双曲线的第二定义及性质

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双曲线的第二定义

标签:文库时间:2025-02-16
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双曲线的第二定义:

到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e?c?c?a?0?的点的轨a迹是双曲线,其中,定点F叫做双曲线的焦点,定直线l叫做双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。 1、离心率:

(1)定义:双曲线的焦距与实轴长的比e?(2)范围:e?1;

(3)双曲线形状与e的关系:

2cc?,叫做双曲线的离心率; 2aaybc2?a2c2k????1?e2?1; 2aaaF1A1OA2F2x因此e越大,即渐近线的斜率的绝对值就大,这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔; (1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化; (2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约; 2、准线方程:

x2y2a2对于2?2?1来说,相对于左焦点F1(?c,0)对应着左准线l1:x??,

caba2相对于右焦点F2(c,0)对应着右准线l2:x?;

ca2b2?0,焦点到准线的距离p?位置关系:x?a?(也叫焦参数); ccy2x2a2对于2?2?1来说,相对于下焦点F1(0,?c)对应着下准线l1:y??;相

caba2对于上焦点F2(0,c)对应着上准线l2:y?。

cyyF2A2F1A1OA2F2xOx

双曲线的第二定义

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双曲线的第二定义:

到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e?c?c?a?0?的点的轨a迹是双曲线,其中,定点F叫做双曲线的焦点,定直线l叫做双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。 1、离心率:

(1)定义:双曲线的焦距与实轴长的比e?(2)范围:e?1;

(3)双曲线形状与e的关系:

2cc?,叫做双曲线的离心率; 2aaybc2?a2c2k????1?e2?1; 2aaaF1A1OA2F2x因此e越大,即渐近线的斜率的绝对值就大,这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔; (1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化; (2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约; 2、准线方程:

x2y2a2对于2?2?1来说,相对于左焦点F1(?c,0)对应着左准线l1:x??,

caba2相对于右焦点F2(c,0)对应着右准线l2:x?;

ca2b2?0,焦点到准线的距离p?位置关系:x?a?(也叫焦参数); ccy2x2a2对于2?2?1来说,相对于下焦点F1(0,?c)对应着下准线l1:y??;相

caba2对于上焦点F2(0,c)对应着上准线l2:y?。

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双曲线的几何性质教案

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双曲线的几何性质 适用学科 适用区域 知识点 教学目标 高中数学 人教版 双曲线的几何性质及其应用 知识与技能:掌握双曲线的范围,对称性,顶点,离心率,渐近线等几何性质; 过程与方法:通过联想椭圆几何性质的推导方法,用类比方法双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质,从而培养学生的观察力以及联想类比能力; 情感态度与价值观:让学生充分体验探索、发现数学知识的过程,深刻认识“数”与“形”的关系,培养学生勇于攀登科学高峰的精神。 适用年级 课时时长(分钟) 高中二年级 60 教学重点 教学难点 双曲线的渐近线及其得出过程 渐近线几何意义的证明 1

教学过程

一、课堂导入

前面我们学习了椭圆及其标准方程,并由标准方程推导出椭圆的几何性质,椭圆的几何性质有哪些? 今天我们以双曲线的标准方程为工具,研究双曲线的几何性质。

2

二、复习预习

双曲线的定义:平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数(小于F1F2)的动点的轨迹叫双曲线。 当2a<2c时,轨迹是双曲线 当2a=2c时,轨迹是两条射线 当2a>2c时,轨迹不存在

如果双曲线的焦点在x轴上,即?Fx2y2F1?c,0?,2?c,0?,则双曲线的标准方程为a2?b2?1;

如果双曲线的焦点在y轴上,即F?0,c?,Fy2x212?0,?c?,则双曲线的

双曲线的简单几何性质

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教学内容:双曲线的简单几何性质 【基础知识精讲】

1.双曲线 - =1的简单几何性质

(1)范围:|x|≥a,y∈R.

(2)对称性:双曲线的对称性与椭圆完全相同,关于x轴、y轴及原点中心对称. (3)顶点:两个顶点A1(-a,0),A2(a,0),两顶点间的线段为实轴,长为2a,虚轴长为2b,且c2=a2 b2.与椭圆不同.

(4)渐近线:双曲线特有的性质,方程y=± x,或令双曲线标准方程 -

=1中的1为零即得渐近线方程.

(5)离心率e= >1,随着e的增大,双曲线张口逐渐变得开阔.

(6)等轴双曲线(等边双曲线):x2-y2=a2(a≠0),它的渐近线方程为y=±x,离心率e=

.

(7)共轭双曲线:方程 - =1与 - =-1表示的双曲线共轭,有共

同的渐近线和相等的焦距,但需注重方程的表达形式.

注重:

1.与双曲线 且λ为待定常数)

- =1共渐近线的双曲线系方程可表示为 - =λ(λ≠0

2.与椭圆 =1(a>b>0)共焦点的曲线系方程可表示为 -

=1(λ<a2,其中b2-λ>0时为椭圆, b2<λ<a2时为双曲线)

2.双曲线的第二定义

平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x= 的距离之比等于常数e= (c

>a>0)

圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结

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抛物线标准方程与几何性质

一、抛物线定义的理解

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F为抛物线的焦点,定直线l为抛物线的准线。

注:① 定义可归结为“一动三定”:一个动点设为M;一定点F(即焦点);一定直线l(即准线);一定值1(即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比1)

② 定义中的隐含条件:焦点F不在准线l上。若F在l上,抛物线退化为过F且垂直于l的一条直线

③ 圆锥曲线的统一定义:平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹,当0?e?1时,表示椭圆;当e?1时,表示双曲线;当e?1时,表示抛物线。

