高数A上

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第一章 函数、极限、连续（小结）

一、函数

1. 邻域：U(a),U(a) 以a为中心的任何开区间； 2. 定义域：y?tanx{x?k??};y?cotx{x?k?};

??2y?arctanx{x?R,y?(?,)}；y?arcsinx{x?[?1,1],y?[?,]}

2222 y?arccosx{x?[?1,1],y?[0,?]}.

二、极限

1. 极限定义：（了解）

????limxn?a? 若对于???0，?N?Z?，st. 当n?N时，有|xn?a|??；

n??Note：|xn?a|???n??

x?x0limf(x)?A????0，???0，st. 当0?x?x0??时，有f(x)?A??；

Note：f(x)?A???x?x0??

limf(x)?A????0，?X?0，st. 当x?X时，有f(x)?A??；

x??Note：f(x)?A???x?? 2.函数极限的计算（掌握）

??f(x)?A?f(x0f(x)?A；（1） 定理： lim（分段函数） )?f(x0)?lim??x?x0x?x0x2?13?x?1?x0（2）型：①约公因子，有理化； 比如：lim3，lim；

x?1x?1x

高 数 练 习 册（上）

第一章 函数与极限

§1.1 映射与函数

一、按要求求下列各题

1．设f(x)的定义域为[0,1]，求f(x2)的定义域．

2．求函数y?arcsinx的定义域．

3．求函数y?arctanx的值域．

二、分析下列函数是由那些简单函数复合而成：

1．y?earctan(x?1)．

2．y?lnlnlnx．

3．

y?sinex?1

4．y?2lncosx?1

三、求下列函数的反函数1．y?1?ln(x?2)

2．y?2x2x?1

1

§1.2 数列的极限

一、求下列数列的极限

1．lim(n??n?n?1)?(n?2?n)

2．limn2?2n??n2?n?1

§1.3 函数的极限

???x?1,0?x?1一、设f(x)???x?1,1?x?2，作出f(x)的图形，并根据图形求

?2,x?2??2x?1,2?x?3极限limx?1f(x)，limx?2f(x)。

2

二、设函数f(x)?1?e?1x1，试求：1?e?x1． xlim?0?f(x)

2． xlim?0?f(x)

3．limx?0f

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第一章 函数与极限

§1.1 映射与函数

一、按要求求下列各题

1．设f(x)的定义域为[0,1]，求f(x2)的定义域．

2．求函数y?arcsinx的定义域．

3．求函数y?arctanx的值域．

二、分析下列函数是由那些简单函数复合而成：

1．y?earctan(x?1)．

2．y?lnlnlnx．

3．

y?sinex?1

4．y?2lncosx?1

三、求下列函数的反函数1．y?1?ln(x?2)

2．y?2x2x?1

1

§1.2 数列的极限

一、求下列数列的极限

1．lim(n??n?n?1)?(n?2?n)

2．limn2?2n??n2?n?1

§1.3 函数的极限

???x?1,0?x?1一、设f(x)???x?1,1?x?2，作出f(x)的图形，并根据图形求

?2,x?2??2x?1,2?x?3极限limx?1f(x)，limx?2f(x)。

2

二、设函数f(x)?1?e?1x1，试求：1?e?x1． xlim?0?f(x)

2． xlim?0?f(x)

3．limx?0f

第二讲: 单元一: 定义求导

导数及应用

f(x)cosx 1

[ [f(x)cosx]'x 0 2]

x 0x

f(x)(cosx 1) f(x) f(0)

[lim 1 0 f'(0) 2]

x 0x

1. 设f(0) 1,f'(0) 2, 求: lim

2. 设f x 可导, f 0 1,f' 0 0, 求: lim

x 0

f(sinx) 1

lnf(x)

[lim

x 0

f(sinx) f(0)x 0sinx

1]

sinx 0lnf(x) lnf(0)x

3. 设lim

x a

f(x) bsinf(x) sinb. A, 求: lim

x ax ax a

sinf(x) sinbf(x) b

Acosb]

x af(x) bx a

[lim

4. 设f(x 1) af(x),f'(0) b(a,b 0), 求: f'(1). [f'(1) lim

x 0

f(x 1) f(1)a[f(x) f(0)]

lim ab] x 0xx

5. 设f(1 x) 3f(1 x) 8x(1 sinx), 并且f(x)可导, 求f'(1).

[f(1) 0,f'(1) 3f'(1) lim

x 0

8x(1 sinx)f(1

2011-2012学年秋季学期期末

一、 填空题（每题4分） 1.

x?2a?若lim????8，则_______.?3ln2 x???x?a?3sinx?x2cosx1x?____.3 2.limx?0(1?cosx)ln(1?x)23.设函数y?y(x)由方程xy?2lnx?y4所确定，则曲线y?y(x)在(1,1)处的切线方程为________.x?y

2?(n?1)?2??sin)?______.

nnn?15.y??y?e?x的通解是____.y?Cex?e?x

2(sin4.limn??1n?sin?二、选择题（每题4分）

1.设函数f(x)在(a,b)内连续且可导，并有f(a)?f(b)，则（D） A．一定存在??(a,b)，使f?(?)?0. B.一定不存在??(a,b)，使f?(?)?0. C.存在唯一??(a,b)，使f?(?)?0. D.A、B、C均不对. 2.

