概率论分布的期望和方差

圆梦教育 离散型随机变量的分布列、期望、方差专题

姓名：__________班级：__________学号：__________

1．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。 （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；

（Ⅱ）用?表示红队队员获胜的总盘数，求?的分布列和数学期望E?.

12．已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽

3实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．

(1) 第一小组做了三次实验，求实验成功的平均次数；

(2) 第二小组连续进行实验，求实验首次成功时所需的实验次数的期望； (3)两个小组分别进行2次试验，求至少有2次实验成功的概率．

第1页 共5页

3．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为

圆梦教育 离散型随机变量的分布列、期望、方差专题

姓名：__________班级：__________学号：__________

1．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。 （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；

（Ⅱ）用?表示红队队员获胜的总盘数，求?的分布列和数学期望E?.

12．已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽

3实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．

(1) 第一小组做了三次实验，求实验成功的平均次数；

(2) 第二小组连续进行实验，求实验首次成功时所需的实验次数的期望； (3)两个小组分别进行2次试验，求至少有2次实验成功的概率．

第1页 共5页

3．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为

常见分布的期望和方差

x n

(0,1)

N()

概率与数理统计重点摘要

1、正态分布的计算：()()()X F x P X x μ

σ-=≤=Φ。

2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72）

3、分布函数(,)(,)x y

F x y f u v dudv -∞-∞=??具有以下基本性质：

⑴、是变量x ，y 的非降函数；

⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续；

⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　

　，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥

4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23

x y F x y πππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布：

边缘概率密度

2011理数导学案

第十三章 第一节 排列与组合

执笔：李建军 审核：理数学备考小组

【目标与要求】（1）了解排列与组合的定义；

（2）理解排列与组合数的性质，计算简单的排列与组合数； （3）解决与排列与组合有关的应用题。 【回顾与思考】

1．两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则可以用随机变量??0，1来描述这个随机试验的结果。如果发生的概率为p，则不发生的概率为1?p，这时，称?服从两点分布，其中p称为__________。其分布列为： 期望E??_______；方差D??________。

kn?kCMCN?M2．超几何分布：P(X?k)?，k?0,1,nCN,m，其中m?___________。

3．二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X服从二项分布，记为_________。

kkn?kP(X?k)?Cnpq(q?1?p,k?0,1,2，…n)，表示______________________，二项

分布的分布列为：

X 0 1 … … k … … n P 期望为EX?______________；方差为DX?_________________。 4．正态分布：

（1）正态曲线：如果总体密度

常见分布的期望与方差的计算

这些分布的期望和方差要求同学们熟记，以下是计算过程，供课下看。

1.0－1分布

已知随机变量X的分布律为

X

10

p

p1 p

则有

E(X)=1 p+0 q=p,

D(X)=E(X2) [E(X)]

2

=12

p+02

(1 p) p2

=pq.

2.二项分布

设随机变量X 服从参数为n, p 二项分布,

(法一)设Xi为第i 次试验中事件A 发生的次数，i=1,2,",n则

X=∑Xi

i=1

n

n

显然，Xi 相互独立均服从参数为p 的0－1分布，

所以E(X)=∑E(Xi)=np.

i=1

D(X)=∑D(Xi)=np(1 p).

i=1

n

(法二) X的分布律为 n k P{ X= k}= p (1 p )n k, ( k= 0,1,2,", n), k n n n k则有 E ( X )=∑ k P{ X= k}=∑ k p (1 p )n k k=0 k k=0kn!=∑ p k (1 p )n k k= 0 k ! ( n k )! np( n 1)!=∑ p k 1 (1 p )( n 1) ( k 1) k=1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!n n

( n

自然科学凌

茜北师范学院学报

年第

期

概率论的起源和发展赖景耀

溉率论历史相当悠久

,

木文将介绍概率论产生的历史背景和发展情况。

,

并论及一些优秀

的概率论学者在发展这门学科中所作的贡献

英史,

数学家格雷舍,

,

一、

曾经说过。

“

任何企图将一种科目和它的了解和研究概率论发展的历,

历史割裂开来

我确信

,

没有哪一种科目比数学的损失更大

”

有助于加深对这门学科研究对象

研究方法的了解。

有利于总结成功经验和失败教训

启迪后人更好地为这门学科的发展作出贡献

一

占典概率时期,

一,

一

七世纪,

人们对偶然现象即随机现象规律性的探求经历了相当长的历史时期甚至可以追溯到“”远古的原始社会最早人们对事物的偶然性并不重视他们认为这是微不足道的而,,只注意那些有一定必然规律的现象但是严酷的现实使人们感到这种观点是错误的因为,,。。

