高等数学第五章定积分思维导图

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 62

第五章 定 积 分

§5—1 定积分概念

一、填空题

1． f(x)在[a,b]上可积的充分条件是 。

2． limn???k?1nk用定积分表示可表示成 。

??nn3． 由定积分的几何意义知4． 定积分

???sinxdx= ，?sinxdx= 。

???a?aa2?x2dx的几何意义是 。

二．判断题。

1．若f(x)在[ a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上可积。 （ ） 2．若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[ a,b]上有界。 （ ） 3．若f(x)、g(x)在[a,b]上都不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上必不可积。 （ ） 5． 若f(x)在[a,b]上可积，则g(x) )在[a,b

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 62

第五章 定 积 分

§5—1 定积分概念

一、填空题

1． f(x)在[a,b]上可积的充分条件是 。

2． limn???k?1nk用定积分表示可表示成 。

??nn3． 由定积分的几何意义知4． 定积分

???sinxdx= ，?sinxdx= 。

???a?aa2?x2dx的几何意义是 。

二．判断题。

1．若f(x)在[ a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上可积。 （ ） 2．若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[ a,b]上有界。 （ ） 3．若f(x)、g(x)在[a,b]上都不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上必不可积。 （ ） 5． 若f(x)在[a,b]上可积，则g(x) )在[a,b

第五章 定积分及其应用

本章开始讨论积分学中的另一个基本问题：定积分.首先我们从几何学与力学问题引进定积分的定义,之后讨论它的性质与计算方法.最后，来讨论定积分的应用问题.

第1节 定积分的概念与性质

1.1 定积分问题举例 1.1.1

曲边梯形的面积

曲边梯形? 设函数y?f(x)在区间?a,b?上非负、连续? 由直线x?a,x?b,y?0及曲线y?f(x)所围成的图形称为曲边梯形? 其中曲线弧y?f(x)称为曲边?

求曲边梯形的面积的近似值?

将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形?每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积? 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值? 具体方法是? 在区间?a,b?中任意插入若干个分点（图5-1）

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b,

把?a,b?分成n个小区间

?x0,x1?,?x1,x2?, ?x2,x3?,?,?xn?1,xn?,

它们的长度依次为?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1.?

经过每一个分点作平行于y轴的直线段? 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形?在每个小区间?xi?1,xi?上任取一点?i, 以?xi?1

第五章 不定积分

一、 本章提要

1. 基本概念 原函数，不定积分． 2. 基本公式

不定积分的基本积分公式（13个）；分部积分公式． ３．基本方法

第一换元积分法（凑微分法）；第二换元积分法；分部积分法；简单有理函数的积分方法．

二、 要点解析

问题1 应用第二换元积分法应注意什么问题？

解析 用第二换元积分法计算不定积

?f(x)dx关键是要选择合适的变换函数

x??(t)，使得新的被积函数f(?(t))??(t)具有原函数G(t) ，再从x??(t)中得出 t???1(x)代入G(t)，即得f(x)的原函数．上述条件与结论用定理描述为：

定理（第二换元法）若函数x??(t)在某个区间上满足： （1）??(t)可导且 ??(t)?0；

（2）x??(t)的反函数 t??(x)存在； （3）f(?(t))??(t)有原函数G(t)．则有

?1?f(x)dx??f(?(t))??(t)dt?G(?1 ???t?1 ??(t) ?1(x))?C．

上述定理的证明是显然的，只需证明右端的导数是左边的被积函数即可，事实上，

?(G(??1(x))?C)??G?(t)t?x?G(t)

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

一,基本内容对定积分的补充规定:(1)当a= b时,∫ f ( x )dx= 0;a b

(2)当 a> b时,∫ f ( x )dx=∫ f ( x )dx .a b

b

a

说明在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小.

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结束

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

性质1证

∫a[ f ( x )± g ( x )]dx=∫a f ( x )dx±∫a g ( x )dx .b

b

b

b

∫a[ f ( x )± g( x )]dx n= lim∑[ f (ξ i )± g (ξ i )]xiλ→0= lim∑ f (ξ i )xi± lim∑ g (ξ i )xiλ→ 0 i=1b i=1 n n

λ→ 0 i=1

=∫a f ( x )dx±∫a g ( x )dx .b

(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)首页上页返回下页结束

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

性质2证b

∫a kf ( x )dx= k∫a f ( x )

第五章 定积分

一、基本要求及重点、难点

1. 基本要求

（1）理解定积分的概念和几何意义；了解函数f(x)在[a,b]上可积的充分条件。 （2）掌握定积分的性质和积分中值定理。 （3）掌握定积分上限函数的求导方法及其应用。

