赋范线性空间

第二章 线性赋范空间与内积空间

Normed Linear Spaces and Inner Product Spaces

前面介绍了度量空间及其性质，在那里通过定义距离的概念，引入了点列的极限，这种点列极限是微积分中数列极限在抽象空间的推广．然而只有距离结构，没有代数结构的空间在应用上受到许多限制．本章通过在线性空间中定义范数来赋予线性空间上的一种特殊距离，从而将收敛的概念引入到线性空间，由此导出线性赋范空间的概念，如果这种空间的两个向量再赋予类似欧氏空间的“内积”或“点积”的概念后，便是内积空间．因此本章的主要内容就是线性赋范空间与内积空间．

2.1 线性赋范空间的定义与极限

在学习高等代数时，我们已了解到线性空间的概念，线性赋范空间，简单地说，就是给线性空间赋予范数．

定义2.1.1 线性空间

设X为一非空集合，R表示实数域(或为复数域C)．在X中定义了元素的加法运算以及实数(或复数)与X中元素的乘法运算，且满足下列条件：

1. 关于加法“+”：?xy,X?有?x,y,z?X，

(1) x?y?y?x (交换律)；

(2) (x?y)?z?x?(y?z) (结合律)；

(3) 在X中存在唯一元素?，使得?x?X，有x???x，则称

第二章 线性赋范空间与内积空间

Normed Linear Spaces and Inner Product Spaces

前面介绍了度量空间及其性质，在那里通过定义距离的概念，引入了点列的极限，这种点列极限是微积分中数列极限在抽象空间的推广．然而只有距离结构，没有代数结构的空间在应用上受到许多限制．本章通过在线性空间中定义范数来赋予线性空间上的一种特殊距离，从而将收敛的概念引入到线性空间，由此导出线性赋范空间的概念，如果这种空间的两个向量再赋予类似欧氏空间的“内积”或“点积”的概念后，便是内积空间．因此本章的主要内容就是线性赋范空间与内积空间．

2.1 线性赋范空间的定义与极限

在学习高等代数时，我们已了解到线性空间的概念，线性赋范空间，简单地说，就是给线性空间赋予范数．

定义2.1.1 线性空间

设X为一非空集合，R表示实数域(或为复数域C)．在X中定义了元素的加法运算以及实数(或复数)与X中元素的乘法运算，且满足下列条件：

1. 关于加法“+”：?xy,X?有?x,y,z?X，

(1) x?y?y?x (交换律)；

(2) (x?y)?z?x?(y?z) (结合律)；

(3) 在X中存在唯一元素?，使得?x?X，有x???x，则称

第二章 线性赋范空间与内积空间

Normed Linear Spaces and Inner Product Spaces

前面介绍了度量空间及其性质，在那里通过定义距离的概念，引入了点列的极限，这种点列极限是微积分中数列极限在抽象空间的推广．然而只有距离结构，没有代数结构的空间在应用上受到许多限制．本章通过在线性空间中定义范数来赋予线性空间上的一种特殊距离，从而将收敛的概念引入到线性空间，由此导出线性赋范空间的概念，如果这种空间的两个向量再赋予类似欧氏空间的“内积”或“点积”的概念后，便是内积空间．因此本章的主要内容就是线性赋范空间与内积空间．

2.1 线性赋范空间的定义与极限

在学习高等代数时，我们已了解到线性空间的概念，线性赋范空间，简单地说，就是给线性空间赋予范数．

定义2.1.1 线性空间

设X为一非空集合，R表示实数域(或为复数域C)．在X中定义了元素的加法运算以及实数(或复数)与X中元素的乘法运算，且满足下列条件：

1. 关于加法“+”：?xy,X?有?x,y,z?X，

(1) x?y?y?x (交换律)；

(2) (x?y)?z?x?(y?z) (结合律)；

(3) 在X中存在唯一元素?，使得?x?X，有x???x，则称

第二章 线性赋范空间与内积空间

Normed Linear Spaces and Inner Product Spaces

前面介绍了度量空间及其性质，在那里通过定义距离的概念，引入了点列的极限，这种点列极限是微积分中数列极限在抽象空间的推广．然而只有距离结构，没有代数结构的空间在应用上受到许多限制．本章通过在线性空间中定义范数来赋予线性空间上的一种特殊距离，从而将收敛的概念引入到线性空间，由此导出线性赋范空间的概念，如果这种空间的两个向量再赋予类似欧氏空间的“内积”或“点积”的概念后，便是内积空间．因此本章的主要内容就是线性赋范空间与内积空间．

2.1 线性赋范空间的定义与极限

在学习高等代数时，我们已了解到线性空间的概念，线性赋范空间，简单地说，就是给线性空间赋予范数．

定义2.1.1 线性空间

设X为一非空集合，R表示实数域(或为复数域C)．在X中定义了元素的加法运算以及实数(或复数)与X中元素的乘法运算，且满足下列条件：

1. 关于加法“+”：?xy,X?有?x,y,z?X，

(1) x?y?y?x (交换律)；

(2) (x?y)?z?x?(y?z) (结合律)；

(3) 在X中存在唯一元素?，使得?x?X，有x???x，则称

目 录

1引言 ............................................................................................................................................ 1 2线性赋范空间....................................................................................................................... 1

2.1预备知识............................................................................................................................. 2 2.2线性赋范空间的一些性质 .................................................................................................

