吉林大学22春8月离散数学作业考核

2014-2015学年第二学期期末《离散数学》大作业

一、简要回答下列问题：（每小题3分，共30分）

1．请给出集合运算的等幂率。 答：等幂律 A?A=A，A?A=A

2．请给出一个集合A，并给出A上既具有对称性，又具有反对称性的关系。 答：设A={1,2,3}, R={（1，1），（2，2），（3，3）} 既对称又反对称。

3．设A={1，2，3}，问全域关系是否具有自反性，对称性 ？ 答：是，全域关系具有自反性、对称性

4．设A={1，2，3，4，5，6}，R是A上的整除关系，M={4,3}，求M的上界，下界。 答：上界 无 下界 1

5．关于P，Q，R请给出使极小项m1，m7为真的解释。

答：P=0,Q=0,R=1, ?P∧?Q∧R，记为m1 取1值，为真； P=1,Q=1,R=1，P∧Q∧R 记为m7 取1值，为真。

6．什么是图中的回路，请举一例。

设G=(P,L)是图，(v0 ,v1, …, vn)是G中从v0 到vn的路，称此路为简单路，如果 （1） v0 , …, vn-1互不相同 （2） v1 , …, vn互不相同

显然，一条简单路(v0 ,v1, …, vn)，除v0与 vn可以相同外，其他任意

一、简答题（共50分）

1. （4分）设集合G={a,b,c}，试定义G上的“· ”运算，使得(G，·)构成一个群（给出运算表）。并指出(G，·)中的单位元和每个元素的逆元素。 2. （2分）n（n>1）元有限群中，一共存在多少个幂等元？

3. （2分）设?=(1 3 2 4)，?=(1 3 4)，请把??写成若干对换乘积的形式。 4. （2分）设G是3次对称群，H={I, (2 3)}是G的子群，求H的所有左陪集。 5. （2分）在4次对称群中，请写出由（1 3 4）生成的子群。

6. （2分）设S={1, 2, 3, 4, 5,6},?是模7乘法运算，请指出群(S, ?)中每个元素的逆元素。

7. （2分）设群G中的元素a的周期为8，则a6的周期是多少？ 8. （2分）写出模12剩余环中所有的零因子。

9. （2分）在整数环Z中，包含主理想（21）的极大理想有哪些？ 10. （2分）若子群H在群G中指数是2，则H一定是G的正规子群吗？ 11. （2分）在12元循环群(a)中，求子群（a3）的所有陪集。

12. （2分）设G是由a生成的6元循环群，设σ（n）=an是整数加法群（Z，+）到G内的映射，则σ是同态映射吗？如果是，求出σ的同态核。

第二章 命题逻辑

§2.2 主要解题方法

2.2.1 证明命题公式恒真或恒假

主要有如下方法：

方法一. 真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每

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一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。

真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。

例2.2.1 说明 G= (P?Q?R)?(P?Q)?(P?R)是恒真、恒假还是可满足。

解：该公式的真值表如下：

P Q R P?QP?(P?QP?R G ?R Q ?R)?(P?Q) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 表2.2.1

由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故

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1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 G恒真。

方法二. 以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。

例2.2.2

一、简答题（共20小题，每小题2分，共40分，不必证明，直接给出答案即可）

1. 设S={a,b,c,d}，定义ρ(S)上的二元运算“－”，使对于任意A、B ρ(S)，A－B={x|x A且x B}，问：该运算满足消去律吗？ρ(S)上存在幂等元吗？

2. 所有的4元群都同构吗？所有的7元群都同构吗？

3. 整区中是否存在零因子？整区中所有非零元素的乘法周期都相等吗？

4. 设循环群G=(a)，|G|=24，则G中是否存在周期为5的元素？是否存在8元子群？

5. 设a GF(27)且a≠0，求6a和a26。

6. 在R13求2

4-4。

7. 设（G，·）是群，请给出满足方程a·b·x·c =1的解x，其中：1是G的单位元，a、b、c G。

8. 设G={e,a,b,c,d,f,g},（G，·）是群，e是G的单位元，计算a·b·c·d·f·g等于多少？

9. 设循环群G=(a)，H是G子群，则H是正规子群吗？

10. 写出模12剩余环的一个极大理想。

11. 域F上的非0多项式f(x)有k（k为非负整数）重根，则f(x)一定可约吗？

12. 给出多项式x5+5x4+2x3

一、简答题（共20小题，每小题2分，共40分，不必证明，直接给出答案即可）

1. 设S={a,b,c,d}，定义ρ(S)上的二元运算“－”，使对于任意A、B?ρ(S)，A－B={x|x?A且x?B}，问：该运算满足消去律吗？ρ(S)上存在幂等元吗？ 2. 所有的4元群都同构吗？所有的7元群都同构吗？