设

函

数

y?f(x)二阶可导，且

f?(x)?0,f??(x)?0,?y?f(x??x)?f(x),dy?f?(x)?x,，当?x?0,时，有（A）

A.?y?dy?0,B.?y?dy?0,C.dy??y?0,D.dy??y?0. 3.??2(|x|?x)e|x|dx

第一章 函数与极限

一、单项选择题

1、下列极限中正确的是（ ）．

1sinx1sin2x?1（B）limxsin?1（C）lim?2（D）lim2x?? （A）limx?0x??x?0x?0xxx2、当x?0时，与x等价的无穷小量是（ ）． (A)1?ex? (B)ln1?x (C)1?x?1 (D)1?cosx

1?x3cosx3、极限lim(1?cosx)x?03?（ ）． (A)e (B)8 (C)1 (D)?

x3?x4、设函数f(x)?，讨论函数的间断点，则结论为（ ）．

sin?x(A)有无穷多个第一类间断点 (B)只有一个可去间断点 (C)有两个跳跃间断点 (D)有三个可去间断点

ex?15、设f(x)?，则x=0是f(x)的（ ）．

x(A)可去间断点(B)无穷间断点 (C)跳跃间断点 (D)振荡间断点 6、函数f(x)在x0连续是f(x)具有极限（x→x0）的（ ）．

(A)必要条件(B)充分必要条件(C)既不是充分条件也不是必要条件(D)充分条件 7、极限limx?01?cos2x?（ ）． (A)2 (B)1 (C)?2

第一章 函数与极限

一、单项选择题

1、下列极限中正确的是（ ）．

1sinx1sin2x?1（B）limxsin?1（C）lim?2（D）lim2x?? （A）limx?0x??x?0x?0xxx2、当x?0时，与x等价的无穷小量是（ ）． (A)1?ex? (B)ln1?x (C)1?x?1 (D)1?cosx

1?x3cosx3、极限lim(1?cosx)x?03?（ ）． (A)e (B)8 (C)1 (D)?

x3?x4、设函数f(x)?，讨论函数的间断点，则结论为（ ）．

sin?x(A)有无穷多个第一类间断点 (B)只有一个可去间断点 (C)有两个跳跃间断点 (D)有三个可去间断点

ex?15、设f(x)?，则x=0是f(x)的（ ）．

x(A)可去间断点(B)无穷间断点 (C)跳跃间断点 (D)振荡间断点 6、函数f(x)在x0连续是f(x)具有极限（x→x0）的（ ）．

(A)必要条件(B)充分必要条件(C)既不是充分条件也不是必要条件(D)充分条件 7、极限limx?01?cos2x?（ ）． (A)2 (B)1 (C)?2

上大高数

《高等数学教程》第二章 习题答案

习题2-1 (A)

1.

36

. 4. (1) f (x0); (2) f (x0); (3) f (0); (4) 2f (x0).

1

5

13

5. (1)5x4

;(2)23x 3;(3) 2.3x1.3;(4) 2x 3

; (5) 72x2; (6) 3 1010

x.

6. (1) 19.6 米； 19.6 米/秒 .

7. 切线方程 x 2y

6 0,

法线方程 2x y

2

3

0. 8.（2，4）.

9. (1)在x 0连续且可导； (2)在x 0连续且可导. 10. f (0) 0; f (0) -1;f(x)在点x 0处不可导.

习题2-1 (B)

4.

1

e

. 7. f (0) 0.

习题2-2 (A)

3

1

1.(1) 4x3

6x 41 x

3; (2) 2x2 12x 2; (3) 3cosx 5sinx;

(4) 2xsinx x2cosx secxtanx; (5) lnx 1; (6)

12x

tanx xsec2x csc2x; (7) 2xlog2x

x

ln2

; (8) 2x a b; (9)

cosx

本页得分 专业 班级 学号 学生签名： 承诺：我将严格遵守考场纪律，并知道考试违纪、作弊的严重性，承担由此引起的一切后果。 二、试解下列各题(每小题6分，共计24分) 3x2?541. 求极限lim?sin x??5x?3x 《高等数学Ⅰ》课程课程类别：必 闭卷 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 分数 评卷 总 分 12. 设 y?cos(sin)，求dy x一、填空题(每小题2分，共20分) 21. limxcos?__________ x?0x 2. 设f(x)?cscx?cotx　(x?0)，要使f(x)在x?0处连续，则f(0)?

2013年秋季学期高等数学1课程作业

一．选择题 本大题共12个小题. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前

的字母答在题中相应位置上．

1．f?x??cos(2x??2)是（ D ）函数．［第一章，1］

B．偶函数

A．奇函数

C．单调函数 D．周期函数

2. 下列极限中，极限值不为零的是 （ D ）. ［第一章，2］

A． limarctan2xsin2x B. lim

x??x??xxx21C． limxsin2 D. lim

42x??x??xx?x3．设函数y=x2．［第二章，1］ +e-x，则y???（ C ）

?x?xA．2x+e-x B．2x-e-x C．2?e D．2?e 4．设函数y?x?1，则dy=（ C ）．［第二章，1］

dxx?011 D． 24A．4 B．2 C．

5. 函数f(x)在x=x0连续，是f(x)在x=x0可导的 （ A ） ［第二章，1］ A