随机变量的特征函数一定存在

第四章 大数定律与中心极限定理

4.1特征函数

内容提要

1. 特征函数的定义 设X 是一个随机变量,称)()(itX e E t =?为X 的特征函数,其表达式如下

(),()().(), 在离散场合， 在连续场合，itx i i itX itx x e P X x t E e t e p x dx ?+∞-∞

?=?==-∞<<+∞???∑? 由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 的特征函数)(t ?总是存在的.

2. 特征函数的性质 (1) 1)0()(=≤??t ; (2) ),()(t t ??=-其中)(t ?表示)(t ?的共 轭;

(3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 是常数.则);()(at e t X ibt Y ??=

(4) 若X 与Y 是相互独立的随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ????=+

(5) 若()l E X 存在,则)(t X ?可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =?

(6) 一致连续性 特征函数)(t ?在),(+∞-∞上一致连续

(7) 非负定性 特征函数)(t ?是非负定的,即对任意正整数n ,及n 个实数n t t t ,,,21 和n 个复数n z z z ,,21,有 ;0)(11≥-∑

青岛大学学士学位论文

随机变量的数字特征（期望、方差、协方差）

及其应用

学 院： 数学与统计学院 姓 名： 宋飞 专 业： 信息与计算科学 学 号： 201341702053 指导教师： 宋丽娜 职 称： 副教授

青岛大学学士学位论文

随机变量的数字特征（期望、方差、协方差）及其应用

摘要：伴随着人类思想的进步与发展，实际问题的概率化思想已经深刻的融入在

了生活的方方面面。然而，在很多事件发生的可能性的层面上来说，其结果往往会呈现出不确定性，在很多次重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们将其称为随机现象。把每件事情的发生与否抽象成随机变量，于是在某些实际问题或者理论问题中人们感兴趣于某些能描述随机变量某一种特征的常数，这种由随机变量的分布所确定的，能够描述随机变量某一方面的特征的常数统称为数字特征，它在理论和实际应用中都很重要。本文对随机变量的几个重要的数字特征（包含数学期望、方差、协方差）进行了相应的研究。在探究求每个不同的数字特征所各

2.1 随机变量及其

分布函数一、随机变量 二、分布函数

一、随机变量例1 抛一枚硬币,观察正面 1,反面 2出 现的情况: 样本空间 ={ 1, 2} 引入一个定义在 上的函数 X : 1, 1 X X ( ) 0, 2

由于试验结果的出现是随机的,因此 X( )的取值也是随机的

例2 从包含两件次品(a1,a2)和三件正品 (b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:样本空间为: ={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1}, {a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}

以X表示抽取的两件产品中包含的 次品个数,则X是定义在 上的一个函数 即 X=X( ),

具体写出这个函数如下: 0 , ( b 1 , b 2 ), ( b 1 , b 3 ), ( b 2 , b 3 ) 1 , ( a 1 , b 1 ), ( a 1 , b 2 ), ( a 1 , b 3 ) X X ( ) ( a 2 , b 1 ), ( a 2 , b 2 ), ( a 2 , b 3 ) 2,

2.1 随机变量及其

分布函数一、随机变量 二、分布函数

一、随机变量例1 抛一枚硬币,观察正面 1,反面 2出 现的情况: 样本空间 ={ 1, 2} 引入一个定义在 上的函数 X : 1, 1 X X ( ) 0, 2

由于试验结果的出现是随机的,因此 X( )的取值也是随机的

例2 从包含两件次品(a1,a2)和三件正品 (b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:样本空间为: ={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1}, {a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}

以X表示抽取的两件产品中包含的 次品个数,则X是定义在 上的一个函数 即 X=X( ),

具体写出这个函数如下: 0 , ( b 1 , b 2 ), ( b 1 , b 3 ), ( b 2 , b 3 ) 1 , ( a 1 , b 1 ), ( a 1 , b 2 ), ( a 1 , b 3 ) X X ( ) ( a 2 , b 1 ), ( a 2 , b 2 ), ( a 2 , b 3 ) 2,

大学教学课件,PPT,随机过程,概率论

第三节

随机变量的分布函数

一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、例题讲解 四、小结

大学教学课件,PPT,随机过程,概率论

一、分布函数的概念1.概念的引入对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率. 例如 求随机变量 X 落在区间 ( x1 , x2 ] 内的概率P{ x1 X x2 } P{ X x2 } P{ X x1 }

?

F ( x2 ) P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ).

F ( x1 ) 分布 函数

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2.分布函数的定义定义 设 X 是一个随机变量, x 是任意实数,函数 F ( x ) P{ X x } 称为X的分布函数.

说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况.( 2)分布函数 F ( x ) 是 x 的一个普通实函数.

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实例

抛掷均匀硬币, 令 1, X 0, 出正面, 出反面.

