多元隐函数的偏导数求法

Lihai--

2010.03.06 Math School, Sichuan University

大学数学Ⅱ: 微积分(2)

数学学院李海

Cell phone: 13550068363email: alihai@

2010-4-23Mathematics II: Calculus (2)

Lihai--2

2010.03.06 Math School, Sichuan University

由方程确定的函数

Lihai--2010.03.06 Math School, Sichuan University

由方程确定的函数关系

Example0: 很多联系两个变量的函数关系往往由二元方程来确定, 例如:

222x+(y－b)=r

表示一个圆, 当r=C时也可以解出函数关系,如:

在绿色区域:y=b±在红色区域:x= 又如: xy=C表示一对双曲线

.

方程参数的影响

Example0+: 方程参数的赋值范围, 往往影

响函数关系的成立区域. 如果方程为:

e

x

++

C=0 则当参数C<0时, 此方程决定一个实函数:

而当参数数. 若在复数域上建立函数关系C>0时, 此方程不能决定一个实函

, 不受限制

.

Lihai--2010.03.0

讨论多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系

祁丽梅

赤峰学院数学与统计学院 ，赤峰 024000

摘要: 本文先是对二元函数连续性、偏导数存在及可微之间的关系就具体实例进行了讨论，然后推广到多元函数由此来总结有关多元函数微分学中关于上述三个概念之间的关系，并通过二元函数具体的实例详细加以证明。

关键词: 二元函数；多元函数；连续；偏导数；存在；可微

一、引言

多元函数微分学是数学学习中的重要内容,是微积分学在多元函数中的具体体现，多元函数的连续性，偏导数存在及可微性之间的关系是学生在数学学习中易发生的概念模糊和难以把握的重要知识点。尽管它与一元函数的微分学有许多共同点，但它们之间也同样有一些差异，这些差异是由“多元”这一特殊性引起的。

二、二元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系

1、若二元函数f在其定义域内某点可微，则二元函数f在该点偏导数存在，反过来则不一定成立。

可微的必要条件：

若二元函数在p0?x0,y0?可微，则二元函数z?f?x,y?在p0?x0,y0?存在两个偏导数，且全微分

dz?A?x?B?y中的A与B分别是A?fx??x0,y0?与B?fy??x0,y0?

其中?x,?y为变量x,y的改变量，则?x?dx,

多元函数的极值与最值的求法

摘要

在实际问题中, 往往会遇到多元函数的最大值、最小值问题.多元函数的最大值、最小值问题与极大值、极小值有密切联系.

求多元函数极值, 一般可以利用偏导数来解决.与一元函数相类似, 可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值，但是由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性. 这里主要讨论二元函数, 对于二元以上的函数极值可以类似加以解决. 求多元函数的极值,本文主要采用以下方法：（1）利用二元函数的偏导数求二元函数极值；（2）拉格朗日乘数法求极值；（3）用几何模型法求解极值;（4）通过Jacobi 矩阵求条件极值；(5)利用参数方程求极值;(6)利用方向导数判别多元函数的极值;(7)用梯度法求极值.

对多元函数的最值问题,我们主要采用的方法有：（1）消元法；（2）均值不等式法；（3）换元法；（4）数形结合法；（5）柯西不等式法；（6）向量法.除此之外，很重要的一种就是：考虑极值与最值的关系，运用极值法求最值.

关键词:多元函数，极值，最值，方法

、

Methods for Calculating Extremum and the most Value of Multivariable

Fun

大学数学专业毕业论文,系统介绍多元函数的极值与最值的多种求法!

多元函数的极值与最值的求法

摘要

在实际问题中, 往往会遇到多元函数的最大值、最小值问题.多元函数的最大值、最小值问题与极大值、极小值有密切联系.

求多元函数极值, 一般可以利用偏导数来解决.与一元函数相类似, 可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值，但是由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性. 这里主要讨论二元函数, 对于二元以上的函数极值可以类似加以解决. 求多元函数的极值,本文主要采用以下方法：（1）利用二元函数的偏导数求二元函数极值；（2）拉格朗日乘数法求极值；（3）用几何模型法求解极值;（4）通过Jacobi 矩阵求条件极值；(5)利用参数方程求极值;(6)利用方向导数判别多元函数的极值;(7)用梯度法求极值.

对多元函数的最值问题,我们主要采用的方法有：（1）消元法；（2）均值不等式法；（3）换元法；（4）数形结合法；（5）柯西不等式法；（6）向量法.除此之外，很重要的一种就是：考虑极值与最值的关系，运用极值法求最值.

关键词:多元函数，极值，最值，方法

、

大学数学专业毕业论文,系统介绍多元函数的极值与最值的多种求法!

Methods for Calculatin

中南大学,高等数学,微积分,课件

中南大学,高等数学,微积分,课件

一、隐函数的导数定义:由方程所确定的函数 y y( x )称为隐函数 .y f ( x ) 形式称为显函数F ( x, y) 0 y f (x)

.

隐函数的显化

问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?

隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.

中南大学,高等数学,微积分,课件

例1 求由方程y 的导数

xy e ex

y

0 所确定的隐函数

dy dx

,

dy dxx 0

.

