二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分

补充内容 一．二重积分

定义：设D为xy平面上的有界闭区域，f(x,y)为定义在D上的函数。用任意的曲线把D分成n个小区域?1,?2,??n. 以??i表示小区域的面积，这些小区域构成D的一个分割T, 以di表示小区域?i的直径，称T?maxdi为分割T的细度。在每个?i上任取一点

1?i?nn(?i,?i)，作和式?f(?i,?i)??i，称它为函数f(x,y)在D上属于分割T的一个积分和。

i?1如果

n lim?f?(i?,i?)?i

T?0i?1存在，则称f(x,y)在D上可积，此极限值就称为f(x,y)在D上的积分，记为

??Df(x,y)d?，即

n

??Df(x,y)?d?T?0li?mi?1f?i(?i?,?)i。

定理：有界闭区域上的连续函数必可积。

性质：1. 若f(x,y)在区域D上可积，k为常数，则kf(x,y)在D上也可积，且

??Dkf(x,yd)??k??fx(y,d?)

D 2. 若f(x,y),g(x,y)在D上都可积，则f(x,y)?g(x,y)在D上也可积，且

??[fD(x,y

二重积分、三重积分的概念和性质,二重积分、三重积分的计算和应用。

第九章 重积分

教学内容

二重积分、三重积分的概念和性质，二重积分、三重积分的计算和应用。 教学目的、要求

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分中值定理。 2.熟练掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法。

3.掌握二重积分在极坐标系下的计算方法，掌握三重积分在直角坐标系、柱坐标系、球坐标系下的计算方法。

4.会用重积分来表达一些几何量（如平面图形的面积、体积、曲面面积）和物理量（如质量、质心坐标、转动惯量、引力等）。 重点与难点

1重点：二重积分的概念与计算。

2难点：三重积分的计算，重积分的应用。

第一节 二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念 1、曲顶柱体的体积

设有一空间立体 ,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面z f x,y (f x,y 在D上连续)且f x,y 0,这种立体称为曲顶柱体。曲顶柱体的体积V可以这样来计算:

用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域 1, 2, , n ,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体 分划成n个小曲顶柱

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

第十章 曲线积分与曲面积分答案

一、选择题 1．曲线积分

?x??f(x)?e?sinydx?f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)有一阶连续偏导?L数，且f(0)?0，则f(x)? B

A.

1(e?x?ex) B. 1(ex?e?x) C. 1(ex222?e?x) D.0 2．闭曲线C为x?y?1的正向，则

C??ydx?xdyx?y? C

A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C为4x2?y2?1的正向，则

?ydx?xdy2C?4x2?y? D

A.?2? B. 2? C.0 D. ?

4．?为YOZ平面上y2?z2?1，则

??(x2?y2?z2)ds? D

?A.0 B.

? C. 1? D. 142?

5．设C:x2?y2?a2，则?(x2?y2)ds? C

CA.2?a2 B. ?a2 C. 2?a3 D. 4?a3 6. 设?为球面x2?y2?z2?1

高等数学

六、选择题（共 10 小题，）

1、

2、

3、设OM是从O（0，0）到M（1，1）的直线段，则与曲线积分I x2 y2

OM

e

ds不

相等的积分是

(A)

1

x

e

2dx (B)

1

y

0e

22dy

(C)

2

erdr

(D)

1

r0

e2dr

答（ ） 4、L为从A（0，0）到B（4，3）的直径，则 L

(x y)ds

（A） 4

0(x 3

4

x)dx （B）

4

30

(x

4x) 916

dx （C）

3

(

4

3

y y)dy

（D）

3

(

493y y) 16

dy

答：（ ）

5、C为y x2上从点（0，0）到（1，1）的一段弧。则I

L

yds ______________。（A）

1

0 4x2dx （B）

1

y ydy （C）

1

x 4x2dx

（D）

1

1

y

y

dy

答：（ ）

6、

7、设L为下半圆周 . 将曲线积分 化为定积分的正确结果是

8、设L是圆周 x2+y2=a2 (a>0)负向一周，则曲线积分

答 ( )

2xdx ydy

9、设L是 |y|=1－x2表示的围线的正向，则 22L2x y

(A) 0. (C) 2 . (B) 2π. (D) 4ln2.

答 ( )

10、若是某二元函数的全微分，则a,

第十三章 曲线积分与曲面积分

定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.

第一节 对弧长的曲线积分

一、 对弧长的曲线积分的概念与性质

在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为y?f?x?，x??a,b?，其上每一点的密度为??x,y?．

如图13-1我们可以将物体分为n段，分点为

M1,M2,...,Mn, 每一小弧段的长度分别是?s1,?s2,...,?sn．取其中的一小段弧Mi?1Mi来分

图13-1

析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点

??i

篇一：同济大学高数第10章 重积分

多元函数积分学是定积分概念的推广，包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分.它们所解决的问题的类型不同，但解决问题的思想和方法是一致的，都是以“分割、近似、求和、取极限”为其基本思想，它们的计算最终都归结为定积分.本章主要介绍二重积分与三重积分的概念、性质、计算方法及其应用.