火灾

、

水灾

、

地震等偶然现象一当发生“

,

便给人们的生命财产带来不可估量的损失。

。

随之,

,

又认为偶然现象是

可怕的”

,

“

严重的”面,。

但是

,

在实践中人们又发现,,,

,

事物的偶然性不。

仅有可怕的一面

,

也有造福于人类的一,

例如久旱后偶遇甘霖“

就是大喜之事”,

这样”。。

人

们开始探讨偶然现象发生的规律性然现象的规律性探求进展十分缓慢

由于生产力水平科学文化知识所限长期以来人们对偶甚至有人提

马鞍山师专数学教研室（韩海燕） 概率论与数理统计的起源和发展

概率论起源于15世纪中叶.尽管任何一个数学分支的产生与发展都不外乎是社会生产、科学技术自身发展的推动,然而概率论的产生,却肇于所谓的“赌金分配问题”.1494年意大利数学家帕西奥尼(1445－1509)出版了一本有关算术技术的书.书中叙述了这样的一个问题.在这以后100多年中,先后有多位数学家研究过这个问题,但均未得到过正确的答案.

直到1654年一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题”,引起了这位法国天才数学家的兴趣,并促成了帕斯卡与费马这两位大数学家之间就此问题展开的异乎寻常频繁的通信,他们一起研究了默勒提出的关于骰子赌博的问题，于是，一个新的数学分支--概率论登上了历史舞台。

三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。

在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变

量等重要概念以及它们的基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等。这些问题的提法，均促进了概率论

概率论课件

第四章 随机变量的数字特征随机变量的概率分布：能完整地描述随机变量的统计规律性。 但在许多情况下，只须知道从不同角度反映随机变量取值特征 的若干个数字就够了，这些数字就称为随机变量的数字特征. 如：评价某地区粮食产量水平——平均产量 评价某批棉花质量——纤维的平均长度、 各纤维长度与平均长度之间的偏离程度

本章将讨论随机变量的 数学期望、方差 协方差及相关系数 方差、协方差 数学期望 方差 协方差 相关系数

概率论课件

4.1 数学期望一、离散型随机变量的数学期望

(mathematical expectation)

某商场计划与五一节在户外搞一次促销 活动，统计资料表明，如果商场内搞促销可获得经 济效益3万元；在商场外搞促销，如果不下雨可获经 济效益12万元，如果下雨则带来经济损失5万元；若 天气预报称当天有雨的概率为40%,则商场如何选择 促销方式？

引例

定义1 设离散型随机变量 X 的分布律为 x1 x2 L xk L X

P则称

E ( X ) = ∑ xk pk (要求此级数绝对收敛)k =1

∞

p1

p2 L pk L

为 X 的数学期望(或均值).

如果级数是条件收敛的，则 它的和与级数中各项的求和 顺序有关.为了避免这种混 乱的局面出现，因

概率论课件

第四章 随机变量的数字特征随机变量的概率分布：能完整地描述随机变量的统计规律性。 但在许多情况下，只须知道从不同角度反映随机变量取值特征 的若干个数字就够了，这些数字就称为随机变量的数字特征. 如：评价某地区粮食产量水平——平均产量 评价某批棉花质量——纤维的平均长度、 各纤维长度与平均长度之间的偏离程度

本章将讨论随机变量的 数学期望、方差 协方差及相关系数 方差、协方差 数学期望 方差 协方差 相关系数

概率论课件

4.1 数学期望一、离散型随机变量的数学期望

(mathematical expectation)

某商场计划与五一节在户外搞一次促销 活动，统计资料表明，如果商场内搞促销可获得经 济效益3万元；在商场外搞促销，如果不下雨可获经 济效益12万元，如果下雨则带来经济损失5万元；若 天气预报称当天有雨的概率为40%,则商场如何选择 促销方式？

引例

定义1 设离散型随机变量 X 的分布律为 x1 x2 L xk L X

P则称

E ( X ) = ∑ xk pk (要求此级数绝对收敛)k =1

∞

p1

p2 L pk L

为 X 的数学期望(或均值).

如果级数是条件收敛的，则 它的和与级数中各项的求和 顺序有关.为了避免这种混 乱的局面出现，因

习题二答案

1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？

答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率

（x取任意的值）求得X的分布函数

;

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数积分可通过对

求导，即求得密度函数

,可通过

,

,求得分布函数

（对一切

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.

解：由题意X的正概率点为2，3，?12

, k=2,3,?12

3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：

,

4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 车在第i个路口首次遇到红灯