有限元基础教程曾攀课后答案

武汉理工大学教师备课专用纸

有限元分析基础 第一章 有限元法概述

在机械设计中，人们常常运用材料力学、结构力学等理论知识分析机械零构件的强度、刚度和稳定性问题。但对一些复杂的零构件，这种分析常常就必须对其受力状态和边界条件进行简化。否则力学分析将无法进行。但这种简化的处理常常导致计算结果与实际相差甚远，有时甚至失去了分析的意义。所以过去设计经验和类比占有较大比重。因为这个原因，人们也常常在设计中选择较大的安全系数。如此也就造成所设计的机械结构整体尺寸和重量偏大，而局部薄弱环节强度和刚度又不足的设计缺陷。

近年来，数值计算机在工程分析上的成功运用，产生了一门全新、高效的工程计算分析学科——有限元分析方法。该方法彻底改变了传统工程分析中的做法。使计算精度和计算领域大大改善。

§1.1 有限元方法的发展历史、现状和将来

一，历史

有限元法的起源应追溯到上世纪40年代（20世纪40年代）。1943年R.Courant从数学的角度提出了有限元法的基本观点。50年代中期在对飞机结构的分析中，诞生了结构分析的矩阵方法。1960年R.W.Clough在分析弹性力学平面问题时引入了“Finite Element Method”这一术语，从而标志着有限元法的思想

有限元教程

Workbench基础 Ansys Workbench基础

三一重机研究院

有限元教程

主要内容一、有限元基本概念 基本操作 二、Ansys Workbench 软件介绍 有限元分析流程的操作

有限元教程

有限元基本概念概念把一个原来是连续的物体划分为有限个单元，这些单元通过有限个节 点相互连接，承受与实际载荷等效的节点载荷，并根据力的平衡条件 进行分析，然后根据变形协调条件把这些单元重新组合成能够整体进 行综合求解。有限元法的基本思想—离散化。

节点 单元 载荷 约束 分析类型

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Workbench软件介绍 Ansys Workbench软件介绍运行软件 操作界面简介 基本操作 分析流程的各项操作

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运行软件方法一：直接双击桌面上的 图标。

方法二：单击开始菜单， 选择程序命令； 从Ansys程序组 中选择 AnsysWorkbench程序。 启动该软件后，出现一模块选择对话框。

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操作界面介绍

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菜单常用的几个菜单项为：

—“File > Save” 用来保存数据库文件：.dsdb —“File > Clean” 用来删除数据库中的网格或结果 —“Edit > Select All” 用来选取窗口中当前的所有实体 —“U

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主要内容一、有限元基本概念 基本操作 二、Ansys Workbench 软件介绍 有限元分析流程的操作

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有限元基本概念概念把一个原来是连续的物体划分为有限个单元，这些单元通过有限个节 点相互连接，承受与实际载荷等效的节点载荷，并根据力的平衡条件 进行分析，然后根据变形协调条件把这些单元重新组合成能够整体进 行综合求解。有限元法的基本思想—离散化。

节点 单元 载荷 约束 分析类型

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运行软件方法一：直接双击桌面上的 图标。

方法二：单击开始菜单， 选择程序命令； 从Ansys程序组 中选择 AnsysWorkbench程序。 启动该软件后，出现一模块选择对话框。

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三角形有限元的超收敛性

陈传淼

单位：陈传淼(湖南师范大学计算研究所，长沙 410081 1998-11-02收稿 *数学天元基金重点资助项目(批准号：19331021)

*

摘要 基于三角形上的两类正交展开，对二阶椭圆问题研究了任意m次三角形有限元解(对偶数m)及平均梯度(对奇数m)在对称点上的超收敛性. 除此之外，再没有其他与方程系数无关的超收敛点.

关键词 超收敛 三角形元 任意次

设在平面域Ω上三角形剖分是拟一致的，记椭圆方程的解u及满足

这里假定双线性型

为m次三角形有限元子空间. 二阶

在Ω的边界Γ上有u=v=0. 三角形有限元(Ritz投影)

(1)

用Wk,p(Ω)记Sobolev空间，范数为‖u‖k，p，Ω.

