调和方程第三边值问题不唯一

静电场边值问题的唯一性定理

摘要：静电场边值问题及其唯一性定理是一重要知识点，定理的表述和证明都涉及较多的数学知识。由于唯一性定理的概念对于许多问题（如静电屏蔽）的确切理解有很大帮助，所以我们将给此定理一个物理上的论证，期待大家能从中有所受益. 关键词：静电场；边值；唯一性；静电屏蔽

1、问题的提出

实际中提出的静电学问题，大多不是已知电荷分布求电场分布，而是通过一定的电极来控制或实现某种电场分布。这里问题的出发点（已知的前提），除给定各带电体的几何形状、相互位置外，往往是在给定下列条件之一；

（1） 每个导体的电势UK； （2） 每个导体上的总能量QK；

其中K=1，2，……为导体的编号。寻求的答案则是在上述条件（称为边界条件）下电场的恒定分布。这类问题称为静电场的边值问题。

这里不谈静电场边值问题如何解决，而我们要问：给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒定电场分布？唯一性定理对此的回答是否定的，换句话说，定理宣称：边界条件可将空间里电场的恒定分布唯一地确定下来。 2、几个引理

在证明唯一性定理之前，先作些准备工作——证明几个引理。为简单起见，我们暂把研究的问题限定为一组导体，除此之外的空间里没有电荷。

（1）引理一 在无电荷的空

调和方程狄利克雷内外问题的唯一性及稳定性。

（1）原理 3.1 （极值原理） 对于不恒等于常数的调和函数u(x,y,z)，其在区域?的任何内点上的值不可能达到它在?上的上界或下界。

推论1 在有限区域?内调和、在???上连续连续的函数必在边界?上取得最大值和最小值；

推论2 设u及v都是区域?内的调和函数，且在???上连续。如果在?的边界?上成立着不等式u?v，那么在?内上述不等式也成立；并且只有在u?v时，在?内才会有等式成立的可能。

（2）调和方程狄利克雷内问题

??2u?2u?2u3.1)??u?2?2?2?0......( ?x?y?z??u??g.......................(3.2)?现在证明解如果存在必是唯一的，而且连续的依赖于所给定的边界条件f.

证：假设有两个调和函数u1(x,y,z)和u2(x,y,z)，它们在有界区域?的边界?上完全相同，则它们的差u?u1?u2在?中也满足方程（3.1），而在?上等于零。于是按照极值原理的推论1，函数u在区域?上最大值及最小值均为零，即u?0.因此u1?u2，即狄利克雷内问题的解是唯一的。

?其次，设在区域?的边界?上给定了函数f和f，而且在?上处处成立f?f??，这里

调和方程狄利克雷内外问题的唯一性及稳定性。

（1）原理 3.1 （极值原理） 对于不恒等于常数的调和函数u(x,y,z)，其在区域?的任何内点上的值不可能达到它在?上的上界或下界。

推论1 在有限区域?内调和、在???上连续连续的函数必在边界?上取得最大值和最小值；

推论2 设u及v都是区域?内的调和函数，且在???上连续。如果在?的边界?上成立着不等式u?v，那么在?内上述不等式也成立；并且只有在u?v时，在?内才会有等式成立的可能。

（2）调和方程狄利克雷内问题

??2u?2u?2u3.1)??u?2?2?2?0......( ?x?y?z??u??g.......................(3.2)?现在证明解如果存在必是唯一的，而且连续的依赖于所给定的边界条件f.

证：假设有两个调和函数u1(x,y,z)和u2(x,y,z)，它们在有界区域?的边界?上完全相同，则它们的差u?u1?u2在?中也满足方程（3.1），而在?上等于零。于是按照极值原理的推论1，函数u在区域?上最大值及最小值均为零，即u?0.因此u1?u2，即狄利克雷内问题的解是唯一的。

?其次，设在区域?的边界?上给定了函数f和f，而且在?上处处成立f?f??，这里

第十一章 常微分方程边值问题的数值解法

工程技术与科学实验中提出的大量问题是常微分方程边值问题．本章将研究常微分方程边值问题的数值求解方法.主要介绍三种边界条件下的定解问题和两大类求解边值问题的数值方法,打靶法算法和有限差分方法.