求随机变量 X 的分

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第三节

随机变量的分布函数

一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、例题讲解 四、小结

大学教学课件,PPT,随机过程,概率论

一、分布函数的概念1.概念的引入对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率. 例如 求随机变量 X 落在区间 ( x1 , x2 ] 内的概率P{ x1 X x2 } P{ X x2 } P{ X x1 }

?

F ( x2 ) P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ).

F ( x1 ) 分布 函数

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2.分布函数的定义定义 设 X 是一个随机变量, x 是任意实数,函数 F ( x ) P{ X x } 称为X的分布函数.

说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况.( 2)分布函数 F ( x ) 是 x 的一个普通实函数.

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实例

抛掷均匀硬币, 令 1, X 0, 出正面, 出反面.

求随机变量 X 的分

第三节 二维随机变量函数的分布

在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，考虑全国年龄在40岁以上的人群，用X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示这个人的血压，并且已知Z与X，Y的函数关系式

Z?g(X,Y), 现希望通过(X,Y)的分布来确定Z的分布. 此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题.

在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系: (i) Z?X?Y;

(ii) Z?max{X,Y}和Z?min{X,Y}，其中X与Y相互独立.

注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到n个随机变量函数的分布问题只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异.

内容分布图示

★ 引言

★ 离散型随机向量的函数的分布

★ 例1 ★ 例2

★ 连续型随机向量的函数的分布 ★ 连续型随机向量函数的联合概率密度 ★ 和的分布 ★ 例6 ★ 正态随机变量的线性组合

★ 例8 ★ 例9 ★ 商的分布 ★ 例11 ★ 积的分布 ★ 最大、最小

第四章 随机变量的数字特征

§4.1 数学期望 §4.2 方差

一、填空题

1. 同时投掷三个骰子直到3颗骰子出现的点数之和是奇数时为止，问所需投掷次数的平均值为 2 ；

2.已知随机变量X的分布律为:

X?xi 0 0.2 1 0.3 2 0.1 3 0.2 4 0.3 P?X?xi? 则Y?g(X)?5X2?X?1的期望E(Y)? 37.7 ；

3.已知随机变量X~B?n,p?,E(X)?2.4,D(X)?1.44,则二项分布的参数为 n? 6 , p? 0.4 ；

4. 设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且已知E(X?1)(X?2)?2，则?? 2 ； 5. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E(X?e?2X)? 4/3 ； 6. 若X、且E(X)?2,E(Y)?5,则E(3X?5Y)?–19 Y是两个相互独立随机变量，.若D(X)?2,D(Y)?5,则D(3X?5Y)? 143 ；

7.已知连续型随机变量X的概率为f(X)?1 ,X的方差为 0.5 ；

8. 设随机变量X的概率分布为P?X?k??二、选择题

Ck!1??x?2x?12e,则X的数学期望为

，k?0,1,2,?，

概率论与数理统计(苏德矿版)课件

第四章 随机变量的数字特征 我们知道,随机变量的分布列或概率密度,全面 地描述了随机变量的统计规律.但在许多实际问 题中,这样的全面描述并不使人感到方便.

已知一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如 果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要 比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就 可以了.平均值大就意味着这个品种的母鸡的产 蛋量高.如果不去比较它们的平均值,而只看它们 的分布列,虽然全面,却使人不得要领,既难以掌握 ,又难以迅速地作出判断.

概率论与数理统计(苏德矿版)课件

§1 随机变量的数学期望§1.1 离散型随机变量的数学期望 例：有A,B两射手，他们的射击技术如表所 示，试问哪一个射手本领较好？射手名称 击中环数 概率 8 0.3 A 9 0.1 10 0.6 8 0.2 B 9 0.5 10 0.3

概率论与数理统计(苏德矿版)课件

例:某手表厂在出厂产品中,抽查了N=100只手 表的日走时误差,其数据如表:日走时误差xk 只数Nk -2 3 -1 10 0 17 1 28 2 21 3 16 4 5

则抽查到的100只手表的平均日走时误差为x

xk

k

Nk

N

( 2) 3

教 案

课程名称 概率统计 授课教师 职 称 系（部）

教 研 室

2013 —2014 学年 第 二 学期

授课对象： 本、专科 2012 （年）级 专业 1 班

本、专科 （年） 级 专业 班 本、专科 （年） 级 专业 班

教案书写与使用要求

1、教师在授课前两周完成教案书写，并由教研室主任亲自审批（教研室主任的教案由系部教学主任代签），教师必须携带教案上课。每次教案只可使用一轮课；在授课对象的专业、层次相同，使用同版次教材且授课内容及学时数完全一致的情况下，可使用同一本教案，否则不允许通用。

2、封面填写：不能空项，各项要写全称；授课对象：选择本科或专科