内是连续函数．

例1． 函数tanx?结论2 三角函数在它们的定义域内是连续函数．

二、反函数与复合函数的连续性

定理4 如果函数y?f(x)在区间Ix上单调

第一章 函数、极限和连续性

复习要求提示：

1. 函数实质上是变量间的对应关系。函数的概念及各种性质在考研数学中一般不作为直接

的考点。但函数是微积分的基本研究对象，绝大多数知识点都直接或间接地与函数相关，相当大的一部分题目中也要直接或间接地用到函数的各种性质。

函数部分需要重点掌握的内容有：复合函数，分段函数的运算，反函数的概念及计算，函数的奇偶性,单调性，周期性和有界性。

2. 极限是这一章的主要内容，也是整个学科的理论基础。本章的首要任务是熟练掌握各种

极限的计算方法，极限计算的方法牵涉到方方面面的理论，与后续很多章节都有和重要的联系，是常考的考点。总结起来主要有：利用四则运算，利用两个重要极限，利用等价无穷小替换，利用洛必达法则，利用变量替换，分别求左右极限，数列极限转化为函数极限，利用夹逼原理，利用单调有界原理，利用泰勒公式，利用定积分的定义等。 无穷大量和无穷小量的相关问题是这一部分的另一重要内容。主要理解无穷大量和无穷小量的概念及它们的关系，重点掌握无穷小量的比较方法，理解无穷小量的高阶、同阶、等价的概念并能用等价无穷小替换计算极限；理解无穷大与无界的关系；极限存在的准则。

极限部分需重点掌握的内容有：极限的保号性，无穷小的等价替换