选修4-4数学电子课本

1.1 平面直角坐标系

本课提要：本节课的重点是体会坐标法的作用，掌握坐标法的解题步骤，会运用坐标法解决实际问题与几何问题.

一、课前小测

?温故而知新

1．到两个定点A（-1，0）与B（0，1）的距离相等的点的轨迹是什么？

2．在⊿ABC中，已知A（5，0），B（-5，0），且

AC?BC?6，求顶点C的轨迹方程.

二、典型问题

?重点、难点都在这里

【问题1】：某信息中心接到位于正东、正西、正

北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s，各观测点均在同一平面上.）

【问题2】：已知⊿ABC的三边a,b,c满足

b2?c2?5a2，BE，CF分别为边AC，AB上的中

线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系.

三、技能训练

?懂了，不等于会了

4．两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹.

5．求直线2x?3y?5?0与曲线y?1x的交点坐标.

6．已知A（-2，0），B（2，0），则以AB为

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参数方程 综合练习2

一、选择题（每小题4分，共48分）

?x?1?2t1．若直线的参数方程为?(t为参数)，则直线的斜率为（ ）

?y?2?3t2233A． B．? C． D．?

3322?x?2cos?2．直线：3x-4y-9=0与圆：?，(θ为参数)的位置关系是( )

y?2sin?? A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心

?x?acos?3．设椭圆的参数方程为??0?????，M?x1,y1?，N?x2,y2?是椭圆上两

y?bsin?? 点，M，N对应的参数为?1,?2且x1?x2，则（ ） A．?1??2 B．?1??2 C．?1??2 D．?1??2

4．经过点M(1，5)且倾斜角为 的参数方程是( )

?的直线，以定点M到动 点P的位移t为参数 31111????x?1?tx?1?tx?1?tx?1?t????????2222 A.? B. ? C. ? D. ?

3333?y?5??y?5??y?5??y?5?tttt????2222?????x?t25．点P

直线的参数方程

教学目的：使学生理解直线的参数方程的形式，了解其参数t的几何意义；会用直线的参数方程解决一些问题。 一、问题情景

上节我们学习了曲线的参数方程，今天学习的直线的参数方程。 二、数学构建 【引例】求经过点M（x0,y0)，倾斜角为?的直线l的参数方程。

分析：实际上是求直线上动点M的轨迹方程。

解：设M（x,y)是直线上任意一点，过点M作y轴的平

行线，过点M0作x轴的平行线，两直线相交于点Q，规．定直线 ．．．l向上方向为正方向。．．．．．．．．．

当MM0与l同方向或M与M0重合时，因

MM0=MM0，由三角函数的定义，有M0Q=M0Mcos?，QM=M0Msin?

当MM0与l反方向时，因MM0、M0Q、QM同时改变符号上式仍然成立。即有

M0Q=M0Mcos?，QM=M0Msin?

设M0M=t，取t为参数，?M0Q=（x?x0) QM=(y?y0)

yMoM x

?x?x0?tcos?,y?y0?tsin?

即??x?x0?tcos?(t为参数） ①

?y?y0?tsin?这就是所求的直线的参数方程。

注意：t表示定点M（X0，Y0）到相应动点Q（X，Y）有向线段MQ的数量

数学4-4练习题

一．选择题

?x＝2t，?

1．已知曲线的方程为?(t为参数)，则下列点中在曲线上的是( )

??y＝t

A．(1,1) C．(0,0)

B．(2,2) D．(1,2)

??x＝－1＋cos θ，

2．曲线?(θ为参数)的对称中心( )

?y＝2＋sin θ?

A．在直线y＝2x上 C．在直线y＝x－1上

B．在直线y＝－2x上 D．在直线y＝x＋1上

??x＝a＋t

3．直线l的参数方程为?(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，

?y＝b＋t?

b)之间的距离是( )

A．|t1| C.2|t1|

B．2|t1| D.2

|t| 21

????x＝t，?x＝tan t，?x＝sin t，

??4．已知三个方程：①?②③(都是以t为参数)．那么表示222

?y＝t，????y＝tant，?y＝sint

同一曲线的方程是( )

A．①②③ C．①③

B．①② D．②③

1??x＝t＋t

5．参数方程?(t为参数)所表示的曲线是( )

??y＝－2

A．一条射线 C．一条直线

B．两条射线 D．两条直线

4??x＝6＋cos θ

6．已知曲线C的参数方程为?(θ为参数

广东北江中学高二数学补充讲义

选修4—4 第二讲 参数方程

问题1：弹道曲线

我们在观看革命历史战争影片时,经常见到我人民解放军炮击敌人阵地的场景.从物理学角度来说, 炮弹飞行的弹道轨迹是斜抛运动.现已知一门火炮发出炮弹的初速度v0米/秒,发射的仰角为?(设重力加速度为g)

问:

(1)炮弹飞行的弹道曲线方程是怎样的?是哪种类型的曲线? (2)当?为多少度时, 炮弹飞行的距离最远? 点拨提示:

(1) 斜抛运动可分解成一个质点M在水平方向作匀速直线运动和垂直方向作竖直上抛运动,建立直角坐标系后,按匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式可得弹道曲线方程

x?v0tcos????12 (t为参数) 消去t可得抛物线方程; y?ytsin??gt0?2?(2)由二次函数的性质可求得???4满足条件.

