教育学归纳法谁提出来的

数学归纳法的应用

姓名 甘国优 指导教师 赵慧炜

中文摘要：数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的方法，其应用极为广泛．本次主要简述了数学归纳法的简略步骤：观察（探索）﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想，体现出数学归纳法的证题思路．并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的一些简单应用问题的方法，对应用中常见的误区加以剖析，以及介绍一些证题方法技巧，有助于提高对数学归纳法的应用能力． 关键词：数学归纳法；步骤;证明方法．

Abstract: Mathematical induction is a common evidence method in mathematics, it is have very broad application. In this paper, author research into the step of the Mathematical induction , it includes summariz，evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,

数学归纳法的拓广

摘要：本文首先列出了自然数集上的数学归纳法的几中常见形式，写出了数学归纳法的逆否命题，接着将数学归纳法从自然数集逐步推广至复数集及其某些子集，然后指明数学归纳法的实质在于递推，在此基础上又将数学归纳法从等差数集推广至等比数集等良序集，最后又将数学归纳法从普通加法运算推广至一般抽象运算，这样便为数学命题的证明开辟了一条新的道路。另外，文章中还穿插举例说明了某些应用。

关键词：数学归纳法、拓广、递推、良序集、抽象运算

数学归纳法是证明自然数集上的命题的一种重要论证方法，许多数学命题利用其他数学方法很难证明或根本无法证明，但利用数学归纳法会很容易地得到解决。数学归纳法的理论根据是自然数的序数理论，而且为了证明命题的需要演变成了多种形式，下面列出几种常见形式：

（1） 第一数学归纳法原理

定理1：如果关于自然数n的命题p（n）满足：

1) （奠基）p(n)在n=1时成立；

2) （归纳）在p(k)成立的假定下，可以推出p(k+1)成立。 则p(n)对于所有自然数n都成立。

推论1：设p(n)是关于自然数n(n≥n1,n∈N)的命题，若

1) p(n)在n=n1时成立。

2) 在p(k)(k≥n1)

数学归纳法的拓广

摘要：本文首先列出了自然数集上的数学归纳法的几中常见形式，写出了数学归纳法的逆否命题，接着将数学归纳法从自然数集逐步推广至复数集及其某些子集，然后指明数学归纳法的实质在于递推，在此基础上又将数学归纳法从等差数集推广至等比数集等良序集，最后又将数学归纳法从普通加法运算推广至一般抽象运算，这样便为数学命题的证明开辟了一条新的道路。另外，文章中还穿插举例说明了某些应用。

关键词：数学归纳法、拓广、递推、良序集、抽象运算

数学归纳法是证明自然数集上的命题的一种重要论证方法，许多数学命题利用其他数学方法很难证明或根本无法证明，但利用数学归纳法会很容易地得到解决。数学归纳法的理论根据是自然数的序数理论，而且为了证明命题的需要演变成了多种形式，下面列出几种常见形式：

（1） 第一数学归纳法原理

定理1：如果关于自然数n的命题p（n）满足：

1) （奠基）p(n)在n=1时成立；

2) （归纳）在p(k)成立的假定下，可以推出p(k+1)成立。 则p(n)对于所有自然数n都成立。

推论1：设p(n)是关于自然数n(n≥n1,n∈N)的命题，若

1) p(n)在n=n1时成立。

2) 在p(k)(k≥n1)

教育学

人物及作品：

教育学的萌芽阶段：

柏拉图《理想国》 孔子《论语》 教育学的独立形态阶段：1632年夸美纽斯《大教学论》——最早提出班级授课制度 1762年卢梭《爱弥儿》 1806年赫尔巴特《普通教育学》——标志教育学成为一门独立学科

教育学的发展多样化阶段： 1861年斯宾塞(实证主义者)《教育论》 1916年杜威《民主主义与教育》——实用教育学说：提出了“教育即生活，教育即生长”“从做中学”“学校即社会”等教育思想 1939年凯洛夫《教育学》 教育学的理论深化阶段： 1963年布鲁纳《教育过程》

