无穷电阻网络

无穷网络的解题思路与示例

20世纪80年代以来，在各种物理竞赛（包括奥林匹克物理竞赛）中，常常出现无穷网络的等效电阻的计算问题．解决这类问题的的基本思路和技巧，就是理解“无限”的意义，分析无限和有限这对矛盾，巧妙地创造条件，使无限向有限转化．下面我们先来讨论几种不同类型的无穷网络，然后以此为基础去讨论比较复杂的问题． 一、开端形半无穷梯形网络

图1

如图1所示电路称为开端形半无穷梯形网络．因为是无穷网络，所以ａ、ｂ间等效电阻与去掉一个格子后的电阻应相等，即 Ｒａｂ＝Ｒ１＋Ｒ３＋（Ｒ２Ｒａｂ／（Ｒ２＋Ｒａｂ））， 即

二、闭端形半无穷梯形网络

． ①

图2

如图2所示电路称为闭端形半无穷梯形网络．因为是无穷网络，所以ｃ、ｄ间的电阻同样应与格子数无关，故有 Ｒｃｄ＝Ｒ２（Ｒ１＋Ｒ３＋Ｒｃｄ）／（Ｒ２＋（Ｒ１＋Ｒ３＋Ｒｃｄ））， 即



三、中间缺口形无穷梯形网络

． ②

图3

如图3所示电路为中间缺口形无穷梯形网络．它可以看成是在ｅ、ｆ处两个相同的开端形半无穷梯形网络并联而成，所以有

Ｒｅｆ＝（1／2）Ｒａｂ＝ 四、底边缺口形无穷梯形网络

． ③

图4

如图4所示电路称为底边缺口形无穷

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发刊词一阴一阳为之道,万物由此生,一举定 乾坤。国如此,家如此,人亦如此,万事由简 而繁,由繁而简,莫不一局棋乎?

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棋乐无穷

出版日期：2006年3月

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围棋产生的传说 (3 ( 2 ) 乌 曹 创 始 说 ；

(1 尧 舜 发 明 说 ；

战 国 纵 横 家 、 兵 家 发 明 说 。

产 生 有 几 种 传 说 ：

国 古 代 文 化 的 精 粹

学会自学 其乐无穷

苏州市阳光城实验小学 赵兰玲 摘要：

社会的发展,科学技术的进步,要求我们的学生不但要掌握丰富的科学文化知识,还要有获取知识的能力。培养学生的自学能力是教师义不容辞的职责，是否注重培养学生的自学能力是衡量一个教师水平高低的重要尺度。古人说得好：“善学者教师安逸而功倍，不善学者教师辛苦而功半。”一个学生有了自学能力，他就可以主动学习，独立思考，因此在作文教学中激发学生的学习兴趣，指导学生在学习活动中善于积累素材丰富知识，教他们学会观察 积累经验，并能达到自觉自愿地修改文章提高自学能力，收获快乐。 关键词：

激发兴趣 积累素材 获取经验 提高能力 学会自学

21世纪的学生靠在学校学习的知识，无论是质还是量都远远满足不了未来的需要。要适应今天这种“知识爆炸”的时代必须学会独立获取知识，培养自学能力。叶圣陶先生一贯主张：“在课堂里教语文，最终的目的在达到?不需要教?，使学生养成这样一种能力，不待老师教，自己能阅读。”这里强调的是学生自学能力的培养。在叶圣陶先生博大精深的教育思想中，始终体现着这一思想。他的这一思想包括三层含义：第一、培养学生的自学能力是教育机构的重要任务；第二、学生要努力

§1-6 无穷小与无穷大及其比较

A级同步训练题：

一、客观题：

1、若x是无穷小，下面说法错误的是（ ）。

（A） x2是无穷小（B）2x是无穷小 （C）x－0.0001是无穷小 （D）－x是无穷小 2、下面命题中正确的是（ ）。

（A）无穷大是一个非常大的数 （B）有限个无穷大的和仍为无穷大 （C）无界变量必为无穷大 （D）无穷大必是无界变量 3、x→0时，1—cos2x是x2的 （ ）。

(A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小 4、下列极限中，值为1的是 。

(A) limx???sinx2x (B) limx?0?sinx2x (C) limx??sinx2x? (D) limx???sinx2x

2二、计算下列极限：

1?cos2x(x?1)2?(x?1)31、lim 2、lim

x?0x?0xtanxx3、limln(1?2x)tanx?sinx 4、li

　　文/心柔

　　 仲夏之夜，闷热中略带一丝微凉，却依旧没有丝毫睡意。于是，泡一壶清茶，在透着微光的窗边静坐。看茶叶在杯中翻腾，飘出淡淡的茶香，沁人心肺；看茶叶在杯中浮沉，犹如人生起伏，静默感慨。喝一口，细细的品味着茶味的苦涩与甘甜，体悟着人生的得失荣辱，苦乐炎凉。

　　 戴上耳机，播放一首“夜的钢琴曲”，随手捋一捋散落在耳际的发丝，在这夜的阑珊处，悠然品茗，独享清欢。寻一种世外淡然的心境，让灵魂如缕缕茶香，随烟轻扬，袅袅升腾。

　　 看杯盏茶心，品茶香物语。第一道茶苦如生命；第二道茶香如爱情；第三道茶淡如清风。一杯清茶，三味一生。人生就像这盏清茶一样，或浓郁，或清淡。各中滋味，都要自己去细细的品味。品味的过程，便似人生的旅程，有你喜欢的，也有你抗拒的。人生在世，功名利禄来来往往，荣辱成败浮浮沉沉。品茶，就像品味漫漫人生一样，酸甜苦辣，尽数其中。

