中南大学2022高等代数真题

2004年深圳大学硕士研究生入学考试试题

专业：应用数学 考试科目：高等代数

一、必做题（共120分）

1．（10分）设5阶方阵A?[?,r1,r2,r3,r4],B?[r1,r2,r3,r4,???]，其中?,?,r1,r2,r3,r4均为5维列向量，并且|A|=4，|B|=5，求2?,r1,r2,r3,r4=？ 2．（15分）计算n阶行列式的值：

2?10?12?100??0000000?12?1?00000?12?000 ????????00000000??12?1?0?123．（15分）设A为5阶方阵，并且|A|=5，计算

（1）A*??

（2）(A*)*??

（3）(A*)?1?? （4）3A?1?2A*??

4．（40分）设?1,?2,?3和?1,?2,?3是三维线性空间V的两组基，V上的线性变换A在基?1,?2,?3下的矩阵为

?2?2?2??A???22?2??

???2?22??而?1,?2,?3到?1,?2,?3的过渡矩阵为

??102??S??01?1??

??2?21??（1）求A的全部特征值和分别属于不同特征值之间的极大线性无关的特征向量 （2）求一可逆矩阵T使得T?1AT为对角形

（3）设X0?(1,

高等代数——2005年真题

一．（20分）证明：数域F上的一个n次多项式f?x?能被它的导数整除的充要条件是

f?x??a?x?b?，?其中a,b是F中的数?.

n二．（20分）设a1a2?an?0，计算下面的行列式：

1?a111?111?a21?111?1??1111111?1?an

1?a3?????2??2??????4?1三．（15分）已知矩阵A?PQ，其中P???，Q???，Q?，求矩阵A,A2和A100。

?3???2?????1????1?四．（20分）给定线性方程组

?x1?a1x2?a12x3?a13?23?x1?a2x2?a2x3?a2 ? （1） 23?x1?a3x2?a3x3?a323??x1?a4x2?a4x3?a4当a1,a2,a3,a4满足什么条件时，方程组（1）有惟一解？无穷多解？无解？ 五．（20分）设f?X???AX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使得Xf?X1????f?X2???，证明：必存在实n维向量X0?0使f?X0??0。

六．设W是齐次线性方程组

?2x1?x2?x3?x4?3x5?0

高等代数——2005年真题

一．（20分）证明：数域F上的一个n次多项式f?x?能被它的导数整除的充要条件是

f?x??a?x?b?，?其中a,b是F中的数?.

n二．（20分）设a1a2?an?0，计算下面的行列式：

1?a111?111?a21?111?1??1111111?1?an

1?a3?????2??2??????4?1三．（15分）已知矩阵A?PQ，其中P???，Q???，Q?，求矩阵A,A2和A100。

?3???2?????1????1?四．（20分）给定线性方程组

?x1?a1x2?a12x3?a13?23?x1?a2x2?a2x3?a2 ? （1） 23?x1?a3x2?a3x3?a323??x1?a4x2?a4x3?a4当a1,a2,a3,a4满足什么条件时，方程组（1）有惟一解？无穷多解？无解？ 五．（20分）设f?X???AX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使得Xf?X1????f?X2???，证明：必存在实n维向量X0?0使f?X0??0。

六．设W是齐次线性方程组

?2x1?x2?x3?x4?3x5?0

高等代数习题册

作业说明：教师每次讲完章节内容，同学们完成相应的习题，从开课第二周起一般每周交一次作业。作业直接写在习题册上，写不下可写背面

班级 姓名 学号 第一章 行列式

§1引言

一 填空题

1．最小的数环是 ，最小的数域是 .

2．一非空数集F,包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭，则其为 . 二 证明题

1. 证明F?a?bia, b?Q是一个数域，其中i=?1.

2．证明F?????m?m, n?Z?是一个数环. F也是一个数域吗？ n??2

3．证明两个数环的交还是一个数环.

2

班级 姓名 学号 §2-§3 排列与n级行列式的定义

一 选择或判断

1．以下乘积中（ ）是5阶行列式d?aij中取负号的项.

A.a31a45a12a24a53； B.a45a54a

高等代数习题册

作业说明：教师每次讲完章节内容，同学们完成相应的习题，从开课第二周起一般每周交一次作业。作业直接写在习题册上，写不下可写背面

班级 姓名 学号 第一章 行列式

§1引言

一 填空题

1．最小的数环是 ，最小的数域是 .

2．一非空数集F,包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭，则其为 . 二 证明题

1. 证明F?a?bia, b?Q是一个数域，其中i=?1.

2．证明F?????m?m, n?Z?是一个数环. F也是一个数域吗？ n??2

3．证明两个数环的交还是一个数环.

2

班级 姓名 学号 §2-§3 排列与n级行列式的定义

一 选择或判断

1．以下乘积中（ ）是5阶行列式d?aij中取负号的项.

