积分的方法

§2 基本积分方法

一、换元积分法

?第一类换元积分法 换元积分法?第二类换元积分法?◆ 1．第一类换元积分法：

设f(u)，?(x)为连续函数，?(x)可导，且

?①

u??(x)f[?(x)]?'(x)dx?????????f(u)du?F(u)?C，则

?f(u)du?F(u)?C?F[?(x)]?C

常见的凑微分形式：

1f(ax?b)d(ax?b) a1② f(axn?b)dx?f(axn?b)d(axn?b)

na③ ?f(ex)exdx??f(ex)d(ex)

??f(ax?b)dx???1f(lnx)dx?f(lnx)d(lnx)

x⑤?f(sinx)cosxdx??f(sinx)d(sinx)

④

???f(cosx)sinxdx???f(cosx)d(cosx) ⑦?f(tanx)secxdx??f(tanx)d(tanx)

⑥

2⑧

?f(arcsinx)1?x2dx??f(arcsinx)d(arcsinx)

例2.1计算

?arctanxdx

x2(1?x2)解:令arctanx?t，dx?sec2tdt，则

?arctanxtsec2tt22dx?dt?t(csct?1)dt??tdcott? 22222x(1?x)t

定积分的计算方法

摘要

定积分是积分学中的一个基本问题，计算方法有很多，常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法。以及其他特殊方法和技巧。本论文通过经典例题分析探讨定积分计算方法，并在系统总结中简化计算方法！并注重在解题中用的方法和技巧。

关键字：定积分，定义法，莱布尼茨公式，换元法

Calculation method of definite integral

Abstract

the integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system o

微积分的思想和方法

（部分讲义）

黄 荣 第四讲

第四章 定积分与不定积分

[教学目标]

1、了解定积分产生的历史、实际背景，理解定积分的概念，掌握定积分的性质；

2、理解原函数与不定积分的概念； 3、掌握不定积分性质与其本积分公式； 4、掌握定积分的牛顿一莱布尼兹公式； 5、了解定积分在实际问题中的应用； 6、了解简单微分方程的概念。 [重点难点]

定积分、不定积分的概念、牛顿一莱布尼兹公式。 [学习建议]

1、学习定积分概念时，应充分注意体现微积分的基本思想。 2、学员学习不定积分时，要注意加强练习，尽量做到掌握不定积分的计算方法。

3、牛顿一莱布尼兹公式，建立了微分和积分之间的联系，学员应适当练习，切实掌握。

4、为了掌握计算技能，学员必须做适当的练习。 [课时分配]

面授8课时，自学16 课时。 [面授辅导] 1、不定积分 1.1.1原函数

▲如果函数f(x)与f(x)定义在同一区间(a，b)，并且处处都有：F1(x)=f(x) 或df(x)=f(x)dx

则称f(x)是f(x)的一个原函数。 下列是一些简单函数的原函数： 出数 cosx sinx ex en

ex xn+1 原函数 si

学科分类号 110.3420

本 科 毕 业 论 文

题 目 几种常用数值积分方法的比较 姓 名 潘晓祥 学 号 1006020540200 院 （系） 数 学 与 计 算 机 科 学 学 院 专 业 数学与应用数学 年 级 2010 级 指导教师 雍 进 军 职 称 讲 师

二〇一四年五月

贵州师范学院本科毕业论文（设计）诚信声明

本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

本科毕业论文作者签名：

南通大学毕业论文

摘 要

在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结．

关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性

1

南通大学毕业论文

ABSTRACT

When we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill．In this paper th

根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间,化三重积分为三次积分。

科技信息

高校理科研究

关孑求船三重积分帕方法襄樊学院数计学院陶爽卢方芳[摘要]根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间，化三重积分为三次积分。 [关键词】积分区域最大投影柱坐标球面坐标 1出的曲形如 z f x )=, .给面=1,, x ) ( yz Y令￡ )如 y, y= )得到一个关于 xy,的方程，是封闭曲面围成的区域在 X Y平面上的最大投影，也是 x满足的范围，然后根据所得到的 xy O, y, 的关系判断 f 2 l的大小。, f 例 1化三重积分 f,z xy z ( Y ) dd为三次积分， x,d积分区域 Q是由曲面 z x 22 z2 X围成的闭区域。= Z y及=一2+ 解根据 x 2 2 x有 x 1因为得到的是最大投影，以 xy 2 y一 y,+所，满足的是 x y≤1 22,+根据该式可知≤2 X则一2,,