单元正交分析(EOA)的思想［1，2］是构造u的一个较好的展开uI∈uh，由(1)式，这等价于要求R=u-uI近似正交于

:

(2)

，使得uI超接近于

A(uh-uI,v)=A(u-uI,v)=O(hm+2)‖v‖2,1,Ω， m?2，

这里网格范数‖v‖2,1,Ω=∑e‖v‖2,1,e. 若(2)式成立并取v=gh∈下面引理1)，它导致在Ω中一致的超收敛估计

(离散Green函数，见

(u

风vrvb

有限元部分实验报告

F0805102班 5080519046 王江

一、问题描述

一个带圆孔平板如图，内孔半径1mm，平板为方形，其边长为20mm。两侧受均布拉 伸载荷q=1000N/mm。平板材料性能参数包括：泊松比0.3，弹性模量E=200GPa。试分析平 板内部应力场。扩展讨论：当小孔直径变化时，孔边上的应力将会如何变化。

二、模型描述

2.1 模型简化

利用对称性原理，我们可以只对平板

的四分之一进行研究。

如右图所示，考虑第一象限中的平板：

对于X轴上的分应力fxx及fxy，由于对称性

可知fxy=0，且X轴上的质点在Y方向应没有

位移。 同理对于Y轴上的分应力fyx及fyy，

可由对称性推出 fyx=0，且Y轴上的质点在

X方向应没有位移。 因此可将该部分平板看

做只有一边受外载荷q，且在X轴上受Y=0，

Y轴上受X=0的边界约束。 而由对称性可知，

二、三、四象限中的平板受载荷及边界条件

情况与第一象限完全一致。因此只研究1/4

平板是合理的，与研究整体平板结果相同。

2.2、实验模型

模型单元如右上图所示，建立以（0 0 0）为圆心，（1 0 0）和（0 1 0）为边界的圆弧，再以（10 0 0）及（10 10 0）、（10 1

齿轮弯曲应力的有限元分析

摘 要：本文对有限元的概念和分析方法做了介绍，利用有限元分析软件ANSYS对UG建模的齿轮进行了分析，得出了齿轮在不同载荷下，弯曲应力的变化情况，对齿轮的设计提供了理论依据。

关键词：ANSYS；有限元；齿轮

有限元分析是使用有限元方法来分析静态或动态的物理物体或物理系统。在这种方法中一个物体或系统被分解为由多个相互联结的、简单、独立的点组成的几何模型。在这种方法中这些独立的点的数量是有限的，因此被称为有限元。由实际的物理模型中推导出来得平衡方程式被使用到每个点上，由此产生了一个方程组。这个方程组可以用线性代数的方法来求解。有限元分析的精确度无法无限提高。元的数目到达一定高度后解的精确度不再提高，只有计算时间不断提高。

有限元分析可被用来分析比较复杂的、用一般地说代数方法无法足够精确地分析的系统，它可以提供使用其它方法无法提供的结果。在实践中一般使用电脑来解决在分析时出现的巨量的数和方程组。

在分析一个物体或系统中的压力和变形时有限元分析是一种常用的手段，此外它还被用来分析许多其它问题如热传导、流体力学和电力学。

通用有限元分析软件有：德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABQU

【ANSYS算例】4.8.1(2) 基于4节点四面体单元的空间块体分析

针对【MATLAB算例】4.8.1(1)的模型，即如图4-22所示的一个块体，在右端面上端点受集中力F作用，计算各个节点位移、支反力以及单元的应力。在ANSYS平台上，完成相应的力学分析。

取相关参数为：E?1?1010Pa,?=0.25,F=1?105N。

图4-22 一个空间块体的分析

解答 计算分析模型如图4-22所示，下面同样采用5个4节点四面体单元对该结构进行分析。

1. 基于图形界面的交互式操作(step by step)

(1) 进入ANSYS(设定工作目录和工作文件)

程序 →ANSYS → ANSYS Interactive →Working directory (设置工作目录) →Initial jobname(设置工作文件名): TBrick→Run → OK

