数学中的折纸问题

数学中的折纸问题

1 折出黄金分割比

众所周知的分线段为黄金分割比：

5?12?0.618。这是个美妙的比例，实质上是“将

线段为不相等的两段，使长段为全线段和短线段的比例中项”。黄金分割比的作图并不难，但步骤较为复杂

［2］

FDECBGA。如果用折纸的办法，

我们就可以轻轻松松地将它展示出来。如图1所示，将AD折叠到AB上，D为正方形纸片EF 的中点，则为边BF的黄金分割点［3］。

简证如下：令∠DAG＝?，由折纸的对称性知∠BAC＝而求得：tan?2?5?12BCAB?5?12。也即C

图112?，又tan??DGAG?2，从

，即

BCAB?5?12。

122 折出30°和60°角

对于我们当中经常折纸的人,折出90°和45°角几乎是一种本能,而折出30°和60°角，其中包含的数学内容就稍微难理解些。折

（1）（2）图2（3）出30°和60°角的方法主要是基于直角三角形的一个性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半

［4］

21。

图2所展示的是在长方形纸片的一条边中点折出60°角的方法。将左上角顶点折叠到右边长一条

14（1）（2）图3（3）折痕上，可以在纸片

上边的中点产生三个相等的60°角。

如果我们再将右上角也折叠过来，使两个角的顶点重合，那么，此

数学中的折纸问题

1 折出黄金分割比

众所周知的分线段为黄金分割比：

5?12?0.618。这是个美妙的比例，实质上是“将

线段为不相等的两段，使长段为全线段和短线段的比例中项”。黄金分割比的作图并不难，但步骤较为复杂

［2］

FDECBGA。如果用折纸的办法，

我们就可以轻轻松松地将它展示出来。如图1所示，将AD折叠到AB上，D为正方形纸片EF 的中点，则为边BF的黄金分割点［3］。

简证如下：令∠DAG＝?，由折纸的对称性知∠BAC＝而求得：tan?2?5?12BCAB?5?12。也即C

图112?，又tan??DGAG?2，从

，即

BCAB?5?12。

122 折出30°和60°角

对于我们当中经常折纸的人,折出90°和45°角几乎是一种本能,而折出30°和60°角，其中包含的数学内容就稍微难理解些。折

（1）（2）图2（3）出30°和60°角的方法主要是基于直角三角形的一个性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半

［4］

21。

图2所展示的是在长方形纸片的一条边中点折出60°角的方法。将左上角顶点折叠到右边长一条

14（1）（2）图3（3）折痕上，可以在纸片

上边的中点产生三个相等的60°角。

如果我们再将右上角也折叠过来，使两个角的顶点重合，那么，此

随堂检测题

日 一 二 三 四 五 六 3 4 5 6 7 1 8 2 9 日 一 二 三 四 五 六 3 4 5 6 7 1 8 2 9 日 一 二 三 四 五 六 3 4 5 6 7 1 8 2 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 （备用月历）

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 一、基础过关：

a b 1、在日历上现用一长方形框在日历中任意框出4个数 ， 横行上相邻两数a、b之 c d

间的关系________，竖列上相邻两数之间a、c的关系________。对角a, d之间的关系________，对角b、c之间的关系________，a、b、c、d之间的关系___ _____。

2、设最小的数为x，则月历上用正方形框出4个数中最大的数表示为（ ）。

数学竞赛中的数论问题 韩熙

引言

数论的认识：数论是关于数的学问，主要研究整数，重点对象是正整数，对中学生可以说，数论是研究正整数的一个数学分支．

什么是正整数呢？人们借助于“集合”和“后继”关系给正整数（当时也即自然数）作过本质的描述，正整数1，2，3， 是这样一个集合N ：

（1）有一个最小的数1．

（2）每一个数a的后面都有且只有一个后继数a；除1之外，每一个数的都是且只是一个数的后继数．

这个结构很像数学归纳法，事实上，有这样的归纳公理：

（3）对N 的子集M，若1 M，且当a M时，有后继数a M，则M N ． 就是这么一个简单的数集，里面却有无穷无尽的奥秘，有的奥秘甚至使得人们怀疑：人类的智慧还没有成熟到解决它的程度．比如，哥德巴赫猜想：

