不等式的应用例题
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不等式的应用(1)
选修4-5不等式选讲
第8课时:不等式的应用(1) 陕西省西乡县第二中学数学教研组 余国庆
教学目标:1.初步会用均值不等式求函数的最值问题;
2.能综合运用函数关系,不等式知识解决简单的实际问题。
教学重点、难点:化实际问题为数学问题。 教学过程:
一 复习 1.均值不等式;
2.运用数学知识解决实际问题的一般步骤。
二 新课讲解
例1 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m2的造价为150元,池壁每1m2的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?
分析:首先建立水池总造价关于一边长度的函数关系式,然后均值不等式求函数的最小值。
例2 甲,乙是两位粮食经销商,他们每次都会在同一粮食生产基地以相同的价格购进粮食,某月,他们共购进粮食3次,各次的价格不同,甲每次购10000kg的粮食,乙每次购10000kg的粮食,谁的购粮方式更经济? 分析:本题是购买粮食的问题,要搞清: 甲,乙两人的购粮次数, 购粮数量, 购粮单价以及每次购粮的钱款数等数量.再表示出甲,乙3次购粮的
1
实际问题 的解 检验
数学模 型的解 实际问题 审题、分 析、建模 数学模型 求解 平均每千克的粮价
均值不等式的应用
均值不等式的应用
刘艺
【摘要】摘要:本文旨在探究均值不等式的应用.即利用均值不等式去解决一类关于n次多项式的不等式证明问题。
【期刊名称】教育教学论坛
【年(卷),期】2011(000)017
【总页数】3
【关键词】均值不等式;n次多项式;基本元素
设a1,a2,…,an∈R+,n∈N且n>1,则
(当且仅当a1=a2=…=an,时,“=”成立)
利用(*)式,能解决数学中许多诸如不等式、函数最值等问题。本文重在探究如何应用(*)式去解决一类关于n次多项式的不等式的证明问题.
为研究问题方便,不妨称满足(*)式中的a1,a2,…,an为基本元素,由这些元素构成的和式a1+a2+…+an与积式a1a2…an称为基本式.
一、所涉及的命题中,明显含有a1+a2+…+an和a1a2…an等基本式,可选用a1,a2,…,an为基本元素,直接利用(*)式证明例1:设a1,a2,…,an∈R+求证(a1+a2+…+an)
分析:由于题目中明显含有和式(a1+a2+…+an)与,故可选ai和为基本元素,由(*)式着手解决。
简证:选ai和为基本元素,由均值不等式可得
证毕.
例2:设a1,a2,…,an为不相等的正数,且S=a1+a2+…+an,
均值不等式的应用(习题+答案)
均值不等式的应用
均值不等式应用
一.均值不等式
1.(1)若a,b R,则a2 b2 2ab (2)若a,b R,则ab
2. (1)若a,b R*,则
a b2
*
a b2
22
a b时取“=”)
ab (2)若a,b R,则a b 2
2
ab(当且仅当a b时取“=”)
a b (3)若a,b R,则ab ) (当且仅当a b时取“=”
2
*
3.若x 0,则x
1x
“=”);若x 0,则x 2 (当且仅当x 1时取
1x
“=”) 2 (当且仅当x 1时取
若x 0,则x 1 2即x 1 2或x 1 -2 (当且仅当a b时取“=”)
x
x
x
3.若ab 0,则a b 2 (当且仅当a b时取“=”)
b
a
若ab 0,则
ab
ba
2即
2
ab
ba
2
2或
ab
ba
) -2 (当且仅当a b时取“=”
4.若a,b R,则(
a b2
)
2
a b2
(当且仅当a b时取“=”)
注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应
均值不等式的应用(习题+答案)
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均值不等式应用
一.均值不等式
1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则2
22b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则
ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”) (3)若*,R b a ∈,则22??
? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a
b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则22-2a b a b a b b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若R b a ∈,,则2
)2(222b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植
能力培优 不等式及不等式组
(一)不等式概念和性质错解例析
初学不等式,由于对概念及性质理解不够深刻,有些同学常出现一些错误,现举例分析,望能引以为戒
一、理解概念不透致错
例1、下列给出四个式子,
①x>2 ②a≠0 ③5<3 ④a≥b 其中是不等式的是( )
A、①④ B、①②④ C、①③④ D、①②③④
错解、选A
分析、不等式是指形式上用“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”连接的式子,不受其是否成立的影响,5<3是不等式,只不过这个不等式不成立,另外a≠0也是不等式,因为“≠”也是不等号, 正解、选D
二、符号意义不清致错 例2、下列不等式
①2a>a ②a2+1>0 ③8≥6 ④x2≥0 一定成立的是( )
A、②④ B、② C、①②④ D、②③④
错解、选A
分析、导致本题错误的原因是对“≥”理解不正确,“≥”的意义是“>”或“=”,有选择功能,二者成立之一即可,事实上也只能二者取一,不等号两边的量不会既“>”又“=”,所以,对8≥6的理解应是“8大于6”,对x2≥0的理解应是,“当x=0时,x2=0;当x≠0时,x2>0” 正解、选D
例3、不等式x>-2的解集在数轴上表示正确的一项是( )
A B C
D
错解,选A
分析、对不等式的解集在数轴上的表示方法不清出错,在数轴上表示不等式的解集时,实心
初二数学备课组
初一数学-不等式易错题、难题集合--不等式性质应用
不等式难题 细细研读 多做多做
学生姓名 陈 年级 初一 授课时间 2012.6.2 教师姓名 刘 课时 2
不等式易错题、难题集合
(注意:运用不等式的性质是解题的关键!!!!!!不等式的性质切记!!!!!!!!)
