韦达定理及其应用

韦达定理及其应用

一、知识要点

1、若一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 中，两根为x1，x2。则x1 x2

x1 x2

ca

ba

，

，；补充公式x1 x2

a

2、以x1，x2为两根的方程为x2 x1 x2 x x1 x2 0 3、用韦达定理分解因式ax bx c a x

2

2

ba

x

c

a x x1 x x2 a

二、例题

1、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差：

2

（1）x 3x 10 0 （2）3x 5x 1 0 （3）2x 43x 22 0

2

2

2、 已知关于x的方程x (5k 1)x k 2 0，是否存在负数k，使方程的两个实

数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。

3、 已知方程x 5x 2 0，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各

根的平方的倒数。

11 1

4、 解方程组 xy12

xy 2

2

22

5、 分解因式：

（1）3x 5x 2 （2）4x 8x 1

2

2

三、练习

1、 在关于x的方程4x2 m 1 x m 7 0中，（1）当两根互为相反数时m的值；

（2）当一根为零时m的值；（3）当两根互为倒数时m的值

2、 求出以一

韦达定理及其应用

一、知识要点

1、若一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 中，两根为x1，x2。则x1 x2

x1 x2

ca

ba

，

，；补充公式x1 x2

a

2、以x1，x2为两根的方程为x2 x1 x2 x x1 x2 0 3、用韦达定理分解因式ax bx c a x

2

2

ba

x

c

a x x1 x x2 a

二、例题

1、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差：

2

（1）x 3x 10 0 （2）3x 5x 1 0 （3）2x 43x 22 0

2

2

2、 已知关于x的方程x (5k 1)x k 2 0，是否存在负数k，使方程的两个实

数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。

3、 已知方程x 5x 2 0，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各

根的平方的倒数。

11 1

4、 解方程组 xy12

xy 2

2

22

5、 分解因式：

（1）3x 5x 2 （2）4x 8x 1

2

2

三、练习

1、 在关于x的方程4x2 m 1 x m 7 0中，（1）当两根互为相反数时m的值；

（2）当一根为零时m的值；（3）当两根互为倒数时m的值

2、 求出以一

www.czsx.com.cn

第三讲 韦达定理及其应用

【趣题引路】

韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。 历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。

韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗？

ab2?b2?12004

已知：①a+2a-1=0,②b-2b-1=0且1-ab≠0,求()的值。

a2

4

2

2

解析 由①知1+2 即(

11-=0, aa2121)-2·-1 =0,③ aa 由②知(

【2013年中考攻略】专题4：韦达定理应用探讨

锦元数学工作室 编辑

韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为―韦达定理‖）。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为―代数学之父‖。

韦达定理说的是：设一元二次方程ax2+bx+c=0?a?0?有二实数根x1，x2，则x1+x2=?，1x?2x=abca。

这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系。其逆命题：如果x1，x2满足x1+x2=?，x1?x2=abca，那么x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0?a?0?的两个根也成立。

韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式?=b2?4ac?0。 韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。锦元数学工作室将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二

【2013年中考攻略】专题4：韦达定理应用探讨

韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为―韦达定理‖）。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为―代数学之父‖。

韦达定理说的是：设一元二次方程ax2+bx+c=0?a?0?有二实数根x1，x2，则

bc。 x1+x2=?，x1?x=2aa这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系。其逆命题：如果x1，x2满足x1+x2=?，x1?x2=两个根也成立。

韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式

bac，那么x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0?a?0?的a?=b2?4ac?0。

韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。锦元数学工作室将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待

判别式与韦达定理

根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论.

1． 判别式的应用

2

例1 已知实数a、b、c、R、P满足条件PR＞1，Pc+2b+Ra=0.求证：一元二次方程ax+2bx+c=0必有实根.

2

证明 △=（2b）-4ac.①若一元二次方程有实根，

必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra），代入①，得

2

△ =（Pc+Ra）-4ac

22

=（Pc）+2PcRa+（Ra）-4ac

2

=（Pc-Ra）+4ac（PR-1）.

∵（Pc-Ra）2≥0，又PR＞1，a≠0， （1）当ac≥0时，有△≥0；

2

（2）当ac＜0时，有△=（2b）-4ac＞0.

