数学物理方程有限差分法

华北电力大学本科毕业设计（论文）

二维抛物方程的有限差分法

摘要

二维抛物方程是一类有广泛应用的偏微分方程，由于大部分抛物方程都难以求得解析解，故考虑采用数值方法求解。有限差分法是最简单又极为重要的解微分方程的数值方法。本文介绍了二维抛物方程的有限差分法。

首先，简单介绍了抛物方程的应用背景，解抛物方程的常见数值方法，有限差分法的产生背景和发展应用。讨论了抛物方程的有限差分法建立的基础，并介绍了有限差分方法的收敛性和稳定性。其次，介绍了几种常用的差分格式，有古典显式格式、古典隐式格式、Crank-Nicolson隐式格式、Douglas差分格式、加权六点隐式格式、交替方向隐式格式等，重点介绍了古典显式格式和交替方向隐式格式。进行了格式的推导，分析了格式的收敛性、稳定性。并以热传导方程为数值算例，运用差分方法求解。通过数值算例，得出古典显式格式计算起来较简单，但稳定性条件较苛刻；而交替方向隐式格式无条件稳定。

关键词：二维抛物方程；有限差分法；古典显式格式；交替方向隐式格式

I

华北电力大学本科毕业设计（论文）

FINITE DIFFERENCE METHOD FOR TWO-DIMENSIONAL PARABOLIC

EQUATION

第五次作业（前三题写在作业纸上）

一、用有限差分方法求解一维非定常热传导方程，初始条件和边界条件见说明.pdf文件，热扩散系数α=const，

?T?2T??2 ?t?x1. 用Tylaor展开法推导出FTCS格式的差分方程

2. 讨论该方程的相容性和稳定性，并说明稳定性要求对求解差分方程的影响。 3. 说明该方程的类型和定解条件，如何在程序中实现这些定解条件。

4. 编写M文件求解上述方程，并用适当的文字对程序做出说明。（部分由网络搜索得

到，添加，修改后得到。） function rechuandaopde

%以下所用数据，除了t的范围我根据题目要求取到了20000，其余均从pdf中得来 a=0.00001;%a的取值 xspan=[0 1];%x的取值范围 tspan=[0 20000];%t的取值范围

ngrid=[100 10];%分割的份数，前面的是t轴的，后面的是x轴的 f=@(x)0;%初值

g1=@(t)100;%边界条件一 g2=@(t)100;%边界条件二

[T,x,t]=pdesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid);%计算所调用的函数 [x,t]=meshgrid(x,t);

mesh

第五次作业（前三题写在作业纸上）

一、用有限差分方法求解一维非定常热传导方程，初始条件和边界条件见说明.pdf文件，热扩散系数α=const，

?T?2T??2 ?t?x1. 用Tylaor展开法推导出FTCS格式的差分方程

2. 讨论该方程的相容性和稳定性，并说明稳定性要求对求解差分方程的影响。 3. 说明该方程的类型和定解条件，如何在程序中实现这些定解条件。

4. 编写M文件求解上述方程，并用适当的文字对程序做出说明。（部分由网络搜索得

到，添加，修改后得到。） function rechuandaopde

%以下所用数据，除了t的范围我根据题目要求取到了20000，其余均从pdf中得来 a=0.00001;%a的取值 xspan=[0 1];%x的取值范围 tspan=[0 20000];%t的取值范围

ngrid=[100 10];%分割的份数，前面的是t轴的，后面的是x轴的 f=@(x)0;%初值

g1=@(t)100;%边界条件一 g2=@(t)100;%边界条件二

[T,x,t]=pdesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid);%计算所调用的函数 [x,t]=meshgrid(x,t);

mesh

有限差分法及其应用

1有限差分法简介

有限差分法（FDM）是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方程将解域划分为差分网格，用有限个网络节点代替连续的求解域。有限差分法通过泰勒级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值得差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

2有限差分法的数学基础

有限差分法的数学基础是用差分代替微分，用差商代替微商而用差商代替微商的意义是用函数在某区域内的平均变化率来代替函数的真是变化率。而根据泰勒级数展开可以看出，用差商代替微商必然会带来阶段误差，相应的用差分方程代替微分方程也会带来误差，因此，在应用有限差分法进行计算的时候，必须注意差分方程的形式，建立方法及由此产生的误差。

3有限差分解题基本步骤

有限差分法的主要解题步骤如下： 1） 建立微分方程

根据问题的性质选择计算区域，建立微分方程式，写出初始条件和边界条件。 2） 构建差分格式

首先对求解域进行离散化，确定计算节点，选择网格布局，差分形式和步长；然后以有限差分代替无线微分，以差商代替微商，以差分方程代替微

penglining 发表于 2007-5-16 08:26 有限元法、边界元法、有限差分法的区别和各自的优点

请问：有限元法、边界元法、有限差分法等方法有哪些区别和各自的优点？尤其是在声学方面。 谢谢！

fossiler 发表于 2007-5-19 14:00 网格的跑分上不同,差分要求模型规则,有限元可以是任意不规则模型,

hillyuan 发表于 2007-5-21 17:45 FEM: irregular grid-> easy to describe complex shape, hard in mesh generation

\\.a4hj

FDM: regular mesh -> easy in grid generation, hard to describe complex shape=> less accurate than FEM

BEM: irregular mesh in boundary -> mesh generation much easier than that of FEM. need much less computation resource than the above two. BUT ne

