无穷级数和反常积分的关系

学号： 本 科 生 毕 业 论 文

论 文作 院 专 班 指 导题 目： 者： 系：业：级：教 师：

反常积分与无穷级数收敛关系的讨论

2015 年 5 月 17 日

I

NO.： Huanggang Normal University

Thesis Graduates

Topic ：

Author ：

College ： Specialty ：

Class ：

Tutor

：

May 17th, 2015

郑重声明

本人所呈交的毕业论文(设计)是本人在指导教师 的指导下独立研究并完成的. 除了文中特别加以标注引用的内容外，没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，本人完全意识到本声明

黄冈师范学院本科生毕业论文

本 论 文科 题 目：

毕 业 论 文

反常积分与无穷级数收敛关系的讨论

生

NO.：201121140403 Huanggang Normal University

Topic Author College Specialty Class Tutor

Thesis Graduates

Discuss Improper Integrals and Infinite Series Converges Relations

CHEN Gan

College of Mathematics and Physics Mathematics and Applied Mathematics 201104 HE Chunling

： ：：：：

：

May 17th

第九章 反常积分

前面讨论的定积分，事实上有两个前提：积分区间是有限的；被积函数是有界的.但实际问题常常要突破这两个前提,要求我们将函数f(x)在区间?a,b?上的定积分

?baf(x)dx从

不同方面予以推广.例如，将区间?a,b?推广到无限区间???,b?,?a,???,???,???，就有无限区间的反常积分，简称无穷积分；将区间?a,b?的有界函数f(x)推广到无界函数，就有无界函数的反常积分，简称瑕积分.将被积函数由一元函数推广到多元函数就有含参变量积分，等等.

第一节 无穷积分的性质与敛散性的判别

一、无穷积分的概念 引例 求曲线y?1和直线x?1及x轴所围成的开口曲边梯形的面积. 2x解: 在区间?1,???中任取一点b,那么由x轴、 曲线y?1及直线x?1与所围图形的 x2面积是可以用定积分计算的， 即

F(b)??很自然，把极限

b1dx1?1? 2bxlimb???1F(b)?lim(1?)?1

bb?????当作所求曲边梯形的面积，写作

S??11dx 2x由此可得一般的无穷积分的概念.

定义1 设函数f(x)在区间?a,???连续,任取t?a,则称极限

lim?t???taf(x)dx

为函数f(x)在区间?a,?

无穷限反常积分敛散性及审敛法则

一、教学目标分析

在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识，本节通过介绍反常积分，加深学生对积分的了解，使同学对积分的了解更加系统化，并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。让学生反常积分在一些实际问题中的应运。

二、学情/学习者特征分析

学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛，使学生充分掌握本节课的内容。

三、学习内容分析

1.本节的作用和地位

通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。

2．本节主要内容

1. 无穷限反常积分的定义与计算方法 2. 无穷限反常积分的性质 3. 无穷限反常积分的比较审敛法则

4. 条件收敛与绝对收敛

3.重点难点分析

教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则； 教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。

4.课时要求：2课时

四、教学理念

学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节

微积分第七章无穷级

数

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第七章无穷级数

一、本章的教学目标及基本要求：

（1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本

性质和收敛的必要条件。

（2）掌握几何级数与p—级数的收敛性。

（3）会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。

（4）会用交错级数的莱布尼茨定理。

（5）了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

（6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

（7）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

（8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

（9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

（10）掌握函数«Skip Record If...»的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

（11）了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义在«Skip Record If...»上的函数展开成傅氏级数，会将定义在«Skip

Record If...»上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级

微积分第七章无穷级

数

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第七章无穷级数

一、本章的教学目标及基本要求：

（1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本

性质和收敛的必要条件。

（2）掌握几何级数与p—级数的收敛性。

（3）会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。

（4）会用交错级数的莱布尼茨定理。

（5）了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

（6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

（7）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

（8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

（9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

（10）掌握函数«Skip Record If...»的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

（11）了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义在«Skip Record If...»上的函数展开成傅氏级数，会将定义在«Skip

Record If...»上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级

一.无穷积分与级数

a

f ( x )dx, a

b

f ( x )dx,

f ( x )dx.

b f ( x )dx, f ( x )dx 的敛散性都可归结为

形如

f ( x )dx

的无穷积分. a

dx x

1 n 1 n

1 1

收敛 发散

收敛 发散

定理1 无穷积分 a

f ( x )dx 收敛

对任意数列 An , n N , 有 An [a , ),lim 而 A1 a, n An ,k 1

级数

Ak 1 Ak

f ( x )dx

收敛于同一数，且

a

f ( x )dx k 1

Ak 1 Ak

f ( x )dx.

