高中数学函数图像与性质总结

《思跃理科》内部资料——总结人：liyong

常见函数性质汇总

f(x)=b

常数函数 f(x)=b (b∈R)

x 图象及其性质：函数f(x)的图象是平行于x轴或与x轴重合（垂直于y轴）的直线 O

一次函数 f(x)=kx+b (k≠0,b∈R) |k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓； y f(x)=kx+b

图象及其性质：直线型图象。b=0；k>0；k<0

定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时， 当k<0时

x O 奇 偶 性：当b=0时，函数f(x)为奇函数；当b≠0时，函数f(x)没有奇偶性；

反 函 数：有反函数。K=±1、b=0的时候 周 期 性：无

补充：一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系

2、与曲线函数的联合运用

反比例函数 f(x)=

y b k (k≠0，k值不相等永不相交；k越大，离坐标轴越远) x图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f(x)的图象分别在第一、第三象

限；当k<0时，函数f(x)的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x轴与y轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：(??,0)?(0,??) 值 域：(??,0)?(0,??)

y f(x)=O k xx 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时

奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身

高中数学知识点津3抽象函数与三角函数的图像与性质

21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）

如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。 （先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，??）

（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。 （先令x?y??t?f?(?t)(?t)??f(t·t) ∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t) ∴f(?t)?f(t)??）

（3）证明单调性：f(x2)?f??x2?x1??x2???? 22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

如求下列函数的最值： （1）y?2x?3?13?4x；（2）y?2x?4x?3

（3）x?3，y?9x2x2x?3； （4）y?x?4?9?x2?，???0，??? ?设x?3cos （5）y?4x?，x?(0，1]

23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式

4、对数函数及其性质（1）

一、 教材分析

本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》（人教版）第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。

二、 学生学习情况分析

刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求 的拔高，关注学习过程。

三、设计理念

本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设

三角函数的图象和性质

三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用.

●难点磁场

(★★★★)已知α、

http://www.gkxx.com

β为锐角，且x(α+β－

?2)＞0,试证不等式

f(x)=(cos?xcos?x)?()＜2对一切非零实数都成立. sin?sin?●案例探究

2

［例1］设z1=m+(2－m)i,z2=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R，已知z1=2z2，求λ的取值范围.

命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目.

知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决. 错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题.

技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.

解法一：∵z1=2z2，

?m?2cos?2

∴m+(2－m)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴? 2?2?m?2??2si

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第1章 三角函数 5 正弦

函数的图像与性质学业分层测评 北师大版必修4

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的大致图像是( )

π

【解析】 当x＝时y＝0，当x＝0时y＝1，

2当x＝2π时y＝1，结合正弦函数的图像知B正确． 【答案】 B

?π?2．点?，b?在函数y＝2sin x＋1的图像上，则b等于( ) ?4?

A.

2

2

B．2 D．3

C．2

π

【解析】 由题意知b＝2sin＋1＝2.

4【答案】 C

?π5π?3．若函数y＝sin x，x∈?，?与y＝1围成一个平面图形，则这个封闭的图形面

2??2

积是( )

A．2 C．2π

B．4 D．4π

5ππ

－＝2π，宽为122

【解析】 如图，由对称性知，所围成平面图形的面积是长为的矩形的面积，∴S＝2π，故选C.

【答案】 C

4．函数y＝4sin x＋3在[－π，π]上的递增区间为( ) π??A.?－π，－? 2??

π??C.?－π，? 2??

?ππ?B．?－，?

?22??π?D．?，π? ?2?

?ππ?【解析】 如图所示，y＝sin x在?－

函数奇偶性的性质及其应用

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f( x) f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数；如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f( x) f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数。

其判定的法则是：（1）看关系式是否出现f( x) f(x)（此为奇函数）或f( x) f(x)（此为偶函数），（2）看定义域是否关于原点对称；（3）看图象是否关于原点对称（此为奇函数）或关于y轴对称（此为偶函数）。显然，法则（1），（2）与法则（3）是等价的。也就是说，一个函数不满足这三条法则中的任何一条，它是非奇非偶函数；如果函数f(x)满足了法则（1），（2）或者满足法则（3），则可判定它的奇偶性。

