换元法洋葱数学

初一数学联赛班

第3讲 换元法和待定系数法

7 年级

典型例题

一. 换元法

【例1】 分解因式：x6?28x3?27

【例2】 分解因式：(a?b)4?(a?b)4?(a2?b2)2

【例3】 分解因式：a4?44?(a?4)4

【例4】 分解因式：(y?1)4?(y?3)4?272

思维的发掘

1

能力的飞跃

初一数学联赛班

7 年级

【例5】 分解因式：(y?1)3?(y?3)3?4(3y?5)

【例6】 分解因式：(x2?4x?8)2?3x(x2?4x?8)?2x2

【例7】 证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.

【例8】 分解因式：(x?1)(x?1)(x?3)(x?5)?9

思维的发掘

能力的飞跃

2

初一数学联赛班

7 年级

【例9】 分解因式：(x2?7x?6)(x2?x?6)?56.

【例10】 分解因式：x4?1998x2?1999x?1998

【例11】 分解因式：4(x?5)(x?6)(x?10)(x?

换元法在中学数学解题中应用

摘 要本文主要介绍了中学数学中的换元法的概念，根据换元法在数学解题中的应用将其分别分类为整体换元法，局部换元法；常值换元法； 比值换元法；化高次为低次，化无理为有理，化分式为整式，对各种换元法的类型分别进行例题展示和总结，最后强调了换元法在换元时应注意的问题。

关键词：换元法；等量代换；关系 一.换元法及其相关概念 （1）换元法的基本概念

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元法的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称换元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式，在研究方程、不等式、函数、三角等问题中有广泛的应用。

（2）换元法的实质

换元法的实质就是转化，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，使问题得

换元法在数学竞赛中的若干运用

摘要： 在中学数学竞赛中，换元法作为一种重要的解题方法，有着能够将数学问题化繁为简，化难为易的作用。本文论述换元法在中学数学竞赛中的若干种运用，主要从自身换元、局部换元、整体换元、常值换元、均值换元、参数换元、比值换元及其功能分类等八个方面来论述.

关键词：换元法、数学竞赛

Abstract

前言

从往年的竞赛试题看，初中竞赛和高中竞赛题需要用到换元法来求解的问题是相当多的。在计算题、解高次方程、解无理方程、求函数解析式、不等式的证明、数

列等题型中经常能过发挥重要的作用。通过换元法可以达到化高次为低次，化分式为整式，化无理式为有理式，化超越式为代数式的转化。这里我仅结合数学竞赛中常出现的一

些题型来谈一谈它在数学竞赛中的一些运用. 1. 换元法的定义及其相关概念 1.1换元法的定义

所谓换元法（substitution method; substitution; changing yuan）是一种设辅助元素，把题中一个（些）字母的表达式用另外的一个字母（些）字母的表达式来代替，从而达到把要求解的问题简单化，建立已知和未知的联系的方法.

在解决数学竞赛试题时，有时我们直接按原始的方法去解决问题会显得比较繁琐和困难

中学数学中换元法的应用与常见错

误分析

目录

第一章 引言 ……………………………………………………… 4 第二章在因式分解中的应用……………………………………… 第三章在化简二次根式中的应用………………………………… 3.1设元代数，化已知为未知………………………………………………… 3.2设元代式，无理变有理…………………………………………………… 第四章在解方程中的应用………………………………………… 4.1分式方程…………………………………………………………………… 4.2一元二次方程……………………………………………………………… 74.3三角有理方程…………………………………………………… 第五章在证明不等式中的应用…………………………………… 5.1三角换元法……………………………………………………… 5.2改变换元后中间变量的范围……………………………………… 第六章换元法常见错误分析……………………………………… 6.1将复合函数与原函数混为一谈…………………………………………… 6.2改变换元后中间变量的范围……………………………………………… 6.3换元的选择不恰当……………………

《因式分解---待定系数法、换元法、添

项拆项法》知识点归纳

知识体系梳理 ◆

添项拆项法

有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解。通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。

一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。 ◆

待定系数法

有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。然后再把积乘出来。用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。 ◆ 换元法

所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使复杂

的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫

。换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用。 （1）、使用换元法时，一定要有

意识，即把某些相同或相似的部分看成一个 。

（2）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何

高等数学同济六版(上)

第三节 定积分的换元法和 分部积分法不定积分

第五章

换元积分法分部积分法

定积分

换元积分法分部积分法

一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法43

高等数学

●

戴本忠

高等数学同济六版(上)

学习指导1.教学目的：掌握运用换元公式求解定积分问题的方法；掌 握用分部积分法公式计算定积分的方法。 2.基本练习： (1) 用换元法计算定积分； (2) 被积函数具有奇偶性或周期性的定积分计算； (3) 利用换元法和被积函数的奇偶性及周期性来证明某些 定积分公式。 (4) 用分部积分法计算定积分。 3.注意事项： (1)换元法的目的是将复杂的或者抽象的被积函数变量代 换为常见的积分形式，所以基本的积分公式一定要熟记， 要掌握换元法所遵循的几个原则以正确地应用换元法。 (2)运用分部积分公式的关键是正确地选取u(x) 和v(x) 。熟 练掌握运用分部积分法的几种常用类型可帮助对u(x) ,v(x) 的选取。43

