多元函数的微分

第三节 多元复合函数微分法

第三节 复合函数的微分法一. 复合函数的微分法 dy dy du = 一元复合函数的微分法则--链导法:(1).z = f [ ( x),ψ ( x)]dx du dx

推广

定理1 设 u = (x) 和 v = ψ (x) 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 z = f [ ( x),ψ ( x)] 在点x可导,且 全导数dz f du f dv = + dx u dx v dx

u z v x

(证明略) 注:1.上述定理可推广到所有的多元复合函数.

2. 因为多元复合函数类型复杂,所以不要死记公式,要学会用 复合关系图.

例如: z = f (u , v, w), u = ( x), v = ψ ( x), w = h( x)dz f du f dv f dw = + + dx u dx v dx w dx

z

u v w

x

u z v

x y

(2).z = f [ ( x, y ),ψ ( x, y )]

定理2 设 u = ( x, y ) 和 v = ψ ( x, y ) 都在点(x,y)可偏导,而z=f(u,v) 在对应点(u,

第十章 多元函数微分学

一、本章学习要求与内容提要

（一）学习要求

1.理解多元函数的概念,知道多元函数的极限的概念,理解多元函数偏导数的概念.

2.了解全微分的概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件. 3.会求多元初等函数的一阶偏导数和二元函数的二阶偏导数. 4.掌握复合函数求导法则,会求复合函数和隐函数的一阶偏导数. 5.会求曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程. 6.了解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值. 7.了解多元函数条件极值的概念,会用拉格朗日乘数法求条件极值. 8.会解一些简单的多元函数的最大值与最小值应用题.

重点 二元函数的概念，偏导数的概念与计算，全微分的概念，多元复合函数的求导公式与计算，隐函数的求导方法，曲线切线的方向向量,曲面的切平面和法向量,曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程，多元函数极值的必要条件和充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法.

难点 二元函数的极限与连续、偏导数存在与全微分之间关系，多元复合函数的求导公式与计算，多元函数极值的充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法.

（二）内容提要 1.多元函数

⑴二元函数 设D是平面上的一个非空点集，如果有一

第十章 多元函数微分学

一、本章学习要求与内容提要

（一）学习要求

1.理解多元函数的概念,知道多元函数的极限的概念,理解多元函数偏导数的概念.

2.了解全微分的概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件. 3.会求多元初等函数的一阶偏导数和二元函数的二阶偏导数. 4.掌握复合函数求导法则,会求复合函数和隐函数的一阶偏导数. 5.会求曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程. 6.了解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值. 7.了解多元函数条件极值的概念,会用拉格朗日乘数法求条件极值. 8.会解一些简单的多元函数的最大值与最小值应用题.

重点 二元函数的概念，偏导数的概念与计算，全微分的概念，多元复合函数的求导公式与计算，隐函数的求导方法，曲线切线的方向向量,曲面的切平面和法向量,曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程，多元函数极值的必要条件和充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法.

难点 二元函数的极限与连续、偏导数存在与全微分之间关系，多元复合函数的求导公式与计算，多元函数极值的充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法.

（二）内容提要 1.多元函数

⑴二元函数 设D是平面上的一个非空点集，如果有一

`第八章 多元函数微分学

8.1基本知识点要求

1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.

2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。

3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.

6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。

8.了解二元函数的二阶泰勒公式.

9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

8.2基本题型及解题思路分析

题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题

1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念

①二元函数极限的定义：设f(P)?f(xy,)的定义域为D,P0(

第五部分 多元函数微分学 第 1 页 共 27 页

第五部分 多元函数微分学（1）

[选择题]

容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。

?x?3y?2z?1?01．设有直线L:?及平面?:4x?2y?z?2?0，则直线L ( )

2x?y?10z?3?0?(A) 平行于?。 (B) 在上?。(C) 垂直于?。 (D) 与?斜交。 答：C

?xy,(x,y)?(0,0)?2．二元函数f(x,y)??x2?y2在点(0,0)处 ( )

?(x,y)?(0,0)?0,(A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C

?x?u?v?u?( ) 3．设函数u?u(x,y),v?v(x,y)由方程组?确定，则当时，u?v22?xy?u?v?(A)

x?v?uy (B) (C) (D) u?vu?vu?vu?v答：B

4．设f(x,y)是一二元函数，(x0,y0)是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( )

(A) 若f(x,y)在点(x0,y0)连续，则f(x,y)在

`第八章 多元函数微分学

8.1基本知识点要求

1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.