1742年6月7日，普鲁士派往俄国的一位公使哥德巴赫写信给欧拉，提出“任何偶数，由4开始，都可以表示为两个素数和的形式，任何奇数，由7开始，都可以表示为三个素数的和．后者是前者的推论，也可独立证明（已解决）．“表示为两个素数和的形式”就是著名的哥德巴赫猜想，简称1+1．

欧拉认为这是对的，但证不出来．

1900年希尔伯特将其归入23个问题中的第8个问题． 1966年陈景润证得：一个素数+素数 素数（

随堂检测题

日 一 二 三 四 五 六 3 4 5 6 7 1 8 2 9 日 一 二 三 四 五 六 3 4 5 6 7 1 8 2 9 日 一 二 三 四 五 六 3 4 5 6 7 1 8 2 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 （备用月历）

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 一、基础过关：

a b 1、在日历上现用一长方形框在日历中任意框出4个数 ， 横行上相邻两数a、b之 c d

间的关系________，竖列上相邻两数之间a、c的关系________。对角a, d之间的关系________，对角b、c之间的关系________，a、b、c、d之间的关系___ _____。

2、设最小的数为x，则月历上用正方形框出4个数中最大的数表示为（ ）。

数学竞赛中的数论问题 韩熙

引言

数论的认识：数论是关于数的学问，主要研究整数，重点对象是正整数，对中学生可以说，数论是研究正整数的一个数学分支．

什么是正整数呢？人们借助于“集合”和“后继”关系给正整数（当时也即自然数）作过本质的描述，正整数1，2，3， 是这样一个集合N ：

（1）有一个最小的数1．

（2）每一个数a的后面都有且只有一个后继数a；除1之外，每一个数的都是且只是一个数的后继数．

这个结构很像数学归纳法，事实上，有这样的归纳公理：

（3）对N 的子集M，若1 M，且当a M时，有后继数a M，则M N ． 就是这么一个简单的数集，里面却有无穷无尽的奥秘，有的奥秘甚至使得人们怀疑：人类的智慧还没有成熟到解决它的程度．比如，哥德巴赫猜想：

1742年6月7日，普鲁士派往俄国的一位公使哥德巴赫写信给欧拉，提出“任何偶数，由4开始，都可以表示为两个素数和的形式，任何奇数，由7开始，都可以表示为三个素数的和．后者是前者的推论，也可独立证明（已解决）．“表示为两个素数和的形式”就是著名的哥德巴赫猜想，简称1+1．

欧拉认为这是对的，但证不出来．

1900年希尔伯特将其归入23个问题中的第8个问题． 1966年陈景润证得：一个素数+素数 素数（

超市中的数学问题

组长及课题组成员名单：-------

指导老师：

日期：

摘要：通过对超市中统计问题的研究，获得了各组统计数据，采用了多种的统计方法和各样的统计图，直观反映出超市销售额的变化情况，可以从中看出超市的销售状况，学会计算利润的方法，以及如何提高超市的营业额及帮助超市获得最大的利益。

关键字：统计、利润

一、课题背景

超市中存在着各种各样的数学问题，商品的价格、质量、面积、体积，甚至是超市的营业额，获得的利润都与数学有着千丝万缕的联系，尤其是超市的营业额，是超市经营者最关心的问题，也是超市经营的最终目标，而这正需要统计学

的知识才能得到结论，找到获得利润的最有效方法，反映数与量之间的关系，及数量的变化趋势。

二、课题目的

运用统计图解决超市中的数学问题，学会研究性学习的基本方法，在帮助超市解决利润问题的同时，也学到了经验，为解决生活中的数学问题找到方法。最重要的还是锻炼自己，作为中学生，应在积极的参加研究性学习活动中，培养团结同学，积极思考，勇于探索的品质，还可以增加同学们学习数学的热情，