1975年赞科夫《教学与发展》 洛克《教育漫画》——主张绅士教育

心理断乳期——进入青春期前后的青少年，对自己的认知逐渐成人化。孩子开始

发育了，生理上在变，心理上也有变。家长会发现，不知从什么时候起， 孩子不听话了，你要东，他偏要西。这种现象，心理学上称之为“逆反心理”。这个时期，心理学上称之为“心理断乳期”。

一、教育起源学说

答：生物起源说、心理起、劳动起源说 二、教育的概念 P26

答：1、广义的教育：凡是增进人的知识技能，影响人的思想品

教育学

人物及作品：

教育学的萌芽阶段：

柏拉图《理想国》 孔子《论语》 教育学的独立形态阶段：1632年夸美纽斯《大教学论》——最早提出班级授课制度 1762年卢梭《爱弥儿》 1806年赫尔巴特《普通教育学》——标志教育学成为一门独立学科

教育学的发展多样化阶段： 1861年斯宾塞(实证主义者)《教育论》 1916年杜威《民主主义与教育》——实用教育学说：提出了“教育即生活，教育即生长”“从做中学”“学校即社会”等教育思想 1939年凯洛夫《教育学》 教育学的理论深化阶段： 1963年布鲁纳《教育过程》

1975年赞科夫《教学与发展》 洛克《教育漫画》——主张绅士教育

心理断乳期——进入青春期前后的青少年，对自己的认知逐渐成人化。孩子开始

发育了，生理上在变，心理上也有变。家长会发现，不知从什么时候起， 孩子不听话了，你要东，他偏要西。这种现象，心理学上称之为“逆反心理”。这个时期，心理学上称之为“心理断乳期”。

一、教育起源学说

答：生物起源说、心理起、劳动起源说 二、教育的概念 P26

答：1、广义的教育：凡是增进人的知识技能，影响人的思想品

培根及其经验归纳法

一、培根的生平（1561-1626）

英国哲学家、思想家、作家、科学家。被马克思称为“英国唯物主义和整个现代实验科学的真正始祖”。在逻辑学、美学、教育学方面有许多思想。主要著作：《新工具》、《论说随笔文集》等。

1、少年：培根于1561年1月22日出生于伦敦一个官宦世家。 父亲是伊利莎白女王的掌玺大臣，曾在剑桥大学攻读法律，他思想倾向进步，信奉英国国教，反对教皇干涉英国内部事务。母亲娴熟地掌握希腊文和拉丁文，是加尔文教派的信徒。良好的家庭教育使培根成熟较早，各方面都表现出异乎寻常的才智。12岁时，培根被送入剑桥大学三一学院深造。在校期间，他对传统的观念和信仰产生了怀疑，开始独自思考社会和人生的真谛。在剑桥大学学习三年后，培根作为英国驻法大使的随员来到法国，在旅居巴黎两年半的时间里，他几乎走遍了整个法国，接触到不少新鲜事物，汲取了许多新思想，对其世界观的形成起到了很大作用。

2、青年： 1579年，培根的父亲突然病逝，他要为培根准备日后赡养之资的计划破灭，培根的生活开始陷入贫困。在回国奔父丧之后，培根住进了葛莱法学院，攻读法律，谋求职位。1582年，他取得了律师资格，1584年当选为国会议员，1589年成为法院出缺后的书记。

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第 8朝

高中数学教与学

竞赛问题巾硇数学归纳法5平(江苏省南菁中学， 2 1 4 4 0 0 )

一

些较为复杂的与正整数有关的竞赛

“、 b有两种情况，即 a、 b全不等于 P,或 n, b

命题，我们可考虑用数学归纳法来证明，证明的关键在于我们要注意充分利用和灵活运用“归纳假设” .下面两个典型的例子可给我们一些启示.