2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。

3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.

6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。

8.了解二元函数的二阶泰勒公式.

9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

8.2基本题型及解题思路分析

题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题

1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念

①二元函数极限的定义：设f(P)?f(xy,)的定义域为D,P0(

多元函数练习题1. 讨论二重极限 时, 下列算法是否正确?

1 解法1 原式 lim 0 x 0 1 1 y xy 0

解法2 令 y k x ,

解法3 令 x r cos , y r sin ,

分析: 解法1

1 lim 1 1 0 x 0 y xy 0x 时, 1 x 1 y

此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 第二步未考虑分母变化的所有情况, 例如, y 此时极限为 1 . 解法2 令 y k x ,

1 1, x

此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 例如 y x x 时2

解法3 令 x r cos , y r sin ,

此法忽略了 的任意性,极限不存在 ! 由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 同时还可看到,

本题极限实际上不存在 . 特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的.

x2 y2 2 2 2. 证明: , x y 0 3 f ( x, y ) ( x 2 y 2 ) 2 0 , x2 y2 0 在点

第八章 多元函数微分法

一、基本内容

（一）元函数的基本概念 1．基本概念

（1）邻域 （2）内点 （3）边界点 （4）开集 （5）区域 2．二元函数的极限与连续 （二）偏导数和全微分

1． 偏导数

fx(x0,y0)?lim?xz?x?lim?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x

?x?0

fy(x0,y0)?lim?yz?y?lim?y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)?y

?y?02． 全微分 3． 全微分在近似计算中的应用 （三）复合函数的微分法

1． 复合函数求导法则 2． 一阶微分形式不变性

（四）隐函数的微分法

1． 一个方程的情形 2，方程组情形

（五）微分法在几何上的应用

1．空间曲线的切线与法平面

2．曲面的切平面与法线 3．微分的几何意义 （六）方向导数和梯度 1．方向导数 2．梯度

（七）多元函数的极值

1．多元函数的极值 2．条件极值

练习题

8.1. 确定下列函数的定义域

22 (1)z?ln(?x?y) (2)u?arcsinx?yz

第八章 多元函数微分学

习题一 多元函数的概念

一、填空题

1.函数z?4x?y2ln(1?x?y)22的定义域为 ；函数z?x?y的定义域为 ；函数z?arcsin为 ；

y的定义域x2.设z?x?y?f(x?y)，且当y?0时，z?x，则函数f(x,y)为 ，函数

2z? ；设f(x,y)?x?3y33，则z?xy?yx?1，f(?1,2)?______； 22x?y设f(x,y)?x2?2y，则f(xy,x?y)?______； 设f(x,y)?yy2xy22f(1,)?f(x?y,)?x?y(,)___?，则 ；设，则fxy22xxx?y1x?y；

3. 设函数f(x,y)?(1?xy)，则limf(x,y)? ；

x?0y?0设f(x,y)?xy，则limf(x,y)? ，limf(x,y)? ； 22x?0x?yx?0?y?0y?0?xy(1?)?

多元函数微分学习题课

1．已知f(x?y,x?y)?x2?y2??(x?y)，且f(x,0)?x，求出f(x,y)的表达式。 2．（1）讨论极限lim1xy?0；解法2：令y?kx，时，下列算法是否正确？解法1：原式?limx?01x?0x?y1y?0y?0?yx原式?limxx?0sin?cos?k?0；解法3：令x?rcos?，y?rsin?，原式?limr?0。

r?0cos??sin?1?k（2）证明极限 limxy 不存在。

x?0x?yy?0x?0x?0?ln(1?xy)?3．证明 f(x,y)??x?y? 在其定义域上处处连续。

(|x|?|y|)?4. 试确定 ? 的范围，使 lim?0。 22(x,y)?(0,0)x?y?|xy|?2sin(x2?y2)x2?y2?025. 设 f(x,y)??x?y ，讨论 ?0x2?y2?0?（1）f(x,y)在(0,0)处是否连续？ （2）f(x,y)在(0,0)处是否可微？ 6. 设F( x , y)具有连续偏导数,

已知方程F(,)?0，求dz。

2xyzz?u?2u7. 设u?f(x,y,z)有二阶连续偏导数, 且z?xsint，t?ln(x?y)，求，。

?x?x?y8