根据东南大学戴嘉尊编写的《微分方程数值解》制作的PPT电子课件,供有需要的师生下载。

第三章 椭圆型方程的差分方法 3.1 正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问 题的差分模拟 3.2 Neumann边值问题的差分模拟 3.3 混合边值条件 3.4 非矩形区域 3.5 极坐标形式的差分格式 3.6 矩形区域上的Poisson方程的五点差分逼近 的敛速分析 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性 质研究

根据东南大学戴嘉尊编写的《微分方程数值解》制作的PPT电子课件,供有需要的师生下载。

设 是平面中的具有边界的一个有界区域，本章 考虑如下椭圆型方程的差分解法： 2u 2u 2u u u (3.1) a x, y 2 2b x, y c x, y 2 d x , y , u , , x y x y x y

其中，系数a(x,y),b(x,y),c(x,y)满足 b 2 ac 0 x, y 对应方程(3.1)的定解问题有下面三类：第一边值问题，或称Drichlet问题 方程 3.1

根据东南大学戴嘉尊编写的《微分方程数值解》制作的PPT电子课件,供有需要的师生下载。

第三章 椭圆型方程的差分方法 3.1 正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问 题的差分模拟 3.2 Neumann边值问题的差分模拟 3.3 混合边值条件 3.4 非矩形区域 3.5 极坐标形式的差分格式 3.6 矩形区域上的Poisson方程的五点差分逼近 的敛速分析 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性 质研究

根据东南大学戴嘉尊编写的《微分方程数值解》制作的PPT电子课件,供有需要的师生下载。

设 是平面中的具有边界的一个有界区域，本章 考虑如下椭圆型方程的差分解法： 2u 2u 2u u u (3.1) a x, y 2 2b x, y c x, y 2 d x , y , u , , x y x y x y

其中，系数a(x,y),b(x,y),c(x,y)满足 b 2 ac 0 x, y 对应方程(3.1)的定解问题有下面三类：第一边值问题，或称Drichlet问题 方程 3.1

时域有限差分法对平面TE波的

MATLAB仿真

摘 要

时域有限差分法是由有限差分法发展出来的数值计算方法。自1966年Yee

在其论文中首次提出时域有限差分以来，时域有限差分法在电磁研究领域得到了广泛的应用。主要有分析辐射条线、微波器件和导行波结构的研究、散射和雷达截面计算、分析周期结构、电子封装和电磁兼容的分析、核电磁脉冲的传播和散射以及在地面的反射及对电缆传输线的干扰、微光学元器件中光的传播和衍射特性等等。

由于电磁场是以场的形态存在的物质，具有独特的研究方法，采取重叠的研究方法是其重要的特点，即只有理论分析、测量、计算机模拟的结果相互佐证，才可以认为是获得了正确可信的结论。时域有限差分法就是实现直接对电磁工程问题进行计算机模拟的基本方法。在近年的研究电磁问题中，许多学者对时域脉冲源的传播和响应进行了大量的研究，主要是描述物体在瞬态电磁源作用下的理论。另外，对于物体的电特性，理论上具有几乎所有的频率成分，但实际上，只有有限的频带内的频率成分在区主要作用。

文中主要谈到了关于高斯制下完全匹配层的差分公式的问题，通过MATLAB程序对TE波进行了仿真，模拟了高斯制下完全匹配层中磁场分量瞬态分布。得到了相应的磁场幅值效果图。

实验一：有限差分法研究静电场边值问题

实验报告人： 年级和班级： 学号：

1. 实验用软件工具： Matlab 2. 实验原理：电磁场课本P36-38

1) 差分方程

2) 差分方程组的解

简单迭代法

高斯-赛德尔迭代法 逐次超松弛法

3. 实验步骤： 1）简单迭代法 程序：

hx=41;hy=21; v1=zeros(hy,hx); v1(hy,:)=zeros(1,hx); v1(1,:)=ones(1,hx)*100; v1(:,1)=zeros(hy,1); v1(:,hx)=zeros(hy,1); v1

v2=v1;maxt=1;t=0; k=0;

while(maxt>1e-5) k=k+1; maxt=0; for i=2:hy-1 for j=2:hx-1

v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v1(i-1,j)+v1(i,j-1))/4; t=abs(v2(i,j)-v1(i,j)); if(t>maxt) maxt=t;end end end v1=v2; end v2 k clf

subplot(1,2,1),m

时域有限差分法对平面TE波的

MATLAB仿真

摘 要

时域有限差分法是由有限差分法发展出来的数值计算方法。自1966年Yee

在其论文中首次提出时域有限差分以来，时域有限差分法在电磁研究领域得到了广泛的应用。主要有分析辐射条线、微波器件和导行波结构的研究、散射和雷达截面计算、分析周期结构、电子封装和电磁兼容的分析、核电磁脉冲的传播和散射以及在地面的反射及对电缆传输线的干扰、微光学元器件中光的传播和衍射特性等等。

由于电磁场是以场的形态存在的物质，具有独特的研究方法，采取重叠的研究方法是其重要的特点，即只有理论分析、测量、计算机模拟的结果相互佐证，才可以认为是获得了正确可信的结论。时域有限差分法就是实现直接对电磁工程问题进行计算机模拟的基本方法。在近年的研究电磁问题中，许多学者对时域脉冲源的传播和响应进行了大量的研究，主要是描述物体在瞬态电磁源作用下的理论。另外，对于物体的电特性，理论上具有几乎所有的频率成分，但实际上，只有有限的频带内的频率成分在区主要作用。

文中主要谈到了关于高斯制下完全匹配层的差分公式的问题，通过MATLAB程序对TE波进行了仿真，模拟了高斯制下完全匹配层中磁场分量瞬态分布。得到了相应的磁场幅值效果图。