复化simpson公式求积分

求积分方程的离散解并比较它与真解之间的误差。用n?4的复化Simpson公式求积分方程4x3?5x2?2x?5?8(x?1)21?(01?x)y(t)dt?y(x)1?t1比较。2(x?1)

的近似解，然后用三次样条函数近似y(x)的离散近似解，并在区间?0,1?的一些点上与真解

y(x)?主程序为： clear;clc; n=4;a=0;b=1; syms x t

f=(4*x^3+5*x^2-2*x+5)/(8*(x+1)^2); g=1/(1+t);sou=1/(x+1)^2; h=(b-a)/n;l=2*n+1;xi=a:h/2:b;

c=repmat([2,4],1,n-1);c=[1,c,2,1]; %Simpson插值的各项系数 u=c.*subs(g,xi);u=repmat(u,l,1); v=xi'*c;

u=h*(u-v)/6-eye(l); w=-(subs(f,xi))';

[s,yi]=columngauss(u,w); %调用列主元Gauss消去法解方程组 if ~s

disp('Error!There is something wrong.'); else

disp('Whe

求积分方程的离散解并比较它与真解之间的误差。用n?4的复化Simpson公式求积分方程4x3?5x2?2x?5?8(x?1)21?(01?x)y(t)dt?y(x)1?t1比较。2(x?1)

的近似解，然后用三次样条函数近似y(x)的离散近似解，并在区间?0,1?的一些点上与真解

y(x)?主程序为： clear;clc; n=4;a=0;b=1; syms x t

f=(4*x^3+5*x^2-2*x+5)/(8*(x+1)^2); g=1/(1+t);sou=1/(x+1)^2; h=(b-a)/n;l=2*n+1;xi=a:h/2:b;

c=repmat([2,4],1,n-1);c=[1,c,2,1]; %Simpson插值的各项系数 u=c.*subs(g,xi);u=repmat(u,l,1); v=xi'*c;

u=h*(u-v)/6-eye(l); w=-(subs(f,xi))';

[s,yi]=columngauss(u,w); %调用列主元Gauss消去法解方程组 if ~s

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变步长复化辛普森公式计算积分 matlab编程

2. 编写用变步长复化辛普森公式计算积分 b

af(x)dx 的程序。

1用上面编写的程序计算下列积分并分析计算结果 （1

）

0cosxdx （2

）0xcosxdx （3） 220xdx

程序：

function S=bianfuhuasimpson(fx,a,b,eps,M)

% 变步长复合simpson求积公式

% 调用方式： S=fuhuasimpson(@fx,a,b,epsilon)

% fx -- 求积函数（函数文件）

% a, b -- 求积区间

% eps -- 计算精度

% M--最大允许输出划分数

n=1;

h=(b-a)/n;

T1=h*(feval(fx,a)-feval(fx,b))/2;

Hn=h*feval(fx,(a+b)/2);

S1=(T1+2*Hn)/3;

n=2*n;

% 最好与倒数第三行保持一致（变步长）

while n<=M

T2=(T1+Hn)/2;

Hn=0;

h=(b-a)/n;

for j=1:n

x(j)=a+(j-1/2)*h;

y(j)=feval(fx,x(j));

Hn=Hn+y(j);

end

Hn=h*Hn;

S2=(T2+2*Hn)/

实验四、复化梯形公式和复化Simpson公式的精度比较 （2学时）

一、实验目的与要求

1、熟悉复化Simpson公式和复化梯形公式的构造原理； 2、熟悉并掌握二者的余项表达式；

3、分别求出准确值，复化梯形的近似值，复化Simpson的近似值，并比较后两者的精度；

4、从余项表达式，即误差曲线，来观察二者的精度，看哪个更接近于准确值。

二、实验内容：

1sinxsinxdx。 对于函数f(x)?，试利用下表计算积分I??0xx表格如下：

x 0 1/8 0.9973978 1/4 0.9896158 3/8 0.9767267 1/2 0.9588510 5/8 0.9361556 3/4 0.9088516 7/8 0.8771925 1 0.8414709 f(x)1

注：分别利用复化梯形公式和复化Simpson公式计算，比较哪个精度更好。 其中：积分的准确值I?0.9460831。

三、实验步骤

1、 熟悉理论知识，并编写相应的程序；

2、 上机操作，从误差图形上观察误差，并与准确值相比较，看哪个精度更好； 3、 得出结论，并整理实验报告。

四、实验注意事项

1、复化梯形公式

仅供个人参考

复变函数与积分变换复习提纲

第一章 复变函数

一、复变数和复变函数

w?f?z??u?x,y??iv?x,y?

二、For personal use only in study and research; not for commercial use 三、

四、复变函数的极限与连续

极限 limf(z)?A 连续 limf(z)?f(z0)

z?z0z?z0第二章 解析函数

一、For personal use only in study and research; not for commercial use 二、

三、复变函数w?f(z)?u(x,y)?iv(x,y)可导与解析的概念。 四、柯西——黎曼方程

??ux?vy掌握利用C-R方程?判别复变函数的可导性与解析性。

u??v?x?yFor personal use only in study and research; not for commercial use

掌握复变函数的导数：

f'(z)??f1?f?ux?ivx???iuy?vy?xi?y

?ux?iuy????ivx?vy五、初等函数

重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。

Fo

牛顿柯特斯求积公式

§4.2 数值积分 §4.2.1 数值求积的基本思想对于积分

I ( f ) = ∫ f ( x )dxa

b

如果知道f ( x )的原函数F ( x ), 则由Newton Leibniz公式有

∫

b

a

f ( x )dx = F ( x ) a = F (b ) F ( a )b

但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:

