时钟快慢问题 奥数

时钟快慢问题

时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别

是时钟的分针和时针。

我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。

时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟， 具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。 分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度 时针速度：每分钟走

1小格，每分钟走0.5度 12注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。

要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。

例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为65

【例 1】小明上午 8点要到学校上课，可是家里的闹钟早晨 6点10分就停

小学奥数时钟问题

钟表是我们生活中重要的计时工具.钟面上的分针，时针都在连续不断的按规律转动着.时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题.是特殊的、在圆周上的行程问题；如求分针与时针重合、成角等有趣的问题.研究此类问题对提高思维能力很有益处。为解好这类问题应掌握以下基础知识.即常用关系式.

1．钟面的一周分为60格,每格为6°.每个数字间隔为5个格为30°.分针每分钟走一格,为6°.时针每分钟走格.为0.5°.分针速度是时针速度的12倍，时针是分针速度的.

2．时针和分针在重合状态时，分针每再走60÷(1－次. )=65(分),再与时针重合一

3. 若在初始时刻两针相差的格数为a,分针在后，则后者赶上前者的时间为: a÷(1－)(分)

4. 两针垂直,表示它们所成最小角是90°.

5. 两针在一直线上，它们成的角是180或0

现举几例阐述解题方法与思路.

例1、现在是4时,什么时候,时针和分针第一次相遇？

解：由20÷（1-）=21（分）,在4点21分.

例2、在10时与11时之间,钟面上时针和分针在什么时刻垂直?

解：第一次垂直需走 5÷（1-）=5（分）,在10点5

第八讲 时钟问题

时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题.钟面的一周分为60格.

格数。

例1 现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？

例2 在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？ 分析 分两种情况进行讨论。

① 顺时针方向上分针与时针成270°角：

在顺时针方向上当分针与时针成270°时，分针落后时针60×（270÷360）=45（个）格，而在10点整时分针落后时针5×10=50（个）格.因此，在这段时间内，分针要比时针多走50-45=5（个）格，而每分钟分针

②在顺时针方向上分针与时针成90°角：

在顺时针方向上当分针与时针成90°角时，分针落后时针60×（90÷360）=15（个）格，而在10点整时分针落后时针5×10=50（个）格，

因此在这段时间内，分针要比时针多走50-15=35（个）格，所以到达这一时

解：①在顺时针方向上当分针与时针成270°角时：

例3 在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？ 分析 分两种情况进行讨论。 ①分针与时针的夹角为180°角：

当分针与时针的夹角为180°角时，分针落后时针60×（180÷360）=30（个）格，而在9点整时，分

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第八讲 时钟问题

时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题.钟面的一周分为60格.

也存在着不少的学问.这里列出一个基本公式：在初始时刻需追赶的格数÷

格数。

例1 现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？

分析 3点时分针指12，时针指3.分针在时针后5×3＝15（个）格.

例2 在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？ 分析 分两种情况进行讨论。

①在顺时针方向上分针与时针成270°角：

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在顺时针方向上当分针与时针成270°时，分针落后时针60×（270÷360）=45（个）格，而在10点整时分针落后时针5×10=50（个）格.因此，在这段时间内，分针要比时针多走50-45=5（个）格，而每分钟分针

②在顺时针方向上分针与时针成90°角：

在顺时针方向上当分针与时针成90°角时，分针落后时针60×（90÷360）=15（个）格，而在10点整时分针落后时针5×10=50（个）格，因此在这段时间内，分针要比时针多走50-15=35（个）格，所以到达这一时

解：①在顺时针方向上当分针与时针成270°角时：

②在顺时针方向上当分针与时针成90°角时：

例3 在9点与10点之间的什么

新思维教育授课记录

学员姓名： 授课教师： 所授科目：数学 学员年级：二年级 第次课 上课时间：2014年5月 日， 具体时段：18：00--20：00 共2小时 教学 标题 时钟问题 利用与时间有关的趣题，理解和掌握与时间有关的知识点，明白时间不仅跟平均分、间隔等数学问题有联系，而且我们的日常生活、学习、工作都离不开时间。 初步学会综合应用所学知识解决有关时间问题的本领。 教学 目标 教学重难点 作业 情况 教 学 提 纲 及 掌 握 情 况 主要内容和方法 考纲要求 掌握情况 备注 知识点一：时钟的认识 掌握 A B C D 知识点二：时间的计算 掌握 A B C D 掌握 A B C D 掌握 方法：（详见第2-5页） 综合应用 A B C D A B C D 签名确认： 学员： 班主任： 教学主任： 说明;A代表了解 B代表理解 C代表掌握 D代表综合应用

1

时 钟 问 题

【知识要点】

一只小闹钟“滴答”、“滴答”一秒一秒地走着，一天要走86400秒，一月约走3200万秒。

电话：66009388 ( )年级（ ）数学（ ） 李老师 经典专题精讲 第 讲 DSE 金牌数学专题系列 ---植树问题

学生姓名：

一?导入?

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二?知识回顾?