10.1 二重积分的概念及性质

10.1.1 二重积分的概念

实例1 设函数z?f(x,y)在有界闭区域D上连续，且f(x,y)?0．以函数z?f(x,y)所表示的曲面为顶，以区域D为底，且以区域D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面为侧面的立体叫做曲顶柱体，如图10.1.1所示．求该曲顶柱体的体积V．

图10.1.1 图10.1.2

对于平顶柱体,它的体积就等于底面积乘高.现在曲顶柱体的顶是曲面,当点(x,y) 在D上变动时,其高度z?f(x,y)是一个变量,因此不能直接用上述方法求其体积，但是可以沿用求曲边梯形面积的方法和思路求其体积.具体步骤如下

第一步(分割).用一组曲线网将区域D任意分成n个小区域??1,??2,???i,???n，其中记号??i (i = 1，2，?，n)也用来表示第i个小区域的面积．分别以每个小区域的边界

《高等数学Ｉ》Ａ班习题 班级_____________ 姓名____________ 学号_________________

第十一章 习题一 曲线积分与格林公式

（为了节省纸张和便于收发，请您双面打印）

一．选择题

1．设L为圆周x2?y2?1，L1为该圆周在第一象限的部分，则 （ ） （A）xds?4xds； （B）

LL1???Lyds?4?yds；

L1L1（C）

?Lx2sinyds?4?x2sinyds； （D）?x2cosyds?4?x2cosyds．

L1L22．设L为沿右半圆周x?1?y从点A(0,?1)经点B(1,0)到点C(0,1)的路径，L1为

L上从点B到点C的路径，则积分?|y|dx?y3dy等于 （ ）

L（A）0； （B）2?L1|y|dx?y3dy； （C）2?|y|dx； （D）2?y3dx．

L1L13．设G为一个平面单连通区域，P、Q在G上具有一阶连续偏导数，则积分

?L Pdy?Qdx与路径无关的充分必要条件是 （ ）

（A）

?P?Q?P?

很好的教案

第二十一章 二重积分

§1 二重积分概念

教学目的 掌握二重积分的定义和性质． 教学内容 二重积分的定义和性质．

(1) 基本要求：掌握二重积分的定义和性质，二重积分的充要条件，了解有界闭区域上的连续函数的可积性．

(2) 较高要求：平面点集可求面积的充要条件． 教学建议

(1) 要求学生必须掌握二重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积．由于二元函数可积的充要条件与定积分类似，这方面的内容可作简略介绍．

(2) 对较好学生可详细讲述二元函数可积的充要条件的证明，并布置有关习题． 教学程序

一、平面图形的面积

（一）、内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念

直线网T分割平面图形P，T的网眼中小闭矩形 i的分类： （ⅰ） i含的全是P的内点,

（ⅱ） i含的全是P的外点（不含P的点）, （ⅲ） i内含有P的边界点, 记sP T 为T的第ⅰ类 i的面积的和． 记SP T 为T的第ⅰ和第三类 i的面积的和． 记IP=记IP=

sup sP T T，称为P的内面积．

inf SP T T，称为P的外面积．

定义1 若平面图形P的内面积IP等于它的外面积IP，则称P为可求面积，并称其共同值IP=IP=IP为P的面积（约当，黎曼测度）

第十章 曲线积分与曲面积分

(A)

1．计算??x?y?dx，其中L为连接?1,0?及?0,1?两点的连直线段。

L2．计算?Lx2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?ax。

3．计算??x2?y2?ds，其中L为曲线x?a?cost?tsint?，y?a?sint?tcost?，

L?0?t?2??。

4．计算?eLx2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?a2，直线y?x及x轴在第一

角限内所围成的扇形的整个边界。

4?4????33??5．计算??x?y?ds，其中L为内摆线x?acos3t，y?asin3t?0?t??L2????在第一象限内的一段弧。

6．计算

?Lz2ds，其中L为螺线x?acots，y?asint，22x?yz?at?0?t?2??。

7．计算?xydx，其中L为抛物线y2?x上从点A?1,?1?到点B?1,1?的一段弧。

L8．计算?x3dx?3zy2dy?x2ydz，其中L是从点A?3,2,1?到点B?0,0,0?的直线

L段AB。

9．计算?xdx?ydy??x?y?1?dz，其中L是从点?1,1,1?到点?2,3,4?的一段直

L线。

10．计算??2a?y?dx??a?y?dy，其中L为摆线x?a?t?sint?

第十章 曲线积分与曲面积分

(A)

1．计算??x?y?dx，其中L为连接?1,0?及?0,1?两点的连直线段。

L2．计算?Lx2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?ax。

3．计算??x2?y2?ds，其中L为曲线x?a?cost?tsint?，y?a?sint?tcost?，

L?0?t?2??。

4．计算?eLx2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?a2，直线y?x及x轴在第一

角限内所围成的扇形的整个边界。

4?4????33??5．计算??x?y?ds，其中L为内摆线x?acos3t，y?asin3t?0?t??L2????在第一象限内的一段弧。

6．计算

?Lz2ds，其中L为螺线x?acots，y?asint，22x?yz?at?0?t?2??。

7．计算?xydx，其中L为抛物线y2?x上从点A?1,?1?到点B?1,1?的一段弧。

L8．计算?x3dx?3zy2dy?x2ydz，其中L是从点A?3,2,1?到点B?0,0,0?的直线

L段AB。

9．计算?xdx?ydy??x?y?1?dz，其中L是从点?1,1,1?到点?2,3,4?的一段直

L线。

10．计算??2a?y?dx??a?y?dy，其中L为摆线x?a?t?sint?