问题2.如何将参数方程化为普通方程？

普通方程和参数方程是曲线方程的两种不同表达方式.为了判断曲线的类型或研究曲线的几何性质,需要将参数方程化为普通方程.

常见的消参数的方法有代入消元法、三角消元法两种.

代入消元法一般适用 一般变量的参数方程消去参数 三角消

直角坐标系

教学目的：

知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 过程与方法：体会坐标系的作用

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用

教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、复习引入：

情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安

全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。

情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看

台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。

问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？

二、学生活动 学生回顾

刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系

1、数轴 它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系

在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y

知识改变命运 教育开创未来

高二数学选修4-4《极坐标与参数方程》测试题

（时间：120分钟，总分：150分） 姓名： 学号:

一．选择题（每小题5分，共50分）

1.曲线的极坐标方程??4sin?化为直角坐标为（ ）。

A.x2?(y?2)2?4 B. x2?(y?2)2?4 C. (x?2)2?y2?4 D. (x?2)2?y2?4 2.已知点P的极坐标是（1，?），则过点P且垂直极轴的直线方程是（ ）。 A.??1 B. ??cos? C. ???3.直线y?2x?1的参数方程是（ ）。

x?sin??x?2t?1?x?t?1?x?t2A.? B. ? C. ? D. ? ?2y?4t?1y?2t?1y?2sin??1????y?2t?11??x?t?4.方程?t?y?2?1cos? D. ??1cos?

表示的曲线是（ ）。

A.一条直线 B.两条射线 C.一条线段 D.抛物线的一部分

?x?

高二数学选修4-4《极坐标与参数方程》测试题

（时间：120分钟，总分：150分） 姓名： 学号:

一．选择题（每小题5分，共50分）

1.曲线的极坐标方程??4sin?化为直角坐标为（ ）。

A.x2?(y?2)2?4 B. x2?(y?2)2?4 C. (x?2)2?y2?4 D. (x?2)2?y2?4 2.已知点P的极坐标是（1，?），则过点P且垂直极轴的直线方程是（ ）。 A.??1 B. ??cos? C. ???3.直线y?2x?1的参数方程是（ ）。

2??x?2t?1?x?t?1A.?x?t B. ? C. ? D.

2?y?4t?1?y?2t?1?y?2t?111 D. ?? cos?cos??x?sin?

??y?2sin??11?x?t?表示的曲线是（ ）。 4.方程??t??y?2A.一条直线 B.两条射线 C.一条线段 D.抛物线的一部分

?x?2?sin2?5.参数方程?（?为参数）化为普通方程是（ ）。

?y??1?cos2?A.2x?y?4?

选修4-4 坐标系与参数方程

A组(供高考题型为选择、填空题的省份使用)

1．在直角坐标系xOy中，已知点C(－3，－3)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________． 5π

解析 依题意知，ρ＝23，θ＝－6. 5π??

23，－?答案 6???

?x＝sin α，

2．在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是?(α为参数)，

y＝cos α＋1?若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为________． 解析 依题意知，曲线C：x2＋(y－1)2＝1， 即x2＋y2－2y＝0，

所以(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρsin θ＝0. 化简得ρ＝2sin θ. 答案 ρ＝2sin θ

π???π?3．在极坐标系中，点P?2，－6?到直线l：ρsin?θ－6?＝1的距离是________．

????解析 依题意知，点P(3，－1)，直线l为：x－3y＋2＝0，则点P到直线l的距离为3＋1. 答案

3＋1

π??π??

3，4，???4．在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为，则△AOB(其3?，?6???中O为极点)的面积为________．

1π?ππ?1

解析 由题意得S△AOB＝2×

精品教案

参数方程

目标点击：

1．理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义；

2．熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则；

3．会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义； 4．灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题.

基础知识点击：

1、曲线的参数方程

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函 x f(t)数， (1) 并且对于t的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)

y g(t) 都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程. 联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数.

2、求曲线的参数方程

求曲线参数方程一般程序：

(1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标； (2) 选参：选择合适的参数；

(3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x，y的关系 式，并由此分别解出用参数表示的x、y的表达式. (4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程 3、曲线的普通方程

相对与参数方程来说，把直接确定曲线C上任一点的坐标（x,y）的方程F（x,