圆锥曲线中的最值范围问题含解析

圆锥曲线专题：圆锥曲线中的最值和范围问题

热点透析

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：

（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；典型例题:<<考一本>>

（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；

（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；

（6）构造一个二次方程，利用判别式??0。 突破重难点

x2?y2?1上移动,试求|PQ|的最大值。 【例1】已知P点在圆x+(y-4)=1上移动，Q点在椭圆92

2

解：先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|

222

的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|= x+(y-4) ①

22

因Q在椭圆上,则x=9(1-y) ②

1??将②代入①得|O1Q|= 9

圆锥曲线专题：圆锥曲线中的最值和范围问题

热点透析

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：

（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；典型例题:<<考一本>>

（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；

（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；

（6）构造一个二次方程，利用判别式??0。 突破重难点

x2?y2?1上移动,试求|PQ|的最大值。 【例1】已知P点在圆x+(y-4)=1上移动，Q点在椭圆92

2

解：先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|

222

的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|= x+(y-4) ①

22

因Q在椭圆上,则x=9(1-y) ②

1??将②代入①得|O1Q|= 9

圆锥曲线的范围问题

x221.设P是椭圆2?y?1(a?1)短轴的一个端点，Q为椭圆上的动点，求|PQ|的最大值．

a

2.设F1,F2分别是椭圆的左右焦点,若是P椭圆上的一个动点，求|PF1||PF2|的最大值和最小值．

3.在平面直角坐标系中，已知点F(2,2)及直线l:x?y?2?0，曲线C1是满足下列两个条件的动点P(x,y)的轨迹：①PF?2d,其中d是P到直线l的距离；

?x?0?.②?y?0?2x?2y?5?

(1) 求曲线C1的方程;

x2y2(2) 若存在直线m与曲线C1、椭圆C2:2?2?1(a?b?0)均相切于同一点，求椭圆C2ab离心率e的取值范围.

一、利用题设中已有的不等关系建立不等式

2．过点B(0,1)的直线l1交直线x?2于P(2,y0)，过点B?(0,?1)的直线l2交

x0?y0?1，l1?l2?M. 2（1）求动点M的轨迹C的方程；

(2)设直线l与C相交于不同的两点S、T，已知点S的坐标为(－2,0)，

x轴于P?(x0,0)点，

点Q(0，m)在线段ST的垂直平分线上，且QS?QT≤4，求实数m的取值范围.

1

解 (1)由题意，直线l1的方程是y??1?y0xx?1，∵

圆锥曲线最值问题求解的六种策略

上海中学数学?2011年第5期35 圆锥曲线最值问题求解的六种策略 317523浙江省温岭市泽国中学王强 圆锥曲线中最值问题是高中数学的重点 内容,是高考中的一类常见问题,由于它能很 好地考查学生的逻辑思维能力,体现了圆锥 曲线与三角,函数,不等式,方程,平面向量等 代数知识之间的横向联系,使问题具有高度 的综合性和灵活性.圆锥曲线中的最值问题, 通常有两类:一类是有关长度,面积,角度等 的最值问题;另一类是圆锥曲线中有关几何 元素的最值问题.这些问题往往通过回归定 义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数 的性质或不等式等知识以及观图,设参,转 化,替换等途径来解决. 一

,利用圆锥曲线定义

圆锥曲线的定义统一刻画了动点与两定点 距离和或差的不变性,或者动点到定点,定直线

距离比的不变性.利用这种不变关系将动态与 静态结合,解题策略是转化思想,通过”化曲为 AF=,又AG=,易得EC=4,FG=, 046√6 1

由余弦定理可得cos//AFG一一÷,故二面角’ A—DE～C的大小为120..

点评:思路3抓住DE_l-面BCE这一有利 条件,依据”一条直线垂直于两个平行平面中的 一

个平面,那么它也垂直于另

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点

名思教育圆锥曲线专题训练

一．解答题（共30小题）

1．在平面直角坐标系中，已知动点M（x，y），点A（0，1），B（0，﹣1），D（1，0），点N与点M关于直线y=x对称，且（1）求动点M所在曲线C的轨迹方程； （2）设直线l与曲线C交于G、H两点，且|GH|=

，求直线l的方程；

．直线l是过点D的任意一条直线．

（3）若直线l与曲线C交于G、H两点，与线段AB交于点P（点P不同于点O、A、B），直线GB与直线HA交于点Q，求证：

是定值．

，F是右焦点，A是右顶点，

2．如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|=（1）求椭圆C的方程；

．

（2）设直线l：x=ty+λ是椭圆C的一条切线，点M（﹣，y1），点N（，y2）是切线l上两个点，证明：当t、λ变化时，以 M N为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．

3．已知椭圆C1：x+4y=1的左、右焦点分别为F1、F2，点 P是C1上任意一点，O是坐标原点，

=

+

，设点Q的轨迹为C2．

2

2

（1）求点Q的轨迹C2的方程； （2）若点 T满足：

=

+2

+

，其中 M，N是C2上的点，且直线 O M，O N的斜率之

积等于﹣，是否存在两定点 A，B，

第四讲 圆锥曲线中的定点与定值问题 1.如图，过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A、B作圆的切线AC、BD，过圆上任意一点H作圆的切线，交AC、BD与C、D两点，设AD、BC的y交点为R. D(1)求动点R的轨迹E的方程； H(2)过曲线E的右焦点作直线l 交曲线E于M、N两点，交yC轴与点P，记PM??1MF,PN??2NF.求证：λ1+ λ2是定值. (设点法)

2. 已知A、B分别是直线y?P是AB的中点．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点Q(1,0)作直线l（与x轴不垂直）与轨迹C交于M、N两点，与y轴交于点R．若

RAOBx33x和y?? x上的两个动点，线段AB的长为23，33RM??MQ，RN??NQ，证明：???为定值．(设直线方程法)

1

x2y2??1的左、右顶点为A、B，3. 在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆95右焦点为F.设过点T（t,m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2)，其中m>0,y1?0,y2?0.

（1）设动点P满足PF2?PB2?4,求点P的轨迹； （2）设x1?2,x2?13，求点T的坐标； （3）设t

专题限时集训(十七)A

[第17讲 圆锥曲线热点问题]

(时间：10分钟＋35分钟)

1．抛物线y＝4x上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是( )[来源:学科网ZXXK]

A．(1,2) B．(0,0) 1?C.??2，1? D．(1,4)

2．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与

→→→→

点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP＝2PA，且OQ·AB＝1，则点P的轨迹方程是( )

3

A.x2＋3y2＝1(x>0，y>0) 23

B.x2－3y2＝1(x>0，y>0) 2

3

C．3x2－y2＝1(x>0，y>0)

23

D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)

2

1x2y2

3．已知直线y＝x与双曲线－＝1交于A、B两点，P为双曲线上不同于A、B的点，

294

当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝( )

4A. 91B. 22C. 3

D．与P点位置有关

x2y2

4．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为

2516

(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．

2222

1．与两圆x＋y＝1及x＋y－8x＋12＝0都

..

专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题

一、解答题

1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆离心率为

；圆

的左右焦点分别为

两点.

，

过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得【答案】（1）

（2）

为定值；并求出该定点的坐标.

【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得

。设x轴上的定点为，可得

，由定值可得需满足

，解得可得定点坐标。

解得。

.

∴椭圆的标准方程为（Ⅱ）证明：

由题意设直线的方程为由设

，

消去y整理得

，

，

，

..

要使其为定值，需满足解得

.

.

，

故定点的坐标为

点睛：解析几何中定点问题的常见解法

(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．

2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k的直线l经过点??1,0?与抛物