3. 整区中是否存在零因子？整区中所有非零元素的乘法周期都相等吗？

4. 设循环群G=(a)，|G|=24，则G中是否存在周期为5的元素？是否存在8元子群？

5. 设a?GF(27)且a≠0，求6a和a26。 6. 在R13求

24-4。

7. 设（G，·）是群，请给出满足方程a·b·x·c =1的解x，其中：1是G的单位元，a、b、c?G。

8. 设G={e,a,b,c,d,f,g},（G，·）是群，e是G的单位元，计算a·b·c·d·f·g等于多少？

9. 设循环群G=(a)，H是G子群，则H是正规子群吗？ 10. 写出模12剩余环的一个极大理想。

11. 域F上的非0多项式f(x)有k（k为非负整数）重根，则f(x)一定可约吗？ 12. 给出多项式x5+5x4+2x3+3x+1的一个有理根。

13. 在R2上给出两个多项式f(x)和g(x)，

离散数学标准化作业纸 专业班级 学号 姓名 第一章 命题逻辑的基本概念

一、判断下列语句是否是命题，若是命题是复合命题则请将其符号化 （1）中国有四大发明。 （2）2是有理数。 （3）“请进！”

（4）刘红和魏新是同学。 （5）a+b

（6）你去图书馆吗？

（7）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。

（8）侈而惰者贫，而力而俭者富。（韩非：《韩非子?显学》） （9）火星上有生命。 （10）这朵玫瑰花多美丽啊！

二、将下列命题符号化，其中p:2<1,q:3<2 （1）只要2<1，就有3<2。 （2）如果2<1，则3?2。 （3）只有2<1，才有3?2。 （4）除非2<1，才有3?2。 （5）除非2<1，否则3?2。 （6）2<1仅当3<2。 三、将下列命题符号化

(1)小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨。 (2)王栋生于1992年或1993年。

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离散数学标准化作业纸 专业班级 学号 姓名 四、设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r) （2）（p?r）

17春《离散数学》作业_1

一、单选题 ( 每题5分, 共20道小题, 总分值100分 )

1.

(5分)

? ? ? ?

是否存疑

A. (A) B. (B) C. (C)

D. (D)

2.

? ? ? ?

是否存疑

(5分)

A. A B. B

C. C

D. D

3.(5分)

f1:[0,π/2],f1(x)=sinx 是区间[0,π/2]到区间[0，1] A 单射 B 满射 C 双射

? ? ? ?

是否存疑

A. A错误

B. B C. C D. D

4.(5分)

? ? ? ?

是否存疑

A. A

B. B C. C D. D

5.(5分)

? ? ?

A. (A) B. (B) C. (C)

?

是否存疑

D. (D)

6.

(5分)

? ? ? ?

是否存疑

A. A B. B

C. C

D. D

7.

(5分)

? ? ? ?

A. A B. B

C. C

D. D

是否存疑

8.在5个结点的二元完全树中，若有4条边，则有 ( )片树叶。(5分)

? ? ? ?

是否存疑

A. 2

B. 3

C. 5 D. 4

9.(5分)

? ? ? ?

是否存疑

A. A

B. B

C. C D. D

10.同类型的代数系统不具有的特征

-离散数学 专业班级 学号 姓名 第一章 命题逻辑的基本概念

一、单项选择题

1．下列语句中不是命题的有（ ）.

A 9+5?12 B. 1+3=5 C. 我用的电脑CPU主频是1G吗？D.我要努力学习。 2. 下列语句是真命题为( )．

A. 1+2=5当且仅当2是偶数 B. 如果1+2=3，则2是奇数 C. 如果1+2=5，则2是奇数 D. 你上网了吗？ 3. 设命题公式?p( )

?(q?r),则使公式取真值为1的p，q，r赋值分别是

(B)0,0,1(C)0,1,0(D)1,0,0

(A)0,0,04. 命题公式(p?q)?q为 ( )

(A) 矛盾式 (B) 仅可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式 5. 设p:我将去市里,q：我有时间．

命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为为( )

(A)q?p(B)p?q(C)p?q(D)?p??q 6．设P：我听课,Q：我看小说. “我不能一边听课，一边看小说”的符号为（ ） A. P??Q ； B. ?P?Q； C. ?Q

离散数学形成性考核作业（一）

集合论部分

分校_________ 学号____________ 姓名___________ 分数___________ 本课程形成性考核作业共4次，内容由中央电大确定、统一布置。本次形考作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的形考作业，字迹工整，抄写题目，解答题有解答过程。

第1章 集合及其运算

1．用列举法表示 “大于2而小于等于9的整数” 集合．

2．用描述法表示 “小于5的非负整数集合” 集合．

3．写出集合B={1, {2, 3 }}的全部子集．

4．求集合A={?,{?}}的幂集．

5．设集合A={{a }, a }，命题：{a }?P(A) 是否正确，说明理由．

6．设A?{1,2,3},B?{1,3,5},C?{2,4,6},求 (1)A?B (2)A?B?C

(3)C - A (4)A?B

7．化简集合表示式：((A?B )?B) - A?B．

8．设A

第一章

1. 假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A

和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。

试求： P(?) P(P(?)) P(P(P(?)))

2. (1) (2) (3)

3. 在1?200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？

能被5整除的有40个， 能被15整除的有13个，

∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。

第三章

1. (1) (2) (3) (4) (5)

下列语句是命题吗？ 2是正数吗？ x2+x+1=0。 我要上学。

明年2月1日下雨。

如果股票涨了，那么我就赚钱。

2. 请用自然语言表达命题(p??r)?(q??r)，其中p、q、r为如下命题： p：你得流感了

q：你错过了最后的考试 r：这门课你通过了

3. 通过真值表求p?(p?(q?p))的主析取范式和主合取范式。

4. 给出p?(q?s),q,p??r?r?s的形式证明。

第四章

1. 将?x(C(x)??y(C(y)?F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同

班同学，个体域是学校全体