第二章 度量空间与赋范线性空间

第2章 度量空间与赋范线性空间

度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上，它是n维欧几里得空间Rn的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。 2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念

在微积分中，我们研究了定义在实数空间R上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R上现有的距离函数d，即对

x,y?R,d(x,y)?x?y。度量是上述距离的一般化：用抽象集合X代替实数集，

并在X上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。

【定义2.1】 设X是一个非空集合，?(?,?)：X?X??0,??是一个定义在直积X?X上的二元函数，如果满足如下性质：

（1） 非负性 x,y?X,?(x,y)?0,?(x,y?0?x?y； （2） 对称性 x,y?X,?(x,y)??(y,x)

（3） 三角不等式 x,y,z?X,?(x,y)??(x,z)??(z,y)；

则称?(x,y)是X

第二章 度量空间与赋范线性空间

第2章 度量空间与赋范线性空间

度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上，它是n维欧几里得空间Rn的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。 2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念

在微积分中，我们研究了定义在实数空间R上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R上现有的距离函数d，即对

x,y?R,d(x,y)?x?y。度量是上述距离的一般化：用抽象集合X代替实数集，并在X上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。

【定义2.1】 设X是一个非空集合，?(?,?)：X?X??0,??是一个定义在直积X?X上的二元函数，如果满足如下性质：

（1） 非负性 x,y?X,?(x,y)?0,?(x,y?0?x?y； （2） 对称性 x,y?X,?(x,y)??(y,x)

（3） 三角不等式 x,y,z?X,?(x,y)??(x,z)??(z,y)；

则称?(x,y)是X

泛函分析题1_4线性赋范空间20070502

泛函分析题1_4线性赋范空间p39

1.4.1 在2维空间?2中，对每一点z = (x, y)，令

|| z ||1 = | x | + | y |；|| z ||2 = ( x 2 + y 2 )1/2；|| z ||3 = max(| x |, | y |)；|| z ||4 = ( x 4 + y 4 )1/4； (1) 求证|| · ||i ( i = 1, 2, 3, 4 )都是?2的范数．

(2) 画出(?2, || · ||i ) ( i = 1, 2, 3, 4 )各空间中单位球面图形．

(3) 在?2中取定三点O = (0, 0)，A = (1, 0)，B = (0, 1)．试在上述四种不同的范数下求出?OAB三边的长度．

证明：(1) 正定性和齐次性都是明显的，我们只证明三角不等式． 设z = (x, y), w = (u, v)??2，s = z + w = (x + u, y + v )，

|| z ||1 + || w ||1 = (| x | + | y |) + (| u | + | v |) = (| x | + | u |) + (| y | + | v |)

第2章 赋范线性空间

虽然不允许我们看透自然界本质的秘密,

从而认识现象的真实原因,但仍可能 发生这样的情形：一定的虚构假设

足以解释许多现象.

L.Eurler (欧拉) (1707-1783,瑞士数学家)

E.Schmi在dt1908 年讨论由复数列组成的空间{(zi):

1

2

|z

i 1

i

|2 } 时引入记号

||z||来表示( zizi),||z||后来就称为z的范数.赋范空间的公理出现在F.Riesz在 1918

i 1

年关于C[a,b]上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920到1922年间由 （1892—1945）、、S.BanachH.Hahn（1879—1934）E.Hylel

（1884—1943）和 N.Wiener

（1894—1964）给出的,其中以S.Banach的工作最具影响.

2.1赋范空间的基本概念

线性空间是Giuseppe在1888年出版的书Geometrical Calculus中引进Peano的.S.Banach在1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为

Banach空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了

第2章 赋范线性空间

虽然不允许我们看透自然界本质的秘密,

从而认识现象的真实原因,但仍可能 发生这样的情形：一定的虚构假设

足以解释许多现象.

L.Eurler (欧拉) (1707-1783,瑞士数学家)

E.Schmi在dt1908 年讨论由复数列组成的空间{(zi):?12?|zi?1?i|2??} 时引入记号

||z||来表示(?zizi),||z||后来就称为z的范数.赋范空间的公理出现在F.Riesz在 1918

i?1年关于C[a,b]上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920到1922年间由 （1892—1945）、、S.BanachH.Hahn（1879—1934）E.Hylel（1884—1943）和 N.Wiener（1894—1964）给出的,其中以S.Banach的工作最具影响.

2.1赋范空间的基本概念

线性空间是Giuseppe在18