(2) 设置计算类型

ANSYS Main Menu: Preferences… → Structural → OK (3) 选择单元类型

ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type→Add/Edit/Delete… →Add… →Solid：

有限元基础

有限元法基础及应用

补充讲义

2010年2月

有限元基础

“有限元法基础及应用”补充讲义

一、弹簧单元与弹簧系统

1、 弹簧单元分析

1）单元描述

弹簧系统受力平衡时，从中隔离出一个典型弹簧单元进行分析。

图 1-1

弹簧单元的端点i,j设置为单元节点。 基本未知量为节点位移：ui,uj

单元节点力（单元在节点处受到的作用力）：fi,fj 已知弹簧的物理特性：F k

其中：k为弹簧刚度, uj ui为弹簧伸长量，F为弹簧力（拉伸为正） 2）建立弹簧单元的单元刚度方程

考虑弹簧单元在系统中变形平衡时的条件：力平衡条件和弹簧物理特性，得到下列方程：

fi F k(uj ui) kui kujfj F k(uj ui) kui kuj

写成矩阵形式：

（1-1）

fi k fj k k ui

k uj

（1-2）

上式的矩阵符号形式为：

f kd

（1-3）

方程（1-2）或（1-3）称为弹簧单元的刚度方程，反映了单元的力学特性，

即节点力~节点位移之间的关系。

式（1-3）中：

有限元基础

k k k ,称为单元刚度矩阵

kk ui

d ,称为单元节点位移列阵

uj fi

f ,称为单元节点力列阵

fj

3）弹簧单元刚度方程

基于UG的有限元分析

1. 模型的建立

利用UG8.0/ Modeling 模块建立模型，如图1所示：

图1 模型

2. 新建有限元模型

1) 单击【开始】→【高级仿真】命令，在【仿真导航器】窗口中右击单击【Rocker.prt】节点，在出的快捷菜单中单击【新建FEM】命令，弹出【新建部件文件】对话框，默认名称、文件夹，单击【确定】按钮。

2) 弹出【新建FEM】对话框，设置求解器为 NX NASTRAN。分析类型为结构分析。单击【确定】按钮，进入了创建有限元模型的环境。 3) 单击工具栏的【材料属性】

图标，弹出【指派材料】

对话框，选择好实体模型，在【材料】列表框中单击【Steel】，

再单击【确定】按钮即完成部件材料属性设置。 4) 单击工具栏中的【物理属性】

图标，弹出图2所示的

【物理属性表管理器】对话框，单击【创建】按钮，弹出【PSOLID】（体单元）对话框，如图2所示，在【材料】列表框中选取【Steel】选项，其他选项默认，单击【确定】按钮。返回到【物理属性表管理器】对话框。单击【关闭】按钮退出。

图2 【PSOLID】对话框

5) 单击工具栏中的【网格捕集器】

图标，弹出图3所示

的【网格捕集器】对话框，在【实体属性】列表框中选取上述设置的

1. Geom即为几何体，是我们分析对象的真实模型，实际物体的三维表现形式；elems即

为网格单元，是我们分析对象的力学模型，是对实际物体的一种近似模拟，是把实际物体转换成可计算的力学和数学模型，它不是简单的线和面，是带有数据的线和面。 在HyperMesh中，我们把geom和elems统称为comps，comps可以理解为图层，这里的图层和CAD的图层的概念不同。这里comps是以后赋予模型材料和几何性质的一个最小单元，或者说对于不同材料性质和不同几何性质的elems要处于不同的comps中。每个comps都会有个名字，所以同一个名字的comps包含两个部分，即XXX（名字）geom和XXX（名字）elems。当然几何体和力学模型是两个完全独立的部分，所以两者完全可以放在不同的comps。

窗口下方是主菜单，共分7类，分别是Geom、1D、2D、3D、BCs、Tool、Post，每一类中有一些重复的比较经常使用的命令。

Geom:主要是对模型的修改和操作。 1d:主要是对线单元的修改和操作。 2d:是对面单元的修改和操作。 3d:是对固体单元的修改和操作。 BCS:边界条件。 TOOL:使用的方法。 POST:后处理的命令。

窗口右下方是对