2011-1-9

牛顿柯特斯求积公式

(1) f ( x )的解析式根本不存在, 只给出了f ( x )的一些数值(2 ) f ( x )的原函数 F ( x )求不出来 , 如 F ( x )不是初等函数I1 =I2 =

∫

λ

0n

exp( α 2 )dαexp( a 2

∫

ξ24a2

)da

0

(3) f ( x)的表达式结构复杂,求原函数较困难以上这些现象,牛顿-莱布尼兹很难发挥作用 只能建立积分的近似计算方法2011-1-9 2

牛顿柯特斯求积公式

对于I ( f ) =

∫ f ( x )dx ,若a

b

f (x) >0 则I对应于曲边梯形的面积。

ξ ∈ [a, b]

∫

b

a

f ( x)dx = (b a ) f (ξ )

2011-1-9

牛顿柯特斯求积公式

如果我们用两端点“高度

2.基本积分公式表

(1)∫0dx=C (2)(3)(4)(5)

=ln|x|+C

(m≠-1，x>0) (a>0,a≠1)

(6)∫cosxdx=sinx+C (7)∫sinxdx=-cosx+C (8)∫sec2xdx=tanx+C (9)∫csc2xdx=-cotx+C (10)∫secxtanxdx=secx+C (11)∫cscxcotxdx=-cscx+C (12)(13)注．(1)(2)

=arcsinx+C =arctanx+C 不是

在m=-1的特例．

=ln|x|+C ，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．

事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则 (ln|x|)' =(ln(-x))' =(3)要特别注意积分．

下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．

3.不定积分的四则运算

根据微分运算公式 d(f(x)?g(x))=df(x)?dg(x)

与

.

的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的

d(kf(x))=kdf(x)

我们得不定积分的线性运算公式

(1)∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx (2)∫kf(x)dx=k∫f(x)dx，k是非零常数.

现在可利用这两个公式与基本积分公式来计算简单不定积分．

复积分的计算方法

孟小云 20072115025

（数学科学学院 数学与应用数学专业 2007级3班）

指导老师 海泉

摘要：本文归纳了计算复积分的多种方法，并举例说明了它们的应用。 关键词：复变函数；复积分

在复变函数的分析理论中，复积分是研究解析函数的重要工具，解析函数的许多重要性质都要利用复积分来表述和证明的，因此，对复积分及其计算的研究显得尤为重要。本文介绍了复变函数积分常规的计算方法、利用级数法、拉普拉斯变换法及对数留数与辐角原理进行复积分计算方法。利用这些方法可以使一些复杂的复积分计算变得简单、快捷。接下来要介绍计算复积分的常见的一些方法。 方法1：参数方程法

定理：设光滑曲线c:z=z(t)=x(t)+iy(t) (??t??),z'(t)在[?,?]上连续，且z'(t)?0，又设f(z)沿c连续，则?f(z)dz?c???f[z(t)]z(t)dt。

'1、若曲线c为直线段，先求出c的参数方程。

c为过z1,z2两点的直线段，c：z?z1?(z2?z1)t,t?[0,1],z1为始点,z2为终点。 例1 计算积分?Rezdz，路径为直线段.

?1?解：设z??1?(i?1)t?(t?1)?it,t?[0,1], 原

常 用 积 分 公 式

（一）含有ax?b的积分(a?0) 1．

dx1＝?ax?balnax?b?C

2．(ax?b)dx＝

??1(ax?b)??1?C（???1）

a(??1)3．

x1dx(ax?b?blnax?b)?C ＝?ax?ba2x21?1?dx＝3?(ax?b)2?2b(ax?b)?b2lnax?b??C 4．?ax?ba?2?5．

dx1ax?b＝??x(ax?b)blnx?C

6．

?dx1aax?b＝??ln?C 22x(ax?b)bxbx7．

1bx(lnax?b?)?C dx＝?(ax?b)2a2ax?b1b2x2)?C 8．?dx＝3(ax?b?2blnax?b?aax?b(ax?b)29．

?dx11ax?b＝?ln?C

x(ax?b)2b(ax?b)b2x（二）含有ax?b的积分

23(ax?b)?C ?3a2(3ax?2b)(ax?b)3?C 11．?xax?bdx＝215a22(15a2x2?12abx?8b2)(ax?b)3?C 12．?xax?bdx＝3105a10．

ax?bdx＝13．

?2xdx＝2(ax?2b)ax?b?C

3aax?b1

14．

?2x2(3a2x2?4abx?8b2)ax?b?C dx＝31

各种积分公式,公式大概分为四类,

北京理工大学

微积分-积分定理集锦

常用积分公式 定理

程功 2010/12/22

各种积分公式,公式大概分为四类,

定理

1.积分存在定理

1）当函数f(x)在区间 a,b 上连续时，称f(x)在区间 a,b 上可积.

2）设函数f(x)在区间 a,b 上有界，且只有有限个间断点，则f x 在区间 a,b 上可积。

2.性质：1 [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx（此性质可以推广到有限多个函数求和的

a

a

a

bbb

情况）。

性质2. kf(x)dx k f(x)dx k为常数

a

a

bb

假设a c b，性质3： f(x)dx f(x)dx f(x)dx（定积分对于积分区间具有可加性）

a

a

c

bcb

性质4: 1 dx badx b a

a

b

性质5：如果在区间 a,b 上f(x) 0,则 f(x)dx 0 (a b)

a

b

推论（1）：如果在区间[a,b]上，f(x) g x 则 f(x)dx g(x)dx(a b)

a

a

bb

推论（2）：

b

a

f()xdx fx a b

a

b

性质6：设M及m分别是函数f x 上的最大值与最小值，则

m(b a) f(x)dx M(b a)

a

b

3.定积分中值定理

如果函数f x