中仅有一个为 .若 a, b全不等于 P,不妨设 a: P十a , b: P+a i,贝 0l n— b l: l ai~ a j 1 .

a+ b: 2 al a 2…a^+ ( a i+a j ),

由①,②易得，l a— b l l ( a+b ) . 若 a, b仅有一个为 P,不妨设 a= P, b:P+a i,则I a— b l:,

例1 求证：对任意的 n∈ N,≥ 2,都存在个互不相等的正整数组成的集合 M, 使得对任意的 n∈ M, b∈ M, I a—b l都可以整除 a+ b .

a+b= 2" al a2… a k+ a j

证明 ( 1 )当 n=2时，存在 M={ 1, 2} .

:a j ( 2 al a 2…a j~ 1 a j+ l…a^+ 1 )

由a, 6∈ M,易知，I a

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数学归纳法上课人：张文根 时间：2014年11月19日

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学习目标1、明白数学归纳法的递推原理 2、合理选择数学归纳法证明问题时的第一个取值 3、明白由n=k成立推导n=k+1成立时，代数式是如何变化的 4、证明不等式时，注意数学归纳法和其它方法的综合应用。

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课前热身n n +1 2 n + 1 1、 求证： 12+22+…+n 2= . 6 证明 (1)当 n=1 时，左边=1, 1· 1+1 2+1 右边= =1,左边=右边，等式成立； 6(2)假设 n=k (k∈N*)时，等式成立， k k+1 2k+1 2 2 2 即 1 +2 +…+k = , 6 则当 n=k+1 时， k k+1 2k+1 2 2 2 2 1 +2 +…+k +(k+1) = +(k+1)2 6 k+1 [ k+1 +1][2 k+1 +1] = 6所以当 n=k+1 时，等式仍然成立.

由(1)、(2)可知，对于 n∈N*等式恒成立.

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2.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为

1 n(n-3)条时,第一步检验 n 等于( C 2(A)1 (B)2 (C)3 (D)0

)

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3.用数学归纳法证明 1+2+3+…4 2 n n

培根及其经验归纳法

一、培根的生平（1561-1626）

英国哲学家、思想家、作家、科学家。被马克思称为“英国唯物主义和整个现代实验科学的真正始祖”。在逻辑学、美学、教育学方面有许多思想。主要著作：《新工具》、《论说随笔文集》等。

1、少年：培根于1561年1月22日出生于伦敦一个官宦世家。 父亲是伊利莎白女王的掌玺大臣，曾在剑桥大学攻读法律，他思想倾向进步，信奉英国国教，反对教皇干涉英国内部事务。母亲娴熟地掌握希腊文和拉丁文，是加尔文教派的信徒。良好的家庭教育使培根成熟较早，各方面都表现出异乎寻常的才智。12岁时，培根被送入剑桥大学三一学院深造。在校期间，他对传统的观念和信仰产生了怀疑，开始独自思考社会和人生的真谛。在剑桥大学学习三年后，培根作为英国驻法大使的随员来到法国，在旅居巴黎两年半的时间里，他几乎走遍了整个法国，接触到不少新鲜事物，汲取了许多新思想，对其世界观的形成起到了很大作用。

2、青年： 1579年，培根的父亲突然病逝，他要为培根准备日后赡养之资的计划破灭，培根的生活开始陷入贫困。在回国奔父丧之后，培根住进了葛莱法学院，攻读法律，谋求职位。1582年，他取得了律师资格，1584年当选为国会议员，1589年成为法院出缺后的书记。

晋中学院XX学院20XX届本科生毕业论文

浅谈数学归纳法及其应用

学生姓名:XXX（XXX班） 指导老师:XXX

摘 要:数学归纳法是数学中最基本也是最重要的证明方法之一,在数学各个分支里都有广泛应用,利用数学归纳法可以解决比较复杂的问题.本文从数学归纳法的整体结构出发,对数学归纳法的思想渊源、基本原理及常见形式进行了分析总结,介绍了数学归纳法在初等数学、高等数学、离散数学、概率论、图论等学科中的应用. 关键词:数学归纳法;渊源;原理;表现形式;理论基础及其证明;应用

晋中学院XX学院20XX届本科生毕业论文

On the Mathematical Induction and its Application

Student: X XX Instructor: X XX

Abstract: Mathematical induction is one way of the most ba