环形跑道相遇追及问题

环形跑道问题

经典公式：路程＝速度×时间 同一地点出发：反向 每相遇一次，合走一圈

路程和＝速度和×相遇时间 同向 每追上一次，多走一圈 路程差＝速度差×追及时间

一、基础环形跑道

例1佳佳和海海在周长为400米的环形跑道上进行万米长跑。佳佳的速度是40米/分，海海的速度是60米/分。

⑴佳和海海同时从同一地点出发反向跑步，两人几分钟后第一次相遇？再过几分钟后两人第二次相遇？ ⑵佳佳和海海同时从同一地点出发，同一方向跑步，海海跑几分钟能第一次追上佳佳？再过几分钟能第二次追上佳佳？

佳佳、海海两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。这条公路长2400米，佳佳骑一圈需要10分钟。如果第一次相遇时佳佳骑了1440米。

请问：⑴佳佳的速度是多少米/分？ ⑵出发到第一次相遇用时多少分钟？ ⑶海海骑一圈需要多少分钟？ ⑷再过多久他们第二次相遇？

在周长为220米的圆形跑道的一条直径的两端，海海、佳佳二人骑自行车分别以6米/秒和5米/秒的速度同时反向出发(即一个顺时针一个逆时针)，沿跑道行驶，则2

相遇、追及问题

一、 相遇问题

两个物体从不同地点做面对面的运动，即相向运动，相向运动能使两运动物体在途中相遇，它是研究速度和、相遇时间、总距离（总路程）之间的关系，解答相遇问题的关键是要求出两物体在同一时间的速度之和，又称速度和。

例题1：两辆汽车从A、B两地相向开出，甲车每小时行55千米，乙车每小时行45千米，经过3小时两车相遇，A、B两地相距多少千米？

EX1：两列火车同时从两地相对开出，甲列火车每小时行86千米，乙列火车每小时行102千米，经过5小时两车在途中相遇，求两地相距多少千米？

EX2：甲乙两列火车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲车每小时行驶75千米，乙车每小时行驶69千米，经过18小时两车途中相遇，两地间的铁路长多少千米？

相遇问题中存在的数量关系：速度和 × 相遇时间 = 路程和 路程和 ÷ 相遇时间 = 速度和 路程和 ÷ 速度和 = 相遇时间

例题2：北京到沈阳的铁路长830千米，两辆火车同时相向开出10小时相遇，已知甲车每小时行41千米，乙车每小时行多少千米？

EX1：甲、乙两

相遇、追及问题

一、 相遇问题

两个物体从不同地点做面对面的运动，即相向运动，相向运动能使两运动物体在途中相遇，它是研究速度和、相遇时间、总距离（总路程）之间的关系，解答相遇问题的关键是要求出两物体在同一时间的速度之和，又称速度和。

例题1：两辆汽车从A、B两地相向开出，甲车每小时行55千米，乙车每小时行45千米，经过3小时两车相遇，A、B两地相距多少千米？

EX1：两列火车同时从两地相对开出，甲列火车每小时行86千米，乙列火车每小时行102千米，经过5小时两车在途中相遇，求两地相距多少千米？

EX2：甲乙两列火车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲车每小时行驶75千米，乙车每小时行驶69千米，经过18小时两车途中相遇，两地间的铁路长多少千米？

相遇问题中存在的数量关系：速度和 × 相遇时间 = 路程和 路程和 ÷ 相遇时间 = 速度和 路程和 ÷ 速度和 = 相遇时间

例题2：北京到沈阳的铁路长830千米，两辆火车同时相向开出10小时相遇，已知甲车每小时行41千米，乙车每小时行多少千米？

EX1：甲、乙两

高新杰

第七讲环形跑道问题

一． 知识点总结

基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间

关键问题：确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题（相向）：相遇时间=路程和÷速度和

追及问题（同向）：追及时间＝路程差÷速度差

注：不只是追及问题中我们用路程差÷速度差=追及时间，实际在很多两人同时行进一段时间，不同的速度必然会造成路程不同，我们都可以用这个公式：路程差÷速度差=所行时间。

环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈。这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。

二． 做题方法：

（1）审题：看题目有几个人或物参与；

看题目时间：“再过多长时间” 就是从此时开始计时，“多长时间

后”就是从开始计时

看地点是指是同地还是两地甚至更多。 看方向是同向、背向还是相向

看事件指的是结果是相遇还是追及

相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中

一个周长为400米的正方形ABCD跑道,甲在B点，乙在A点，甲的速度是每秒25米，乙的速度是是每秒5米，问多长时间后甲乙第一次相遇？

分析：因为是环形跑道，所以方向为逆时针，还是顺时针，不知道，所以需要分类讨论.（对于不确定的事情，又合理的问题需要分类讨论）

逆时针时：可以转化为一般形成问题中的相遇问题。

把BC、CD、AD拉直，问题转化为一般的行程问题：

转化为甲乙相向而行的相遇过程，其中相距的路程是300米.

等量关系：甲的路程+乙的路程=相距路

顺时针时：

分析：因为甲的速度快，乙的速度慢，乙是追不上甲的，要想相遇，必须是甲追上乙，转化行程问题的追及问题：

依上图，问题可以转化为：甲在A点，乙在B点，同时向右跑的追及问题，开始甲乙相距300米.