④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系,在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离(称焦半径)与动点到准线距离互化,与抛物线的定义联系起来,通过这种转化使问题简单化。

二、抛物线标准方程

1.抛物线标准方程建系特点:以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系,这样使标准方程不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式更为简单,便于应用。

2.四种标准方程的联系与区别:由于选取坐标系时,该坐标轴有四种不同的方向,因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛

双曲线的简单几何性质19

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2.3.2双曲线的简单几何性质

【学习目标】

会分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质,并熟记之;掌握双曲线的渐近线的概念

【预习案】

1、双曲线的简单几何性质

2、等轴双曲线:___________

【小组讨论】

例1、(1)求双曲线9y2-16x2=144的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

【课堂检测】

1.已知下列双曲线方程,求它的焦点坐标,离心率和渐近线方程(1)4x2-9y2=36 (2)16x2-9y2= - 144

【课后作业】P53练习1

双曲线的简单几何性质2

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学习目标: 1.掌握直线与双曲线的位置关系; 2.掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等 问题; 3.了解与双曲线有关的应用问题.

复习回顾 1:直线与椭圆的位置关系有那些?如何判定? 2:点与椭圆的位置关系有哪些?如何判断?x2 y2 x2 y2 3 椭圆 + 2=1 和双曲线 2- =1 有共同的焦点, 则实数 34 n n 16 n 的值是( B )A.± B.± C.25 D.9 5 3

4.双曲线 3x2-y2=3 的渐近线方程是( C ) 1 3 A.y=± 3x B.y=± x C.y=± 3x D.y=± x 3 3 2 2 x y 5.如果双曲线 2- 2=1 的两条渐近线互相垂直,则双曲 a b

线的离心率为( A )A. 2

B. 2

C. 3

D. 2 2

探究:1.如何判断点与双曲线的位置关系? 2.判断下列直线和双曲线 的位置关系 (1)直线L1:x-y+1=0; (2)直线L2:2x+y-1=0; (3)直线L3:2x-y+ =0 通过这道题目的解答你认为解决直线和双曲线的 位置关系与解决直线和椭圆的位置关系有那些 相同点?有那些不同点?

例1: 已知双曲线x2-y2=4

双曲线的几何性质教学设计

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双曲线的几何性质教学设计

【复习引入】

椭圆我们先学习了定义和标准方程,并利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质。 它有哪些几何性质?(范围,对称性,顶点,离心率)

学习了双曲线的定义和标准方程之后,这节课,我们就要利用双曲线的标准方程来研究双曲线有怎样的几何性质。 双曲线的标准方程是什么?

标准方程

x2y2?2?12ab焦点在x轴:

(a?0,b?0)

y2x2?2?1(a?0,b?0)2b焦点在y轴:a

给出一首歌曲《悲伤的双曲线》。 (大概一分钟左右),引起学生兴趣,渴望知道双曲线的性质,这样顺利进入探究新知环节中。

下面我们类比椭圆的几何性质来研究双曲线的几何性质。 (目的是让学生产生联想椭圆时的情景,用类比方法推导双曲线范围,……联想和类比也是数学中非常重要的思维方法.) 【新课】

一.范围,对称性和顶点 1.范围、对称性

x2y2?2?1222x?ab 由标准方程a可得x?a,当时,y才有实数值;对于y的任何值,

x都有实数值 这说明从横的方向来看,直线x=-a,x=a之间没有图象,从纵的方向来看,随

着x的增大,y的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那样是

2.3.2双曲线的几何性质(2)

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双曲线

双曲的几何线质性2(

双曲线

)曲线双几何的质性方程 x 22y 2 21a b y 2 x 2 2 21a b 图形

范围 对性 称顶 点心率 渐离线近

a,x或 x x轴a y,轴 原点, A 1 a 0 , ,2A a(, 0) ec ( e ) a1b y x a

ya 或y , a 轴,xy , 原轴点 1 A 0, a , 2 (A0 ,a )e c ( e 1 )aa y xb练习1

双曲线

:下求列曲线双的渐线近方 x程2 2y 2 x2y 1) ( 1; ( ) 2 ;1 9 49 4 2 2 2 x2 x yy( )3 4; 4( ) .49 49 4 题 : 问从上以问题,你中可以得出么结什论

双曲线

?一.曲线的渐近线 双 yxx (y) 21 2 ( 0 的)近渐线方程:为 2 2;0a b a xb y22( 2 )双曲与 2 线 2 共1近渐的双曲线系线 a b2 2x y方程为 : 2 2 ( 0 )a 当b 0 , 表时焦示在x轴

双曲线的简单几何性质测试卷

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典型例题一

x2y2??1共渐近线且过A23,例1 求与双曲线?3点的双曲线方程及离心率. 169??3x2y2??1的渐近线方程为:y??x 解法一:双曲线

4169x2y2(1)设所求双曲线方程为2?2?1

ab∵

3b3?,∴b?a ①

4a4∵A23,?3在双曲线上 ∴

??129?2?1 ② 2ab由①-②,得方程组无解

y2x2(2)设双曲线方程为2?2?1

ab4b3?,∴b?a ③

3a4912∵A23,?3在双曲线上,∴2?2?1 ④

ab922由③④得a?,b?4

4∵

??y2x25??1且离心率e? ∴所求双曲线方程为:9344x2y2x2y2??1共渐近线的双曲线方程为:??????0? 解法二:设与双曲线

169169∵点A23,?3在双曲线上,∴????1291??? 1694y2x2x2y21?1. ???,即?∴所求双曲线方程为:

9416944说明:(1)很显然,解法二优于解法一.

x2y2x2y2??1共渐近线的双曲线方程??????0?. (2)不难证明