证明

必要性 已知无穷积分收敛，即

a

f ( x )dx lim n Ak 1 Ak

An 1 n a

f ( x )dx Ak 1 Ak

lim n k 1

f ( x )dx k 1

f ( x )dx.

充分性 已知对任意数列 An , 而 A1 a ,n

lim An

时， 级数 k 1

Ak 1 Ak

f ( x )dx

收敛

于同一个数， 即它的部分和数列 n A

一.无穷积分与级数

a

f ( x )dx, a

b

f ( x )dx,

f ( x )dx.

b f ( x )dx, f ( x )dx 的敛散性都可归结为

形如

f ( x )dx

的无穷积分. a

dx x

1 n 1 n

1 1

收敛 发散

收敛 发散

定理1 无穷积分 a

f ( x )dx 收敛

对任意数列 An , n N , 有 An [a , ),lim 而 A1 a, n An ,k 1

级数

Ak 1 Ak

f ( x )dx

收敛于同一数，且

a

f ( x )dx k 1

Ak 1 Ak

f ( x )dx.

证明

必要性 已知无穷积分收敛，即

a

f ( x )dx lim n Ak 1 Ak

An 1 n a

f ( x )dx Ak 1 Ak

lim n k 1

f ( x )dx k 1

f ( x )dx.

充分性 已知对任意数列 An , 而 A1 a ,n

lim An

时， 级数 k 1

Ak 1 Ak

f ( x )dx

收敛

于同一个数， 即它的部分和数列 n A

题 目 含参量反常积分一致收敛的判别法

学生姓名 学 号 系 别 数学系 年 级 2010级 专 业 数学与应用数学 指导教师 职 称 完成日期

1

摘 要

含参变量的反常积分是研究和表达函数的的有力工具。要更好的研究含参量反常积分所表达的函数，关键问题在于判断他的一致收敛性。本文通过研究判断含参量反常积分一致收敛的判别法,以帮助研究含参量反常积分所表达的函数。 关键词：含参量反常积分;一致收敛;判别法

2

Abstract

Improper integral with variable

第２４卷第２期２００８年４月

山西大同大学学报（自然科学版）

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈａｎｘｉＤａｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）

Ｖｏｌ．２４．Ｎｏ．２Ａｐｒ．２００８

计算含参量反常积分的一些特殊方法

唐

雄，陈

莹

４６３０００）

（黄淮学院数学系，

摘

河南驻马店

要：计算含参量的反常积分时，常用的是两种方法：１）利用积分号下求积分的方法计算反常积分；２）利用积

收敛因子

一致收敛

微分方程

分号下求导方法计算反常积分．本文介绍另外几种求反常积分的方法．

关键词：反常积分

中图分类号：Ｏ１７２．２文献标识码：Ａ文章编号：１６７４－０８７４（２００８）０２－０００８－０３

反常积分是微积分教学中的一个难点，涉及的知识点较多，近年来考研的试题中也屡屡出现这方面的试题．许多试题按照通常的方法不易求解，本文拟提供几种特殊的计算方法．

故

原积分＝ｌｉｍ

Ａ→０

!

Ａ

＋∞

ｆ（ａｘ）－ｆ（ｂｘ）

ｄｘ＝１

利用反常积分的定义和变量替换求解

这种方法的主要思想是：求一个无穷上限（或下

ｆ（０）ｌｎｂ（ａ，ｂ＞０）．

２通过建立微分方程求积分值

将含参变量的反常积分看成是关于该参量的函

限）的反常积分，可以先将其上限（或下限）固定，然后利用变量替换的的方法求解其值，最后通过作极限手段