11.1 引言

在很多实际问题中都会遇到求解常微分方程边值问题. 考虑如下形式的二阶常微分方程

y???f(x,y,y?), a?x?b, (11.1.1)

在如下三种边界条件下的定解问题: 第一种边界条件:

y(a)??, y(b)?? (11.1.2)

第二种边界条件:

y?(a)??, y?(b)?? (11.1.2)

第三种边界条件:

?y?(a)??0y(a)?a1, (11.1.13) ??y(b)??y(b)?b01?其中a0?0, b0?0, a0?b0?0.

常微分方程边值问题有很多不同解法, 本书仅介绍打靶方法和有限差分方法.

11.2 打靶法

对于二阶非线性边值问题

y???f?x,y,y??，a?x?b，y?a???，y?b???.

主要研究了Laplace算子△、双重Laplace算子△^2的Navier边界问题的第1和第2Hardy不等式。并由此得出一些推论.同时也讨论了Dirichlet边界问题的情况.

维普资讯

20 0 7年 6月

湛江师范学院学报J OURNAL OF Z ANJ ANG H I NoRM AL COLL EGE

J n。0 7 u . 2 0V o128 N O 3 . .

第 2 8卷第 3期

非线性调和方程 Na e v r问题的 H d a y不等式 r熊辉

(莞理工学院数学教研室，东东莞 53 0 )东广 2 8 8摘要：要研究了 L pae子△、重 L pae子△主 alc算双 al算 c。的 N ve边界问题的第 1和第 2Had ai r ry不等式。并由此得出一些推论 .同时也讨论了 D r h e边界问题的情况 . i c lt i

关键词： ry不等式；和算子；调和算子； Had调双最佳常数中图分类号： 7 . O1 5 8文献标识码： A文章编号：0 6 4 0 ( 0 7 0—0 2— 0 10— 7220)3 03 4

0引言 对于如下半线性椭圆型 Na ir ve问题 (这时同时也是 D r he问题 ) i c l

1 静电场的边值问题

1．镜象法的理论依据是（ ）。基本方法是在所求场域的外部放置镜像电荷以等效的取代边界表面的（ ）。

2．根据边界面的形状，选择适当的坐标系，如平面边界，则选直角坐标；圆柱面选圆柱坐标系；球面选球坐标。以便以简单的形式表达边界条件。将电位函数表示成三个一维函数的乘积，将拉普拉斯方程变为三个常微分方程，得到电位函数的通解，然后寻求满足条件的特解，称为（ ）

3．将平面、圆柱面或球面上的感应电荷分布（或束缚电荷分布）用等效的点电荷或线电荷（在场区域外的某一位置处）替代并保证边界条件不变。原电荷与等效点电荷（即通称为像电荷）的场即所求解，称为（ ），其主要步骤是确定镜像电荷的位置和大小。

4．（ ）是一种数值计算方法，把求解区域用网格划分，同时把拉普拉斯方程变为网格点的电位有限差分方程（代数方程）组。在已知边界点的电位值下，用迭代法求得网格点电位的近似数值。

5．用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ ）。 A．镜像电荷是否对称 B．电位所满足的方程是否未改变 C．边界条件是否保持不变 D．同时选择B和C

1 静电场的边值问题

1．镜象法的理论依据是（ ）。基本方法是在所求场域的外部放置镜像电荷以等效的取代边界表面的（ ）。

2．根据边界面的形状，选择适当的坐标系，如平面边界，则选直角坐标；圆柱面选圆柱坐标系；球面选球坐标。以便以简单的形式表达边界条件。将电位函数表示成三个一维函数的乘积，将拉普拉斯方程变为三个常微分方程，得到电位函数的通解，然后寻求满足条件的特解，称为（ ）