高等数学

●

戴本忠

高等数学同济六版(上)

定积分的换元积分法根据

a f ( x )dx F (b) F (a ).微积分基本公式

b

不定积分法

定积分法，

且使用方法与相应的不定积分法类似。

43

高等数学

●

戴本忠

高等数学同济六版(上)

定理 假

微积分,高等数学

微积分,高等数学

一、二重积分的换元法平面上同一个点， 平面上同一个点，直角 坐标与极坐标之 x = r cos θ, 间的关系为 y = r sin θ.上式可看成是从直角坐 标平面 roθ 到直角 θ 的一种变换， 坐标平面 xoy 的一种变换， 即对于 roθ 平

通过上式变换， 面上的一点 M ′( r , θ),通过上式变换，变 成 xoy 平面上的一点 M ( x , y ),且这种变 换是一对一的. 换是一对一的.

微积分,高等数学

定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续， 连续，变换 T : x = x ( u, v ), y = y( u, v ) 将 uov 平面上的闭区域 D′ 变为 xoy 平面上的 D, 且满足 (1) x ( u, v ), y( u, v ) 在 D′ 上具有一阶连续偏导数 ； ( 2) 在 D′ 上雅可比式 ( x, y) J ( u, v ) = ≠ 0; ( u, v )

( 3) 变换 T : D′ → D 是一对一的，则有 是一对一的，

∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫∫ f [ x(u, v ), y( u, v )]

因式分解方法归纳总结

第一部分：方法介绍

初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法

和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb=m(a+b)

二、运用公式法.

2222

（1）(a+b)(a-b) = a-b ---------a-b=(a+b)(a-b)；

222222

(2) (a±b) = a±2ab+b ——— a±2ab+b=(a±b)；

22333322

(3) (a+b)(a-ab+b) =a+b------ a+b=(a+b)(a-ab+b)；

22333322

(4) (a-b)(a+ab+b) = a-b ------a-b=(a-b)(a+ab+b)． 下面再补充两个常用的公式：

2222

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

333222

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

例.已知a，b，c是?ABC的三边，且a?b?c?ab?bc?ca， 则?ABC的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解：a?b?

微积分,高等数学

微积分,高等数学

一、二重积分的换元法平面上同一个点， 平面上同一个点，直角 坐标与极坐标之 x = r cos θ, 间的关系为 y = r sin θ.上式可看成是从直角坐 标平面 roθ 到直角 θ 的一种变换， 坐标平面 xoy 的一种变换， 即对于 roθ 平

通过上式变换， 面上的一点 M ′( r , θ),通过上式变换，变 成 xoy 平面上的一点 M ( x , y ),且这种变 换是一对一的. 换是一对一的.

微积分,高等数学

定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续， 连续，变换 T : x = x ( u, v ), y = y( u, v ) 将 uov 平面上的闭区域 D′ 变为 xoy 平面上的 D, 且满足 (1) x ( u, v ), y( u, v ) 在 D′ 上具有一阶连续偏导数 ； ( 2) 在 D′ 上雅可比式 ( x, y) J ( u, v ) = ≠ 0; ( u, v )

( 3) 变换 T : D′ → D 是一对一的，则有 是一对一的，

∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫∫ f [ x(u, v ), y( u, v )]

不定积分

埭镪

思想方法… 一一 ……

用第一换元法求不定积分的五步教学法◎魏东仓 (宝鸡职业技术学院 7 11) 2 0 3求一个函数的不定积分是积分学的一个基本 J司题， 解一

决这类问题的方法多种多样，中有一种方法就是第一换其元法。学生学习这种方法时往往觉得不易掌握，对这而针一

f1 c2)c (一0X s: s do

种情况，者根据多年的教学经验，这部分的教学归纳笔将为五个步骤，称“步教学法”在实践中收到了较好的简五，效果 .面将这种方法介绍如下：下一

』c+c。= ds』s c 。 ds。 2CO X+ S

J ox s sd o c2 c

』d,) (。

0g (] (d i x Gx x f G ) )

一s+ J2 c【u o d旦一CS +C O X+ 1cs+ 0 c s+ e o‰

fi(] ) G ) g 一

。J u] [g )一∽ (旦坌 o,u+C 4( ) 变量还厘[ )+C G(] .上面各步中数。是一个常数，中变形是关键，微分其凑是核心，元是手段 .变形中要教会学生把 _ )成是某换在厂看 (一

这道题中被积函数本身就是复合函数，不能把 s 但 i n作为中间变量，要利用三角恒等式变换后将 C S作为中而 O 间