故闭区域在平面上的最大投影区域 D (, I+2】据 y得=(y x y≤1根 x)z, 2≤1出、 =[≥z z 2≥x y而根据所给的曲面方程形式，+,可以使用柱坐标变换，

令{p S 0 p+ f C≤<∞ X O= f ≥≥ 22~== z xy

四川师范学院2011届毕业生论文

目录

中文摘要…………………………………………………………………………3 Abstract…………………………………………………………………………4 1 引言……………………………………………………………………………6 2 直接积分法…………………………………………………………………6 2.1原函数和不定积分的定义……………………………………………6 2.2直接积分法的运用方法………………………………………………6 3 换元积分法…………………………………………………………………7 3.1 第一换元积分法………………………………………………………7

3.1.1 第一换元积分法的定义与分析…………………………………………7 3.1.2 第一换元积分法的运用…………………………………………………7

3.2 第二换元积分法………………………………………………………10

3.2.1 第二换元积分法的定义和分析………………………………………10 3.2.2 第二换元积分法的运用………………………………………………10

3.3 换元积分法中值得注意的问题……………………………………1

根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间,化三重积分为三次积分。

科技信息

高校理科研究

关孑求船三重积分帕方法襄樊学院数计学院陶爽卢方芳[摘要]根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间，化三重积分为三次积分。 [关键词】积分区域最大投影柱坐标球面坐标 1出的曲形如 z f x )=, .给面=1,, x ) ( yz Y令￡ )如 y, y= )得到一个关于 xy,的方程，是封闭曲面围成的区域在 X Y平面上的最大投影，也是 x满足的范围，然后根据所得到的 xy O, y, 的关系判断 f 2 l的大小。, f 例 1化三重积分 f,z xy z ( Y ) dd为三次积分， x,d积分区域 Q是由曲面 z x 22 z2 X围成的闭区域。= Z y及=一2+ 解根据 x 2 2 x有 x 1因为得到的是最大投影，以 xy 2 y一 y,+所，满足的是 x y≤1 22,+根据该式可知≤2 X则一2,,

故闭区域在平面上的最大投影区域 D (, I+2】据 y得=(y x y≤1根 x)z, 2≤1出、 =[≥z z 2≥x y而根据所给的曲面方程形式，+,可以使用柱坐标变换，

令{p S 0 p+ f C≤<∞ X O= f ≥≥ 22~== z xy

高校论坛２０１１年第５期 102定积分不等式证明方法的研究张 瑞（宝鸡文理学院 数学系） 摘 要 通过若干范例总结有关定积分不等式的证明方法及规律。主要有定积分的定义、泰勒公式、积分中值定理以及辅助函数 法等方法。 关键词 定积分 积分性质 中值定理 含定积分的不等式的证明是数学分析学习中的一个重点也是一个 难点，一般可以利用定积分的性质、积分中值定理、辅助函数等方法 来证明定积分不等式。证明方法多种多样，本文归纳并列举了几种定 积分不等式的证明方法，主要有利用定积分的定义、泰勒公式、积分 中值定理以及辅助函数法等方法。 １ 利用定积分的定义 主要是利用定积分的定义，将闭区间 通过分割、求和、并 时和的极限，比较积分大小则可通过比较和的极限来实 例１ 证明： 在 上连续，且 ， 。 分析：题中所给的已知条件较少，在这种条件下利用定积分的定 义将区间分割求极限比较简单。 证明：将 等分，可得分割 ， 取 ，并记 ，则 由于 ， ， 当且仅当 号成立。 由于 因而 等号成立。 ２ 利用定积分的性质 分析：由预证不等式中被积函数 式。 证明：由柯西不等式知 与 联想到柯西不等 可积，故令 ，即函数 得 ， 为常值函数时，上式等 ， 为常值函数时，上

重庆三峡学院数学分析课程论文

二重积分的计算方法

院 系 数学与统计学院

专 业 数学与应用数学（师范） 姓 名 年 级 2010级 学 号

指导教师 刘学飞

2014年5月

二重积分的计算方法

(重庆三峡学院数学与统计学院10级数本1班)

摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算

引言

二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何、物理、力学等方面有着重

要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被

积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求

二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.

1. 预备知识

1.1二重积分的定义

设f?x,y?是定