矩阵论期末试题

南昌航空大学硕士研究生 2009/2010 学年第 一 学期考试卷

学生姓名： 所在学院： 学号： 课程名称： 矩阵论 班级： 成绩： 任课教师姓名： 艾小伟 任课教师所在学院： 数信学院

?0?10???0，求A的值域与核。一．设矩阵A=11（10分） ???1?2?2???

二．设?1=(1,1,1,0), ?2=(-1,-2,-1,-1), ?1=(2,1,3,-1), ?2=(1,-1,0,-2), V1=span(?1,?2),

T

T

T

T

V2=span(?1,?2)，分别求V1∩V2 ，V1+V2 的一组基和维数。（12分）

1

三．在R2?2?1?1??10??01??00?中，定义线性变换Г(X) =??X，求Г在基E11=?00?, E12=?00?, E21=?10?,

02????????E22=??00?下的矩阵。（10分） ??01?

?0四．求矩阵A=??1??1

?40??

南昌航空大学硕士研究生 2009/2010 学年第 一 学期考试卷

学生姓名： 所在学院： 学号： 课程名称： 矩阵论 班级： 成绩： 任课教师姓名： 艾小伟 任课教师所在学院： 数信学院

?0?10???0，求A的值域与核。一．设矩阵A=11（10分） ???1?2?2???

二．设?1=(1,1,1,0), ?2=(-1,-2,-1,-1), ?1=(2,1,3,-1), ?2=(1,-1,0,-2), V1=span(?1,?2),

T

T

T

T

V2=span(?1,?2)，分别求V1∩V2 ，V1+V2 的一组基和维数。（12分）

1

三．在R2?2?1?1??10??01??00?中，定义线性变换Г(X) =??X，求Г在基E11=?00?, E12=?00?, E21=?10?,

02????????E22=??00?下的矩阵。（10分） ??01?

?0四．求矩阵A=??1??1

?40??

矩阵论

第1章 线性空间和线性变换

1.1线性空间

一个数域F上的非空集合V，V的元素为a、b、c……，定义两种运算，一种是V内元素的加法，一种是V内元素与F域上元素的数乘，这两种运算满足加法交换律、结合律、分配律。线性空间中0元素唯一（具体形式未必是0），某元素的负元素唯一。 实线性空间、复线性空间

最大线性无关组，基表示线性空间，维数，向量在某基下的坐标， a={α}X，a={β}Y，{β}={α}C，∴X=CY

N维线性空间一组向量线性相关/无关，等价于在该空间某基下坐标线性相关/无关 子空间：V中子集W，W的元素关于V中的线性运算仍然构成一个线性空间

零空间N(A)={X|AX=0}，列空间R(A)=L{A1,A2,…,AN}都是Fn的子空间 交空间、和空间，并运算的结果却未必是子空间

直和子空间：线性无关组分成两部分组成两个子空间，W1∩W2={0}，直和子空间，0的表达唯一，即0=w1+w2，w1∈W1，w2∈W2。 1.2内积空间

定义了内积的线性空间，内积的结果是数域上的元素。 内积运算的3个性质：对称性（共轭转置）、线性性、正定性。 实内积空间，欧式空间，向量长度欧几里得范数

复内积空间，酉空间

两个向量在同一个基下不同的

关于酿酒过程中的调配问题分析

（山东大学信息科学与技术学院 学号201111768）

摘 要：本文针对酿酒中的调配问题，建立数学模型，通过利用矩阵论的知识来论证调配比例可行性。

关键词：酿酒调配问题 矩阵论 可行性

1.问题的提出

有三种酒甲、乙、丙，它们各含三种主要成分A,B,C的含量如下表：

调酒师现要用这三种酒配置另一种酒，使其对A,B,C含量分别是：66.5%，18.5%，15%，问能否配出合乎要求的酒？比例分配如何？当甲酒缺货时，能否用含三种主要成分为(0.80,0.12,0.08)的丁酒替代？比例分配又如何？ 2.模型的建立与问题求解

（1）设甲乙丙三种酒的比例分配为 x1x2x3 ，根据题意可得矩阵方程

x1

x2

0.70.20.1

x3 0.60.20.2 0.6650.1850.15 0.650.150.2

其正数解即为所求.

0.70.20.1

可以得出 0.60.20.2

0.650.150.2

1

2 54

215 16 854

所以 x1x2

0.70.20.1

x3 0.6650.1850.15 0.60.20.2

0.650.150.

关于酿酒过程中的调配问题分析

（山东大学信息科学与技术学院 学号201111768）

摘 要：本文针对酿酒中的调配问题，建立数学模型，通过利用矩阵论的知识来论证调配比例可行性。

关键词：酿酒调配问题 矩阵论 可行性

1.问题的提出

有三种酒甲、乙、丙，它们各含三种主要成分A,B,C的含量如下表：

调酒师现要用这三种酒配置另一种酒，使其对A,B,C含量分别是：66.5%，18.5%，15%，问能否配出合乎要求的酒？比例分配如何？当甲酒缺货时，能否用含三种主要成分为(0.80,0.12,0.08)的丁酒替代？比例分配又如何？ 2.模型的建立与问题求解

（1）设甲乙丙三种酒的比例分配为 x1x2x3 ，根据题意可得矩阵方程

x1

x2

0.70.20.1

x3 0.60.20.2 0.6650.1850.15 0.650.150.2

其正数解即为所求.