一,选择题
1.下列不等式一定成立的是( )
A.5a>4a B.x+2<x+3 C.-a>-2a D.4
a 2
a
2.若-a>a,则a必为( )
A.正整数 B.负整数 C.正数 D.负数
3.若a>b,则下列不等式一定成立的是( )
A.b<1 B.a>1 C.-a>-b D.a-b>0
ab
4.若a-b<0,则下列各式中一定正确的是( )
A.a>b B.ab>0 C.ab <0 D.-a>-b
5.如果b a 0,那么 ( ).
A. 1
a 1
b B.1
a 1
b C. 11
a b D. b a
6.若果x-y>x,x+y>y,那么( )
A.0<x<y B.x<y<0 C.x>0,y<0 D.x<0,y>0
7.若a、b、c是三角形
不等式的解法
篇一:不等式的解法
目录
摘要…………………………………………………………….1 引言 …………………………………………………………..1
一 、目的性………………………………………………….2
1.1不等式的理论与实践相统一……………………………….2
1.2总结不等式的解法在数学课程中的重要性…………………2
二 、不等式的理论性…………………………………………2
2.1 一元二次不等式的解法……………………………………2
2.2函数与不等式的关系 ……………………………………….3
2.3利用函数解不等式…………………………………………3
2.4 含绝对值不等式的解法…………………………………..5
三、实用性 … ………………………………………………6
3.1结合数轴图形解不等式…………………………………..6
3.2 用分类讨论的思想求不等式的解法 … ……………………7
四、结论……………………………………………………7 总结与体会…………………………………………………7 致谢 ………………………………………………………8 参考文献 …………………………………………………8
摘 要
在现在中学数学的教学中,不等式的解法是数学课程的重点之一。而学生在做不行
高次不等式及分式不等式的解法(试教)
甲、多 项 不 等 式 及 分 式 不 等 式
1、 高 次 多 项 不 等 式 及 其 解 法
一、 高次不等式:
已知:anxn+an-1xn1+…+a1x+a0>0。(其中,不等符号可为>、<、?、? )
-
若:an≠0。 称:n次不等式。 若:n?2。 称:高次不等式。
二、 解法:
___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ 例題1 解下列不等式
(1) (x+3)(x-2)(x-4)>0,______________________ (2) (x+1)(x-1)(2+x)(2-x)<0,_________________ (3) (x+1)(x2+3x-4)>0,______________________ (4) (2x-1)2<(x+2)2,_________________ Sol:
1
例題2
解不等式(x-2)(x-3)(x+1) ? 0,____________________
柯西不等式的证明及其应用
kexi budengshi
柯西不等式的证明及其应用
赵增林
(青海民族大学,数学学院,青海,西宁,810007)
摘要:柯西不等式是一个非常重要的不等式,本文用五种不同的方法证明了柯西
不等式,并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用,最后用其证明了点到直线的距离公式,更好的解释了柯西不等式。
关键词:柯西不等式,证明,应用 柯西不等式
定理:如果a1,a2,……,an;b1,b2,……,bn为两组实数,则
2222
(a1b1 a2b2 …… anbn)2 (a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn) (*)
当且仅当a1b2 a2b1 a1b3 a3b1 …… a1bn anb1 0时等号成立。 若b1 0,b2 0,……,bn 0,则不等式的等号成立的条件是
aa1a2
…… n。 b1b2bn
我们称不等式(*)为柯西不等式。 柯西不等式的证明:
一)两个实数的柯西不等式的证明:
22
对于实数a1,a2,b1,b2,恒有(a1b1 a2b2)2 (a12 a2)(b12 b2),当且仅当
a1b2 a2b1 0时等号成立。如果b1 0,b2 0则等式成立的条件是证明:对于任意实数a1,a2,
第2讲不等式与不等式组
中考专题复习
第2讲 不等式与不等式组
一级训练
1.(2012年广东广州)已知a>b,c为任意实数,则下列不等式中总是成立的是( ) A.a+c<b+c B.a-c>b-c C.ac<bc D.ac>bc 2.(2012年四川攀枝花)下列说法中,错误的是( )
A.不等式x<2的正整数解中有一个 B.-2是不等式2x-1<1的一个解 C.不等式-3x>9的解集是x>-3 D.不等式x<10的整数解有无数个
3.(2012年贵州六盘水)已知不等式x-1≥0,此不等式的解集在数轴上表示为(
)
4.(2012年湖北荆州)已知点M(1-2m,m-1)关于x轴的对称点在第一象限,则m的取值范围在数轴上表示正确的是(
)
2x-1≥x+1,
5.(2012年山东滨州)不等式 的解集是( )
x+8≤4x-1
A.x≥3 B.x≥2 C.2≤x≤3 D.空集
x-1≥0,
6.(2012年湖北咸宁)不等式组 的解集在数轴上表示为(
)
4-2x>0
7.(2012年湖南益阳)如图2-2-2,数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集(
)
图2-2-2
x≥-5, x>-5, x<5, x<5, A. B. C. D. x>-3