学到统计方面的方法及获得最大利润的方法，这就是我们的研究目标。

三、课题研究的方法

研究性学习的方法有很多，如文献资料研究法、案例法、观察法、实验法以及调查法，虽然采用

数学竞赛中的数论问题 罗增儒

引言

数论的认识：数论是关于数的学问，主要研究整数，重点对象是正整数，对中学生可以说，数论是研究正整数的一个数学分支．

什么是正整数呢？人们借助于“集合”和“后继”关系给正整数（当时也即自然数）作过本质的描述，正整数1，2，3，?是这样一个集合N?：

（1）有一个最小的数1．

（2）每一个数a的后面都有且只有一个后继数a；除1之外，每一个数的都是且只是一个数的后继数．

这个结构很像数学归纳法，事实上，有这样的归纳公理：

（3）对N?的子集M，若1?M，且当a?M时，有后继数a?M，则M?N?． 就是这么一个简单的数集，里面却有无穷无尽的奥秘，有的奥秘甚至使得人们怀疑：人类的智慧还没有成熟到解决它的程度．比如，哥德巴赫猜想：

1742年6月7日，普鲁士派往俄国的一位公使哥德巴赫写信给欧拉，提出“任何偶数，由4开始，都可以表示为两个素数和的形式，任何奇数，由7开始，都可以表示为三个素数的和．后者是前者的推论，也可独立证明（已解决）．“表示为两个素数和的形式”就是著名的哥德巴赫猜想，简称1+1．

欧拉认为这是对的，但证不出来．

1900年希尔伯特将其归入23个问题中的第8个问题． 1966年陈景润证得

中班手工折纸教案《美丽的小船》 目的要求

1、引导幼儿制作各种各样的船，在活动中为幼儿提供各种各样的纸，还有各种各样的作画材料，启发幼儿在做完各种各样的小船后，再运用剪贴、绘画等组合方法来进行，让大部分能力较强的幼儿有创作的空间。

2、在折一折、做一做、玩一玩中，训练幼儿手、 眼、脑协调并用的能力。

准备各种图片、录象带。糖纸、废旧报纸、各种颜色、形状的纸。各种绘画材料、水等。 活动过程：

一、认识各种各样的船。

1、先让幼儿通过观看图片、录象和现实生活中的船，让他们系统浅显地观察了解小船的外部特征。

2、让幼儿说说小船的特征，还有用处。 3、激发幼儿对制作小船的兴趣。 4、先让幼儿用纸折最简单的小船。 5、评价。

二、折纸小船 。

1、先出示各种小船，引起幼儿的兴趣。 2、出示折纸示意图，让幼儿看折，学习用对折、三角折等方法折成小船。 3、培养幼儿折纸兴趣和初步的相互合作能力。 4、评价。 三、折纸美丽的船

1、出示各种各样的小船，引起幼儿对制作小船的兴趣，运用折叠、涂色块的方法来表现不同的小船。

2、让幼儿发展想象力、创造力。最主要是培养幼儿的动手能力。 3、评价作品 四、玩小船 。

1、先让通

大人常常以为玩就是浪费时间。我每次玩耍的时候，妈妈就会大声说：“赶快去学习！”妈妈似乎不知道玩并不是毫无用处的。

今天，我在家里玩对折纸片儿。我手边有一张小小的卡纸。一张餐巾纸还有一张很大的A4纸。

我先拿起小卡纸，开始对着起来。这片小卡纸是正方形的。第一次对折，折出了一个长方形。第二次对折，又成了一个正方形。第三次长方形，第四次正方形。小小的卡纸变得越来越小。现在变得非常的硬，当我折完第五次的时候。无论如何，再也折不动啦。

我拿起餐巾纸，它很软，而且比那张小卡纸大了许多。我想，这张餐巾纸一定能比小卡纸折的次数要多一些。第一次我上下折折成了一个长方形，就这样，我一折的，直到第六次再也折不动了。我往下面压餐斤纸，力图能够再折一次，压完以后发现只能再折一次就再也折不动啦。软软的餐巾纸，这个时候变成了硬硬的纸板，鼓鼓的就像一个小馒头儿。 (范文网 www.2388mu.com)

小卡纸、餐巾纸都折不了几次，这次我拿的可是很大的一张A4纸。一定能折很多次吧。A4纸是长方形的，折第一次它是长方形，第二次还是长方形，当我折到第五次的时候。无论如何再也折不动啦。这时的A4纸，变得厚厚的、硬硬的。

让我不明白的是，为什么小小的卡纸和很大的餐巾纸都折不了几次就折不动了呢