　　夜已深，人亦静。闻着淡淡地茶香，任由思绪缥缈，就连那一抹若有似无的心事，也在这般静好的时光中婉约成诗。于是，漫漫长夜便觉得格外清宁与惬意。

　　 此时，没有一点矫饰和浮躁，忘却了一切得失和荣辱，伴着夜曲的重复循环，心境唯美而恬淡。或许，茶等的，是懂它的人；而人等的，亦是倾心的茶。茶遇水是缘，亦如人生之缘。

第九章 无穷级数

一、教材分析

函数是微积分研究的对象，表示函数、研究函数的方法和工具很多，无穷级数就是我们表示函数、研究函数性态，及进行数值计算的一种有效的工具。无穷级数是逼近理论中的重要内容之一，也是微积分学的重要组成部分。如某些用初等方法难以解决的定积分的计算等也有重要的应用。

级数之所以是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数来表示；另一方面又可将函数表示为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。 二、教学要求

1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。 2. 了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与p-级数的敛散性，掌握正项级数的比值审敛法。

3. 了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系。

4. 了解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握简单幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性不作要求）。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求幂级数的和函数（只要求作简单训练）。

5. 会利用e，sinx，cosx，l

第九章 无穷级数

一、教材分析

函数是微积分研究的对象，表示函数、研究函数的方法和工具很多，无穷级数就是我们表示函数、研究函数性态，及进行数值计算的一种有效的工具。无穷级数是逼近理论中的重要内容之一，也是微积分学的重要组成部分。如某些用初等方法难以解决的定积分的计算等也有重要的应用。

级数之所以是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数来表示；另一方面又可将函数表示为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。 二、教学要求

1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。 2. 了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与p-级数的敛散性，掌握正项级数的比值审敛法。

3. 了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系。

4. 了解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握简单幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性不作要求）。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求幂级数的和函数（只要求作简单训练）。

5. 会利用e，sinx，cosx，l

第十一章 无穷级数

(A)

用定义判断下列级数的敛散性

1．

???n?1?11??1；3．???n?n?。 n?2?n?1 ；2．?5?n?12n?2n?2?n?1?3??判断下列正项级数的敛散性

????nen4n!2n?3n?14．?；5．?n；6．?；7．?；8．?； n??nn?32n100en?1n?1n?1n?1n!n?1??n???1??n?9．??。 ?；10．?n2n?1n?1?3n?1??nn求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛

11．???1?n?1?n?1n2n?1；12．???1?n?2?n1；13．1.1?1.01?1.001?1.0001??； lnn14．

1234?2?2?2??； 22?13?14?1求下列幂级数的收敛半径和收敛区间

15．?n?1??3n??xn1nnx；16．???1?n；17．?n!x；18．?n?x?1?；

nnn?1n?12nn?1n?n19．?n?112n?1x2n?1n2n；20．?nx；

n?13?求下列级数的和函数

21．?nxn?1?n?1；22．?n?1?122n?1； xn?1将下列函数展开成x?x0的幂的级数

ex?ex23．shx?，x0?0；

极端原理与无穷递降法

一、最小数原理、极端原理、极端原则

最小数原理：自然数集组成的非空子集中，一定有一个最小数

极端原理：有限个实数组成的非空集合中，一定有一个最大数，也一定有一个最小数

极端原则：要从某堆东西中找出某件东西，如果能根据这些东西的某种特征让它们排成一行，使得那

件东西或者排在第一个或者排在最后一个，从而把它找出来，这种方法称为极端原则

例1、（1）在平面上有n个不全共线的点，试证：一定存在一条直线恰好经过这n个点中的两个点

（2）给定空间中n个不共面的点，试证：必存在一个恰好经过三个给定点的圆

例2、（1）平面上有n个点，任意三点不共线，证明：可以以这n个点为顶点连成一个边不自相交的简单n边形

（2）平面上有2n个点，任意三点不共线，其中有n个红点与n个蓝点，证明：可以把这2n个点连成n条互不相交的线段，而且线段的两端不同色

例3、（1）平面上有n个点，n?5，或是红点或是蓝点，而且任意三个同色点不共线，证明：存在一个三个顶点同色的三角形，该三角形至少有一条边上不含另一种颜色的点

（2）空间中有20个点，或是红点或是蓝点，而且任意四个同色点不共面，证明：存在一个四个顶点同色的四面体，该四面体至少有一

第七节 无穷小的比较

教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 教学重点：用等价无穷小求极限 教学过程：

一、讲授新课：

在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情

?a0?b?0??0????m?nm?nm?n况，例如：lima0xb0xnmx?0?limxx?0n?m?a0b0 （a0,b0为常数，m,n为自然

数）

可见对于m,n取不同数时，a0xn与b0xm趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类：

定义：设?与?为x在同一变化过程中的两个无穷小， (i) 若lim(ii)

???0，就说?是比?高阶的无穷小，记为??o(?)；

若lim????????，，就说?是比?低阶的无穷小；

，，就说?是比?同阶的无穷小；

(iii) 若lim (iv) 【例1】

若lim?C?0?1，就说?与?是等价无穷小，记为?~?。

当x?0时，x2是x的高阶无穷小，即x2?o(x)；反之x是x2的低阶无

穷小；x2 与1?cosx是同阶无穷小；x与sinx是等价无穷小，即x~sinx。

注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：x2?o(x),x2?o(x)，但o(x)?o(x)