等量关系：甲的路程-乙行的路程=相距路程

转化为一般的行程问题后，问题可以迎刃而解。

这里体现了一个数学思想---转化思想，把未知的知识转化为已知的知识，把复杂的问题，转化为简单的问题，是获得新知的一个很重要的手段。

环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。

封闭环形上的相遇问题：环形周长

行程问题：多次相遇、追及问题

1、五年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：中难度

甲、乙两车分别从A，B两地出发，并在A，B两地间不断往返行驶。已知甲车的速度是 25千米/时，乙车的速度是15千米/时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米。求A，B两地的距离？

【分析】：

多次相遇问题，最好把全程分成分数去考虑

甲乙的速度比是25：15=5：3，第一次相遇两车共行了一个全程，其中乙行了 。第三次两车共行了5个全程，乙行了5× = 个全程，第四次相遇两车共行了7个全程，乙行了7× = 个全程，两次路程差是 个全程，所以AB两地相距200千米

2、六年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：中难度

甲、乙二人分别从A﹑B两地同时相向而行，乙的速度是甲的 ，二人相遇后继续行进，甲到B地，乙到A地后立即返回。已知二人第二次相遇到地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A﹑B两地相距多少千米？

【分析】：

第一次相遇，甲乙的路程和是一个全程，甲行的路程是全程的 ，乙行了全程的 ，第二次相遇，甲乙的路程和是3个全程，此时甲行了 ×3= 个全程，两次相遇的距离是 个全程，即20千米，所

3-1-3多次相遇和追及问题

教学目标

1. 学会画图解行程题

2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题 3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题

知识精讲

板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题

所有行程问题都是围绕“路程?速度?时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．

【例 1】 （难度等级 ※）甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每

秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？ 【解析】 从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300?10?3000米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了

3000?3.5?1400米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行3.5?4300?200?100米才能回到出发点．

【巩固】 （难度等级 ※）甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是

每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？ 【解析】 1

第七讲 简单的相遇与追及

姓名

追及问题与相遇问题的区别在于运动的方向，及由此而引出的速度和与速度差；共同点是双方所用的时间是相等的。在解答追及问题时，关键是抓住速度差去分析和思考，同时画线段图辅助解题是一种行之有效的方法。

【引入】甲乙两人相距200米，甲每分钟走45米，乙每分钟行55米。几分钟后两人相距500米？ 分析与解： 1.反方向运动：

相背：(500-200)÷(45+55)=300/100=3（分钟）

相遇再相背：(500+200)÷(45+55)=700/100=7（分钟） 2.同方向运动：

追上再超过：(500+200)÷(55-45)=700/10=70（分钟） 追不上：(500-200)÷(55-45)=300/10=30（分钟）

【典型例题1】甲乙两人分别从相距20千米的两地同时相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，两人几小时后相遇？

分析与解：20÷（6＋4）＝2小时。

【边学边练1】A、B两地相距540千米，一列客车与一列货车分别从A、B两地相向而行，客车每小时行120千米，货车每小时行90千米，已知客车出发1小时后，货车才出发，求货车出发几小时后，两车相遇？

提示与

行程问题：多次相遇、追及问题

1、五年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：中难度

甲、乙两车分别从A，B两地出发，并在A，B两地间不断往返行驶。已知甲车的速度是 25千米/时，乙车的速度是15千米/时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米。求A，B两地的距离？

【分析】：

多次相遇问题，最好把全程分成分数去考虑

甲乙的速度比是25：15=5：3，第一次相遇两车共行了一个全程，其中乙行了 。第三次两车共行了5个全程，乙行了5× = 个全程，第四次相遇两车共行了7个全程，乙行了7× = 个全程，两次路程差是 个全程，所以AB两地相距200千米

2、六年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：中难度

甲、乙二人分别从A﹑B两地同时相向而行，乙的速度是甲的 ，二人相遇后继续行进，甲到B地，乙到A地后立即返回。已知二人第二次相遇到地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A﹑B两地相距多少千米？

【分析】：

第一次相遇，甲乙的路程和是一个全程，甲行的路程是全程的 ，乙行了全程的 ，第二次相遇，甲乙的路程和是3个全程，此时甲行了 ×3= 个全程，两次相遇的距离是 个全程，即20千米，所

环形跑道加强篇

知识点总结： 1 三大公式

路程=速度×时间

路程和=速度和×相遇时间 路程差=路程差×追及时间

2 同时同地出发

（反向相遇）每合走一圈，就相遇一次。 （同向追击）每多走一圈，就追上一次。

3 非同时同地相遇 注意初次相遇。

初次相遇之后即为同时同地出发。 相邻两次之间的时间间隔是一样的。

1. 两人在300米环形跑道上跑步 ，两人从同一地点出发，反向而行，15秒后两人相遇。如果同向而行，30秒后两人相遇，求两人的速度？ 答：300÷15=20（米/秒）300÷30=10（米/秒）

快：（20+10）÷2=15（米/秒） 慢：20-15=5（米/秒）

2．两人在环形跑道上跑步 ，两人从同一地点出发，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇？ 答：（3+4）×45=315（米/秒）315÷（4-3）=315（秒）

3.小明与小华分别以不同速度，在周长为500米的环形跑道上跑步，小华的速度为180米/分，

(1) 他们同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小明的速度是多少米/分？

答：500÷75=20/3（米/秒）=400米/分 400-180