3．将平面、圆柱面或球面上的感应电荷分布（或束缚电荷分布）用等效的点电荷或线电荷（在场区域外的某一位置处）替代并保证边界条件不变。原电荷与等效点电荷（即通称为像电荷）的场即所求解，称为（ ），其主要步骤是确定镜像电荷的位置和大小。

4．（ ）是一种数值计算方法，把求解区域用网格划分，同时把拉普拉斯方程变为网格点的电位有限差分方程（代数方程）组。在已知边界点的电位值下，用迭代法求得网格点电位的近似数值。

5．用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ ）。 A．镜像电荷是否对称 B．电位所满足的方程是否未改变 C．边界条件是否保持不变 D．同时选择B和C

目录

一.静场的态值问题概述 边二唯.一定理性

三分离.变量法四镜.像法五格林函.数六法.它其析方解法

一

、静态场的值问题边述概 分布型题问：已由场源知电(荷电、流)布分，直从接的场积 公分求式空间各的场点布分。 边值问题型：由知已量场场域边界在的上值求场域内，的场分。布解法

析解 法(镜法像分离变量法、 数)法 值有限(分差法

数学)理物程方是述描理量随空物间和间时的变规律化对。于一特某 定区域和的刻时方程，的解决于取理量物的初始与边界值，即值初条件和

边始界件，条者又两统称为该方程的定条解件静。场量与时间态无关，因位函数所满足此泊的方松程及拉拉斯方普 程的解仅定于边决界条件根据。给的边定界条件解空间任一点的位函数就求是静 态的边值问题场

一、静态。场边值问题概述的 2 2 0 微分方程 1 2 11 2 2 n n分面 衔接界条件第一类

S 1f ( s) n f (2s)S

边 问值

边题界条件场 域界条件

第二边类第三 类然 自边条界件

( ) f (3 )s n S

l i m r 有限r 值

、唯二性一定理1.唯 一定理性 在域场中V的界

第一章，边值问题的变分形式 1.1 二次函数的极值

定理1.1 设矩阵A对称正定，则下列两个问题等价： （1）求x0?R使

nJ(x0)?minJ(x)

x?Rn其中

J(x)?1(Ax,x)?(b,x). 2（2）求下列方程组的解： Ax?b 1.2 两点边值问题 1. 弦的平衡

用u?u(x)表示在荷载forcef(x)作用下弦的平衡位置。Balance position of string根据力的平衡条件，u?u(x)满足微分方程

?Tu?f(x),其边值条件为

u(0)?0,其中T为弦的张力。tension

''0?x?l （2）

u(l)?0, （4）

另一方面，由力学的“极小位能原理”，弦的平衡位置u*?u*(x)是在满足（4）的一切可能位置中，使位置能量取得最小者。应变能为strain

1W内 ??T(u')2dx;

20外力f(x)所做的功为work

llW外 ???f?udx,

0从而总位能为

J(u)?W内 ?W外 1??[Tu'2?2uf]d

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第三节 色彩的调和

一、色彩调和理论 二、色彩调和的基本类型 (一)蒙塞尔的色彩调和论 (二)色彩调和的基本类型 三、色彩调和的方法

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一、色彩调和理论 色彩调和的原理: 首先从人的生理角度来讲，人的视觉需要补色的搭配来 求平衡。 其次，人生活在自然界里，形成和谐的视觉习惯和对色 彩的恒常经验，习惯用自然界的自然秩序去判断色彩 艺术的优劣。 此外，人的视觉与听觉、味觉相似，它既不能承受尖锐 鼓噪的杂音，也不愿意天天去听那些一点刺激也没有 的、容易让人疲劳的、单调的音乐，这当中就蕴含着 和谐里必须有对比。

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当色彩搭配效果与人的思想感 情发生共鸣时，也就是当色彩搭配的 结构与人的心理效应相对应时，会不 由自主地感到色彩和谐的愉快。

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