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绿化工程是造福子孙后代的大事。确定在一定条件下栽树、种花的棵数是最简单、最基本的“植树问题”。还有许多应用题可以化为“植树问题”来解，或借助解“植树问题”的思考方法来解。

先介绍四类最简单、最基本的植树问题。

为使其更直观，我们用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。

显然，只有下面四种情形：

(1)非封闭线的两端都没有“点”时， “点数”＝“段数”- 1。

(2)非封闭线只有一端有“点”时， “点数”=“段数”。

拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。

盈亏问题

知识点：单位量＝总量的盈亏差距÷单位分得的量的差 “分东西”总量和单位量一般是不变的

1.老师给同学们分卡片，如果每人5张，还剩18张，如果每人7张，就缺2张，请问：有多少个同学？一共有多少张卡片？

2.老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9 个桃，每只小猴分11个桃，则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？

3.学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？多少本书？

4.某小学少先队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出7人，若每条长椅上多坐4人则多出3条长椅，问：到会议室开会的少先队员有多少人？

5.军队分配宿舍，如果每间住3人，则多出20人，如果每间住6人，余下2人可以每人各住一个房间，现在每间住10人，可以空出多少个房间？

6.A、B 两人买了相同张数的信纸，A 在每个信封里装1 张信纸，最后用完所有的信封还剩40 张信纸，B 在每个信封里装3 张信纸，最后用完所有的信纸还剩40 个信封，他们都买了多少张信纸？

7.一个班的学生去划船，如果增加一条船，正好每

16 行程问题

1

基本公式

1.1 路程（和、差） = 速度（和、差）×时间 火车过桥（隧道）是长度和

1.2 时间 = 路程（和、差）÷速度（和、差） 速度（和、差）= 路程（和、差）÷时间 1.3 速度差 = 快速 – 慢速

速度和 = 慢速 + 快速

快速 = （速度和 + 速度差） ÷2

1.4 慢速 = （速度和 –速度差）÷ 2 2

三类基本行程问题：相遇、追及、环形跑道。

2.1 相遇的含义：如果出发时间相同，则所走的时间相同；相遇时，两方都处于同一个位置。在超过2人的行

程问题中，相遇就是时间和距离的等量代换点；如果一方先出发或者有一方中间停止，则这一方还要算上先出发的时间或去掉停止的时间。

2.2 相遇：速度和，对应路程和，相遇时，有公式：

路程和 = 速度和×时间 时间 = 路程和÷速度和 速度和 = 路程和÷时间。

2.3 追及：速度差，对应路程差，相遇时，有公式：

路程差 = 速度差×时间 时间=路程差÷速度差 速度差 = 路程差÷时间。

2.4 环形跑道的同向追及，速度差，每相遇一次，路程差1圈。

距离差= 圈数×跑道长=速度差×时间 时间 =（圈数×跑道长）÷

火车过桥

例1：一列火车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列火车长140

米，火车每分钟行400米，这列火车通过长江大桥需要多少分钟？

分析：火车过桥是指“全车通过”，即从车头上桥直到车尾离桥才算“过桥”．如下图：

一列火车长240米，这列火车每秒行15米，从车头进山洞到全车出山洞共用20秒，山洞长多少米？

例题2：从北京开往广州的列车长350米，每秒走22米。从广州开

往北京的列车长280米，每秒走20米。两车在中途相遇，问两车从车头相遇到车尾离开，一共要多少时间？ 分析：这是火车与火车之间的相遇问题．具体过程如下图：

已知快车长200米,每秒行30米,慢车长1000米,每秒行10米.两车相向而行,问两车从车头相遇到车尾离开一共用了多少时间？

例3：某人沿着铁路边的便道步行,一列客车从身后开来,在身旁通过

的时间是15秒钟,客车长105米,速度为8米每秒.求步行人每小时行多少千米?

方方以每分钟60米的速度沿铁路边步行，一列长252米的货车从对面而来，从他身边通过用了12秒钟，求列车的速度。

例4：301次列车通过450米长的铁桥用了23秒，经过一位站在铁路边的扳道工人用了8秒。列车的速度和长度各是多少？

一列火车

周期问题

典型例解

[例1]把围棋里的黑白棋子按一定的规律排列着，其中第90颗是什么棋？第101颗是什么棋？

●●○●●○●●○?

【分析】仔细观察图中棋的排列，不难发现棋的排列规律是：2颗黑棋，1颗白棋，2颗黑棋，1颗白棋，也就是按“两颗黑棋，一颗白棋”的次序循环出现，因此，这道题的周期为3。 再看看90,101里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个。 解答 90÷3=30，正好有30个周期。

101÷3=33??2，有33个周期还多2个。 所以，第90颗棋是白棋，第101颗棋是黑棋。 答：第90颗是白棋，第101颗是黑棋

[举一反三1]

①有一列数:5、6、2、4、5、6、2、4?第129个数是多少？

②有同样大小的黑、白、红珠子共180个，按5个红珠，4个白珠，3个黑珠排列，第158个珠子是什么颜色？这158个珠子中有多少个黑珠？ ③△△○△△○△△○?其中第99个是什么图形？ [例2] 7??7???7??7?????7积的个位数字是几？ ???202?7[分析]要求202个7连乘的积的个位数字，因此，我们只需要考虑积的个位数字的排列规律。