因此，就奇偶性而言函数可以分为四类：①奇函数；②偶函数；③既是奇函数又是偶函数；④非奇非偶函数。

设f(x)是奇函数，如果当x>0时，f(x) g(x)，则 f(x)

g(x)(x 0) g( x)(x 0)

（证明从略，类似情况略）。

设f(x)是奇函数，如果当x>0时，f(x)是增函数，则当x<0时，f(x)仍然是增函数（证明从略，类似情况略）。

一. 判断函数的奇偶性

例1. 判定函数f(x) 1 x

专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与函数 第二讲 函数的图象与性质

函数定义

映射

定义解析法

基本初等函数 Ⅰ 列表法

指数函数图象法

幂函数图象

对数函数

定义、图象、性质

函数图象变换

表示法常见函数的图象

平移变换

伸缩变换对称变换性质最大 小 值单调性周期性对称性奇偶性

1．(函数的定义域)若f(x)＝

1

f(x)的定义域为__________．

log2x＋1 2

11

【解析】 要使f(x)有意义，需log(2x＋1)>0＝，

221

∴0<2x＋1<1，∴－<x<0.

21

【答案】 (－，0)

2

x，x≥0，

2．(分段函数求值)设函数f(x)＝ 1x

2，x＜0，

则f(f(－4))＝________.

1 －4

【解析】 ∵f(－4)＝ 2 ＝16， ∴f(f(－4))＝f(16)＝＝4. 【答案】 4

3．(函数的奇偶性与周期性)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，3

－，0 时，f(x)＝log2(－3x＋1)，则f(2 014)＝________. 且x∈ 2

【解析】 由函数的周期性知，f(2 014)＝f(671×3＋1)＝f(1)， 3

－，0 知f(－1)＝log24＝2. 由－1∈

高考数学函数压轴题：

1. 已知函数f(x)?134x?ax?b(a,b?R)在x?2处取得的极小值是?. 33(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若x?[?4,3]时，有f(x)?m?m?210恒成立，求实数m的取值范围. 3

2

2. 某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数R (x)=3700x + 45x – 3

10x(单位：万元), 成本函数为C (x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本）

(1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x);

(2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?

(3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

3. 已知函数?(x)?5x2?5x?1(x?R)，函数y?f(x)的图象与?(x)的图象关于点

1(0,)中心对称。 2（1）求函数y?f(x)的解析式；

（2）如果g1(x)?f(x)，gn(x)?f[gn?1(x)](n?N,n?2)，试求出使g

高中数学人教版必修四课件

1.4.3 正切函数的图象与性质

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一、复 习用几何法作正弦函数图象的过程？ 1、用平移正弦线得 y sin x, x [0,2 ]一个 周期内图象 . 2、再利用周期性把该段 图象向左、右扩展得到 . 类 比

用正切线作正切函数y=tanx的图象

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二、探究用几何法作正切函数图象问题1、正切函数 y tan x是否为周期函数？

f x tan x tan x f x 是它的一个周期. ∴ y tan x 是周期函数，

我们先来作一个周期内的图象。 想一想：先作哪个区间上的图象好呢？(

2 2 ,

)

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二、探究用几何法作正切函数图象 y tan x x 问题2、如何利用正切线画出函数 ， , 的图像？ 2 2 大家试一试：利用单位 圆把点( , tan 3 3)

表示在直角坐标系中。角 的终边 3 T

Y

( , tan )3 3

A

0

3

X

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y tan x x 利用正切线画出函数 ， , 的图像

一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。

例1.若函数y = f（x）的定义域是[－2，2]，则函数y = f（x+1）+f（x－1）的定义域为 。

?练习：已知函数f(x)的定义域是??1,2? ，求函数f??log1?3?x?? 的定义域。

??2??例2：已知函数f?log3x?的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 练习：定义在?3,8?上的函数f(x)的值域为??2,2?，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为 ，值域为 。

例3.①对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. ② R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),由y=f(x+1)与y=f-1(x+2)互为反函数，则f(2009)= .

例4.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.

练习： 1. f(x)的定义域为(0,??)，对任意正