0.70.20.1

可以得出 0.60.20.2

0.650.150.2

1

2 54

215 16 854

所以 x1x2

0.70.20.1

x3 0.6650.1850.15 0.60.20.2

0.650.150.

号学 ) 计 分 零 按 者 违名，姓题 答 准 不 内 线 封 密 、 级 班 级、班号业学专、名 姓系写 要 不 外 线 封 密( 院学

考试方式：闭卷 ……太原理工大学 矩阵分析 试卷（A） ……

…适用专业：2012级硕士研究生 考试日期：2013.1.9 时间：120 分钟 共 8页 ……题 号 一 二 三 四 总 分 ……得 分 …… ……

线…得 分 一、本题共10小题，每小题3分，满分30分.

………1-5题为填空题：

…………1．已知X(t)为n阶未知函数矩阵，A为已知的n阶数字矩阵，并且

d…dtX(t)?AX(t)，则……X(t)? .

……

…封…?…?1?…?2??…2．如果A???…?3?，则…??A?

矩阵论试题（06，12）

一.

?01??11?(18分)填空：设A???,B???.

?90??11?1. A-B的Jordan标准形为J=

2. 是否可将A看作线性空间V2中某两个基之间的过渡矩阵（ ）。 3. 是否可将B看作欧式空间V2中某个基的度量矩阵。（ ） 4.

vec(B)p，其中1?p???。 ?（ ）

5. 若常数k使得kA为收敛矩阵，则k 应满足的条件是（ ）。 6. A?B的全体特征值是（ ）。 7.

。 A?B2?（ ）

(1)8. B 的两个不同秩的{1}-逆为B二.(10分)设A?C实数 验证

m?n?????(1)??,B??????。 ?,对于矩阵的2-范数

定义A2和F-范数AF，

m?nA?A2?AF22 （任意A?C）

A是Cm?n中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。

3t??1?1e???1??3t?????02?,b(t)??e?,x(0)??1?。 三.(15分)已知A???0???111??0???????121. 求e；

Atd2. 用矩阵函数方法求微分方程x(t)?Ax(t)?b(t)满足初始条

dt件x(0) 的解。

?1??1

矩阵论复习题

第一部分 证明题

1 求Frobenius矩阵 ?c0??0??1??? A????0?cn?2???1?cn?1??的特征多项式f(?)??I?A和最小多项式。

答案： （1）f(?)??n?cn?1?n?1???c1??c0，见修订版ch0例2.5

（2） 最小多项式就是其特征多项式。

2 设f(?)??n?cn?1?n?1???c1??c0，求证f(?)?0的任一根?满足

??min?max(?ci,1),max(ci?1)?

提示：用上题和盖氏圆盘定理

3 设矩阵A?(aij)?Cn?n为Hermite矩阵，满足

aii??aij(i?1,2,?,n)

j?1j?in证明A正定。

提示：由圆盘定理证明A的特征值全大于零。

4 证明矩阵

1

??2?2??3A??3?4???n???n?1124342?n(n?1)21222326?n(n?1)31?2n?1?2??n?1?3?3? ?4n?1?????2n????（1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。 提示：利用圆盘定理。见修订版ch4例题4.6

5 设A是非奇异矩阵，证明：存在多项式g(?)，使得A?g(A)。 提示：用Hamilton-Cayle

概率论与数理统计试题 11级计算机大队二区队 一、选择题：

1、假设事件A与事件B互为对立，则事件AB( )。 (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 答案：A。这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

2、某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待 的时间小于 10分钟的概率是（ ）。

1111 A、 B、 C、 D、

6126072答案：A。以分钟为单位，记上一次报时时刻为0，则下一次报时时刻为60，于 是，这个人打开收音机的时间必在（0，60）内，记“等待时间短于分

A101 钟”为事件A。则有S=（0，60）， A=（50，60） 所以P(A)===。

S606

3、设连续型随机变量（X,Y）的两个分量X和Y相互独立，且服从同一分布，问 P｛X?Y}=（）。

11 A、0 B、 C、

5.2 矩阵对角化

一、相似矩阵与相似变换的概念定义1 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵 P , 使 P AP B , 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似.对A进 行运算 P 1 AP称为对A进行相似变换 , 可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵. 1

A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B

定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同.证明A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B 1 1 B E P AP P E P

P 1 A E P

P 1 A E P A E .

A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B

定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同.

B E A E .推论 若 n 阶方阵A与对角阵 1 2 n

相似, 则 1 , 2 , , n即是A的n个特征值.

三、利用相似变换将方阵对角化对 n 阶方阵 A , 若可找到可逆矩阵 P