A.a31a45a12a24a53； B.a45a54a

河南科技大学

2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准

科目代码： 856 科目名称： 高等代数

一、（15分）计算下列各题：

1、（5分）已知4阶行列式D的第3行元素分别为 ?1,0,2,4，第4行元素对应的余子

式依次是5,10,a,4，求a的值。

?1?20???0?，求矩阵A。 2、（5分）已知矩阵A,B满足关系AB?B?A，其中B??21?002???3、（5分）设A为3阶方阵A的伴随矩阵，A=2，计算行列式|(3A)解：1、因为 a31A41?a32A42?a33A43?a34A44?0，??(3分) 这里aij和Aij分别是第i行第j列处的元素和该元素的代数余子式，

*

?1?1*A|。 221。??(5分) 21??0??12??1?110?，2、 因为AB?A?B，所以A(B?E)?B，A?B(B?E)?????(5分)

?2??002?????1*1?12?123?14?1?13、|(3A)?A|=|A?A|=|?A|=(?)|A|=?。??(5分)

233327011?1（-5）?0?10?2?（?a）?4?4?0，可得a?所以有 ?1?10x?x二、（15分）计算n

2012年华南师范大学高等代数硕士研究生入学考试试题

1、（每小题5分，30分）写出下列概念的定义 （1）齐次线性方程组Ax?0的基础解系； （2）本原多项式；

（3）线性变换的本征子空间；

（4）欧式空间V中向量?在子空间W上的正射影； （5）实二次型f(x1,x2,?,xn)的典范形式； （6）正定矩阵。

2、（20分）设f(x)是有理数域Q上的多项式，a?c是f(x)的无理根，（a,c?Q,c是无理数），证明: （1）(x?(a?c))(x?(a?c))|f(x)；

（2）设g(x)是有理数域Q上的首项系数为1的4次多项式，1?2，

1?i是g(x)的根，求g(x)。

3、（20分）用线性方程组理论证明：n次多项式至多有n个互异的根。 4、（20分）设?是F4的线性变换，?1?(1,0,0,0)，?2?(0,1,0,0)，?3?(0,0,1,0)，

?4?(0,0,0,1)，?(?1)?(1,3,?4,2)，?(?2)?(?1,?2,2,1)，?(?3)?(?3,7,8,0)，

?)和核空间ker(?)的?(?4)?(5,12,?14,1)，求此线性变换的像空间Im(基和维数。

?001??，问x为何值时，矩阵A能对角化？并证11x5、（20

2012年华南师范大学高等代数硕士研究生入学考试试题

1、（每小题5分，30分）写出下列概念的定义 （1）齐次线性方程组Ax?0的基础解系； （2）本原多项式；

（3）线性变换的本征子空间；

（4）欧式空间V中向量?在子空间W上的正射影； （5）实二次型f(x1,x2,?,xn)的典范形式； （6）正定矩阵。

2、（20分）设f(x)是有理数域Q上的多项式，a?c是f(x)的无理根，（a,c?Q,c是无理数），证明: （1）(x?(a?c))(x?(a?c))|f(x)；

（2）设g(x)是有理数域Q上的首项系数为1的4次多项式，1?2，

1?i是g(x)的根，求g(x)。

3、（20分）用线性方程组理论证明：n次多项式至多有n个互异的根。 4、（20分）设?是F4的线性变换，?1?(1,0,0,0)，?2?(0,1,0,0)，?3?(0,0,1,0)，

?4?(0,0,0,1)，?(?1)?(1,3,?4,2)，?(?2)?(?1,?2,2,1)，?(?3)?(?3,7,8,0)，

?)和核空间ker(?)的?(?4)?(5,12,?14,1)，求此线性变换的像空间Im(基和维数。

?001??，问x为何值时，矩阵A能对角化？并证11x5、（20

《高等代数》自测题（3）

得分 一、判断题（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分）

1． 若整系数多项式f(x)在有理数域可约，则f(x)一定有有理根． （ ） 2． 若p(x)、q(x)均为不可约多项式，且(p(x),q(x))?1，则存在非零常数c，使得

p(x)?cq(x)． （ ）3． 对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变． （ ） 4． 若矩阵A的所有r?1级的子式全为零，则A的秩为r． （ ）

5． 若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数． （ ） 6． 若向量组?1,?2,?,?s（s?1）线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合． （ ）

7． 若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同． （ ）

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学 院 专业班级 学 号 姓 名 座 位 号 任课教师姓名

---○---○---

封

密卷 评…得 分 一、填空题（每小题3分，总计15分）

……评卷人 …1、点A(3,?1,1)到平面?:2x?y?3z?4?0的距离为

理处分0（ ）

按绩成试2、曲面z?2x2?2y2?4在点?1,?1,0?处的法线方程为考者（ ） 违， 息

信生3、设?是由曲面z?x2?y2及平面z?1围成的闭区域，则

???f?x,y,z?dxdydz

考?写化为顺序为z?y?x的三次积分为（ ） 填准

不外线4、设?是xoz面的一个闭区域Dxz, 则曲面积分??f?x,y,z?dS可化为二重积分

封?密，为（ ） 题答

要不内线5、微分方程y??1封2x?y2满足初始条件y?1??0的解为（ ）密 …… … …线 封 密卷 评 … … …… …… …… 线

1