求极限有多少种方法

求极限的13种方法（简叙）

龘龖龍

极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限

利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限

lim(1?a)(1?an??2)...(1?a) ，其中a?1

2n分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。 解 因为(1?a)(1?a)...(1?a)

122n(1?a)(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a1222n(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a12n?1(1?a) =1?a22n当

a2n?1n??时，

22n?1??,2n而

1 1?aa?1，故

1?a?0,从而lim(1

求极限的13种方法（简叙）

龘龖龍

极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限

利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限

lim(1?a)(1?an??2)...(1?a) ，其中a?1

2n分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。 解 因为(1?a)(1?a)...(1?a)

122n(1?a)(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a1222n(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a12n?1(1?a) =1?a22n当

a2n?1n??时，

22n?1??,2n而

1 1?aa?1，故

1?a?0,从而lim(1

求极限的13种方法（简叙）

龘龖龍

极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限

利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限

lim(1?a)(1?an??2)...(1?a) ，其中a?1

2n分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。

1?a) 解 因为(1?a)(1?a)...(122n(1?a)(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a1222n(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a12n?1(1?a) =1?a22n当

a2n?1n??时，

22n?1??,2n而

1 1?aa?1，故

?0,从而lim(1?a)

1.二元函数极限概念分析

定义1 设函数f在D?R2上有定义，P0是D的聚点，A是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数?，总存在某正数?,使得P?U0(PD时，都有 0;?) f(P)?A??,

则称f在D上当P?P0时，以A为极限，记limf(P)?A.

P?P0P?D上述极限又称为二重极限.

2．二元函数极限的求法

2.1 利用二元函数的连续性

命题 若函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续，则

limf(x,y)?f(x0,y0).

(x,y)?(x0,y0)2 例1 求f(x,y)?x?2xy 在点(1,2)的极限. 2 解： 因为f(x,y)?x?2xy在点(1,2)处连续，所以

limf(x,y)x?1y?2?lim(x2?2xy)x?1y?2?12?2?1?2?5.

例2 求极限lim1．

?x,y???1,1?2x2?y2 解： 因函数在?1,1?点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即

11=．

?x,y???1,1?2x2?y23lim1 / 15

2.2 利用恒等变形法

将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3

几种求极限方法的总结

摘 要 极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过sn对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.

关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 定积分 数列

1 用定义求极限?1?

根据极限的定义：数列{xn}收敛??a,??〉0,?N?N?,当n〉N时，有xn-a〈?. 例1 用定义证明limn?1

n??n?111n?1???成立：解得n??1,取N=??1?，于?1=

n?1?n?1???证明：???0,要使不等式

nn?1??1 是???0,? N=??1?，?n?N，有?1??,即limn??n?1?n?1??2利用两边夹定理求极限??

1?1?111? ????例2 求极限lim???2n??n2?2n2?3n2?n??n?1 解：设cn?1n?11n?n1n?1222?1n?21n?n1n?1222??1n?n1?2

nn?nnn?122则有：cn???n?n1n?122

nn?n2同时有：cn???? ，于是 ?cn?nn?12,由n2?n?n2

极限及几种求极限重要方法的探究

王龙科

西北师范大学数学与信息科学学院 甘肃兰州 730070

摘要： 极限理论是高等数学的理论基石，也是研究高等数学的重要方法。高等数学中的微分和积分理论都是建立在极限理论基础之上的，这说明理清极限理论和重要极限求法是非常有必要的。本文主要分两大部分作以探究，第一部分介绍极限理论；第二部分列举求极限的常见方法，并配有相关例题加以说明。 关键词： 极限；高等数学；求极限的方法

一、引言

极限是高等数学中最重要得概念之一，是研究积分和微分的重要工具。极限思想也是研究高等数学的重要思想，掌握极限思想是学习微分和积分的基础。极限是描述数列和函数在无限变换过程中的变化趋势的概念，它是人们从有限认识到无限、从近似认识到精确、从量变认识到质变的一种数学方法。极限理论的出现是微积分发展历史上的一个历程碑，它使微积分理论更加蓬勃法展起来。本文接下来将就极限理论思想和求极限的重要方法进行探究。

二、极限理论 1、数列极限

定义1若函数f的定义域为全体正整数集合N?，则称 f: N?→R 或 f(n),n∈N?

为数列.因为正整数集N?的元素可按由小到大的顺序排列,故数列f(n)也可写作 a1，a2，…，an…

求函数值域的几种方法

方法1:直接法(观察法)适用于较简单的函数，从解析式观察，利用

x 0, x 0, x 0 等，直接得出它的值域。2

例1、求下列函数的值域。(1) y x 72

(2) y 2 x 1, x 1, 2,3, 4,5 (3) y 3x 2

方法2、配方法适用于二次函数，同时要注意闭区间内的值域。 例2、求下列函数的值域。

(1) f ( x) x 4 x 12

(2) f ( x) x x 1

方法3、换元法对形如 y ax b cx d 型的函数均可用 “换元法”化为二次函数在区间上的值域问题求 解。 例3、求下列函数的值域。

(1) y x 1 x (2) y x x 1

方法4、分离常数法适用于分式型的函数。

例4、求下列函数的值域。

2x 1 (1) y x 3 2 2x 1 (2) y 2 x 1

方法5、判别式法能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零

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1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0

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1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0

矩阵求逆的几种方法

关于矩阵求逆的几种方法

庄战友

（通辽实验中学，内蒙古通辽

摘要：矩阵求逆是高等代数中很重要的内容之一，本文介绍了矩阵求逆的几种方法。

关键词：逆矩阵初等变换伴随矩阵级数特征多项式

028000）

-1

阶矩阵A为可逆矩阵时，A=

*1*

A，其中A为矩阵A的伴随矩阵。|A|

a1%%%a2a1%%%a2

例2：设A=，若|A|==a1a4-a2a3≠0，则存在A

a3%%%a4a3%%%a4

1.定义法

定义：设A为n阶矩阵，如果存n在阶矩阵B使得AB=BA=I。则称矩阵A是可逆的，称B是A的逆矩阵。

%2%%%2%%3

例1：求矩阵A=%1%-1%%0的逆矩阵。

-1%%2%%1

-1

，且

%%1%a%%%-aA=%%|A|-a%%%%a

-1

4

21

。

3

%%

-1

解：因为|A|≠0，所以A存在。

用公式法求逆，当阶数较高时，计算量很大，所以该方法主要用于理论推导。

3.初等变换法

设n阶矩阵A，作n×2n矩阵，然后对此矩阵施以初等行变换，若把子块A变为In，则子块In将变为A，即初等行变换

同样也可以作2n×n矩阵变换，即

-1

x11%%x12%%x1333-1x21%%x22%%x233设A=3，由定义知AA=I，33x31%%x32%%x3333