解

方程两边对

x 求导 ,x

y x

dy dx

ee

e yy

y

dy dx

0

解得 dy dx

dy dx

x

x eex

,

由原方程知

x 0, y 0,

x 0

yy x 0 y 0

x e

1.

中南大学,高等数学,微积分,课件

例2 设曲线 C 的方程为 x 3 y 3 3 xy , 求过 C 上3 3 点 ( , )的切线方程 2 2 线通过原点 .x 求导 ,3 x 3 y y 3 y 3 xy 2 2

, 并证明曲线

C 在该点的法

解

方程两边对

y

3 3 ( , ) 2 2

y x2

2

y x

(

3 3 , ) 2 2

1.

所求切线方程为 y 法线

函数极值的几种求法

──针对高中生所学知识

摘 要：函数是数学教学中一个重要的组成部分，从小学六年级的一元一次方程继而延伸到初中的一次函数，二次函数的初步介绍，再到高中的函数的单调性、周期性、最值、极值，以及指数函数、对数函数、三角函数的学习，这些足以说明函数在数学教学中的地位。极值作为函数的一个重要性质，无论是在历年高考试题中，还是在实际生活运用中都占有不可或缺的地位。本文主要阐述了初高中常见的几种函数，通过函数极值的相关理论给出每种函数极值的求解方法。

关键词：函数；单调性；导数；图像；极值

Abstract: Function is an important part of mathematics teaching. First the learning of linear equation in six grade, secondly the preliminary introduction of linear functions and quadratic functions in junior high school, then the monotonicity, the periodicity, t

实验六 多元函数的极值

【实验目的】

1． 多元函数偏导数的求法。 2． 多元函数自由极值的求法 3． 多元函数条件极值的求法.

4． 学习掌握MATLAB软件有关的命令。

【实验内容】

求函数z?x?8xy?2y?3的极值点和极值

42【实验准备】

1．计算多元函数的自由极值

对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:

步骤1.定义多元函数z?f(x,y)

步骤2.求解正规方程fx(x,y)?0,fy(x,y)?0,得到驻点

?2z?2z?2z步骤3.对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数A?,B?,C?2, 2?x?y?x?y步骤4. 对于每一个驻点(x0,y0),计算判别式AC?B,如果AC?B?0,则该驻点是极值点,当A?0为极小值, A?0为极大值;,如果AC?B?0,判别法失效,需进一步判断; 如果AC?B?0,则该驻点不是极值点.

2．计算二元函数在区域D内的最大值和最小值

设函数z?f(x,y)在有界区域D上连续，则f(x,y)在D上必定有最大值和最小值。求f(x,y)在D上的最大值和最小值的一般步骤为：

步骤1. 计算f(x,y)在D内所有驻点处的函数值；

步骤2. 计算f(x,

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函数拐点的判别与求法探讨

摘要：本文主要通过一些典型例题对函数拐点的判别与求法进行了探讨。 包 括利用定义、极值定理、二阶导数变号法、函数奇偶特性等方法进行判别和求之。

关键词：函数；拐点；极值；导数

定义：设函数在区间上连续，在内可导（或导数为无穷大），则曲线凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。下面笔者就对函数拐点的判别与求法作一介绍。

一、利用定义求之

设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，则可按下述步骤判定并求出曲线的拐点：1、求；2、令，求出该方程在内的所有实根；3、对于2中求出的每个实根检查在左、右两侧邻近的符号，如果在左、右两侧邻近分别保持一定符号，那么两侧符号相反时，是拐点；两侧符号相同时，不是拐点。尤其是函数在点连续、存在、不存在的点仍可能是拐点，或者为无穷大的点也可能是拐点。

例1：求下列曲线的拐点坐标

1）；2） ；

解：1） 在内连续，

因为 ，

故无零点，不存在。

当时，；当时，；

故拐点坐标为。

2） === ；

===

令 ，得，当 时， 不存在。

当 从或1左右邻近变动时， 变号，故在 处有拐点 。因为由参数方程确定的函数的定义域为， 为曲线的端点，故不是拐点。

例

函数的微分和逆矩阵求法

数学102班：张学亮 指导教师：连铁艳 （陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021）

一、1.一元函数的高阶微分

定义1 设函数y?f(x)在点x0的某领域U(x0)内有定义，给变量x在x0处一个增量?x，

且xo??x?U(x0)时，相应地函数有增量

?y?f(x0??x)?f(x0)，

如果其增量可表示为

?y?A?x?o(?x)，

其中A不依赖于?x，则称函数y?f(x)在点x0处一阶可微，并称A?x为函数y?f(x)在点x0处的一阶微分，记作dy，即

dy|x?x0?A?x。

可证 A=f'(x0) 即

dy|x?x0?f'(x0)dx。

定义2 设函数y?f(x)在点x0的某领域U(x0)内有定义，给变量x在x0处一个增量?x，且xo??x?U(x0)时，相应地函数有增量

?y?f(x0??x)?f(x0)

如果其增量可表示为

?y?A?x?B2!??x?2?o(?x)，

2其中A，B不依赖于?x，则称函数y?f(x)在点x0处二阶可微，并称A?x，B(?x)为函数

y?f(x)在点x0处的一阶微分、二阶微分，记作dy,dy，即

dy|x?x