（4）熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法及分部积分法。

（5）了解定积分的近似计算法。

（6）理解反常积分的概念，掌握无穷限的反常积分及无界函数的反常积分的计算，会判断其敛散性。

2. 重点及难点

（1）重点：定积分上限函数的求导及应用；定积分的换元法。 （2）难点：利用定积分的换元法证明有关等式。

二、内容概述

1.定积分的概念和性质

（1）定积分定义：

设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点

a?x0?x1?x2???xn?b把区间[a,b]分成几个小区间[x0,x1],[x1,x2],?,[xn?1,xn], 几

个小区间的长度依次为

?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1。

在每个小区间[xi?1,xi]上任取一点?in，作函数值f(?i)与小区间长度?xi的乘积

?x1,?x2,?,?xn},如果不f(

第五章 定积分

习题5.1

1.填空

n（1）lim?f??i??xi

??0i?1(2)介于x轴，函数f?x?的图像及两条直线x?a,x?b之间的各部分面积的代数和。 2．利用定积分的定义计算 （1）?xdx

01解：?f?x?在区间?0,1?上连续

?将?0,1?分成n等分，不妨设分点为xi??n,?i?1,2,3,?,n?

小区间?xi,xi?1?的长度为?xi?取?i?xi,?i?1,2,3,?,n? 则由定积分定义得

nniini1n,?i?1,2,3,?,n?

?f????xi?1???i?1??xi??i?1i11??2nnnn?i?11n?n?1? i?2?n2当???时n?? ??xdx?lim01n??0??i?xi?limi?1n1n?n?1?n2n??2?12

（2）

?10niiedx?limxn???f????xi?11?limn???i?12n?11?1?1?i?1nnnf???lim?e?e???e?en??n?nn????nn1????n?ne1??e??11?????1enen??lim??1?e?lim??1?e?lim11n??n??n??n???1?nnn?1?en?1?e?????n???

?e?

第五章 定积分的应用

在本章中，我们将利用学过的定积分理论来解决一些实际问题.首先介绍建立定积分数学模型的方法——微分元素法；再利用这一方法求一些几何量(如面积、体积、弧长等)和一些物理量(如功、液体静压力、引力等)；并介绍定积分在经济学中的简单应用.

第一节 微分元素法

实际问题中，哪些量可用定积分计算？如何建立这些量的定积分表达式？本节中我们将回答这两个问题.由定积分定义知，若f在区间?（x）?a,b??上可积，则对于??a,b??的任一划分：

a?x0＜x1＜?＜xn?b，及??xi?1,xi??中任意点ξi,有

n?baf(x)dx?limλ?0?i?1f(ξi)Δxi，

(5?1?1)

这里Δxi?xi?xi?1?i?1,2,?,n?,λ?max?Δxi?. (5?1?1)式表明定积分的本质是一类特定和式

1?i?n的极限，此极限值与?只与区间?有关.基于此，（x）?a,b??的分法及点ξi的取法无关，?a,b??及函数f我们可以将一些实际问题中有关量的计算归结为定积分来计算.例如，曲边梯形的面积、变速直线运动的位移等均可用定积分来表达.由上一章中分析曲边梯形面积用定积分来表示的过程，

第五章 定积分及其应用

习题 A

一、选择题

?1、M??2?sinx1?x2???2cosxdx,N?4?2??2(sinx?cosx)dx，P?34?2??2(xsinx?cosx)dx

234则下列不等式成立的是（ ）；

（A）N?P?M （B）M?P?N （C）N?M?P （D）P?M?N 2、定积分

? ? 0； sinx?sinxdx=（ ）

233（A）0 （B）3、设f(x)? （C）

43 （D）2

?x0e?t2； dt，则f??(1)?（ ）

1e（A）0 （B）? （C）?2e （D）e

4、下列各式中正确的是（ ）； （A）（C）

?dxddxdbaxaf(x)dx?f(x) （B）

?dxdf(x)dx?f(x)?C

?f(t)dt?f(x) D.?f?(x)dx?f(x)

195、定积分?3130x?8； dx，作适当变换后应等于（ ）

33?3（A）?3xdx （B）?3xdx （C）?3xdx

第六章 定积分的应用

习题 6-2 (A)

1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： (1)y?x2?6x?8,[0,3] (2)y?2x?x2,[0,3]

2． 求下列各图中阴影部分的面积： 1.

图 6-1

3．求由下列各曲线围成的图形的面积： (1)y?ex,y?e?x与x?1;

(2)y?lnx与x?0,y?lna,y?lnb(b?a?0);

(3)y?2x?x2与y?x,y?0;

(4)y2?2x,y2??(x?1);

(5)y2?4(1?x)与y?2?x,y?0;

(6)y?x2与y?x,y?2x;

(7)y?2sinx,y?sin2x(0?x??);

8)y?x2(2,x2?y2?8（两部分都要计算）;

1

4．求由曲线y?lnx与直线y?0,x?e?1,x?e所围成的图形的面积。

5．求抛物线y??x2?4x?3及其在点(0,?3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。 6．求抛物线y2?2px及其在点(p2,p)处的法线所围成的图形的面积。 7．求曲线x?y?a与两坐标轴所围成的图形的面积。

8．求椭圆x2?y2a2b2?1所围图形的面积。

9．求由摆线x?a(t?si