2

（1）、（2）证明了△≥0，故方程ax+2bx+c=0必有实数根.

例2 k是实数，O是数轴的原点，A是数轴上的点，它的坐标是正数a.P是数轴上另一点,坐

2

标是x,x＜a，且OP=k·PA·OA.

（1） k为何值时，x有两个解x1，x2（设x1＜x2）；

（2） 若k＞1，把x1，x2，0，a按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接.

2

解 （1）由已知可得x=k

一、韦达定理

如果一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的两个根是x1,x2， 那么x1 x2

二、练习

1、若方程x+(a－2)x－3=0的两根是1和－3，则实数a = __________

2、设x1,x2是方程2x－6x＋3＝0的两根，则x1 x2的值是（ ）

（A）15 （B）12 （C）6 （D）3

3、不解方程，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0两根的（1）平方和；（2）倒数和。

4、设x1,x2是方程2x 4x 3 0的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。

(1) x1 1 x2 1

(2) x1 x2 22222bc,x1 x2 aa22

(3) x2x1 x1x2

105,。 325、求一个一元二次方程，使它的两根分别是

26、以方程x＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）

（A） y+5y－6 = 0 （B）y+5y＋6 = 0 （C）y－5y＋6 = 0 （D）y－5y－6 = 0

7、已知方程5x kx 6 0的一根是2，求它的另一根及k的值。

8、已知关于x的方程10x－(m+3)x + m－7= 0

①若有一个根为0，则m=_________ ，这时，方

这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习

韦达定理与根的判别式

知识点：

1、根的判别式b2

4ac

（1）b2

4ac 0 ，方程有两个不相等的实数根； （2）b2 4ac 0，方程有两个相等的实数根； （3）b2 4ac 0，方程没有实数根； 2、韦达定理

已知x1,x2是一元二次方程的两根，则有

xb1 x2

a

x1x2

ca

例1：已知一元二次方程x2

2x m 1 0 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设x2

1,x2是方程的两个实数根，且满足x1 x1x2 1，求m的值 练习：

1

、方程x2

3 0的根的情况是（ ）

A有两个不等的有理实根 B有两个相等的有理实根 C有两个不等的无理实根 D有两个相等的无理实根 2、已知x2

1,x2是方程2x 3x 4 0的两个根，则（ ） A x331 x2 2 ，x1x2 2 B x1 x2 2 ，x1x2 2 C x1 x32

2

，x1x2 2 D x31 x2

2

，x1x2 2

3

、已知方程x2 2 0，则此方程（ ）

A 无实数根 B

两根之和为 C两根之积为2

D

有一根为2

姐妹情深----判别式与韦达定理

【知识要点】

一、一元二次方程判别式

1．一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 根的判别式 b2 4ac， 利用它可以判断一元二次方程的根的情况，即： ① 0 方程有两个不相等的实数根； ② 0 方程有两个相等的实数根； ③ 0 方程没有实数根．

二、一元二次方程根与系数的关系 （韦达定理）

bc

1．如果 x1,x2是方程ax2 bx c 0(a 0)的两个根，则x1 x2 .x1x2 .

aa

特别的，当一元二次方程的二次项系数为1时，如 x1,x2是方程x2 bx c 0的两个根时，则

x1 x2 b，x1x2 c.

三、一元二次方程根与系数的关系的应用

1．利用根与系数的关系求有关根的代数表达式的值，如求x1 x2,

2

2

11

,(x1 x2)2,x1 x2及相关x1x2

变形式。

2．已知两根或它们之间的关系构造一元二次方程

以两个数x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x x1 x2 x x1x2 0．一般地，如果

b

x x 2 1a

有两个数x1,x2满足 那么x1,x2必定是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两个实

xx c12 a

数根．（韦达定理的逆定理）

3．一元二次方程判别式与

中考数学培优难题 全优专题

一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根

课题：培优难题 全优专题 专题4：韦达定理应用探讨 韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。 韦达定理说的是：设一元二次方程ax2+bx+c=0?a?0?有二实数根x1，x2，则bcx1+x2=?，x1?x2=。 aa这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系。其逆命题：如果x1，x2满足x1+x2=?，x1?x2=，那么x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0?a?0?的两个根也成立。 韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式?=b2?4ac?0。 韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。我们将其应