多元隐函数偏导数基本公式

Lihai--

2010.03.06 Math School, Sichuan University

大学数学Ⅱ: 微积分(2)

数学学院李海

Cell phone: 13550068363email: alihai@

2010-4-23Mathematics II: Calculus (2)

Lihai--2

2010.03.06 Math School, Sichuan University

由方程确定的函数

Lihai--2010.03.06 Math School, Sichuan University

由方程确定的函数关系

Example0: 很多联系两个变量的函数关系往往由二元方程来确定, 例如:

222x+(y－b)=r

表示一个圆, 当r=C时也可以解出函数关系,如:

在绿色区域:y=b±在红色区域:x= 又如: xy=C表示一对双曲线

.

方程参数的影响

Example0+: 方程参数的赋值范围, 往往影

响函数关系的成立区域. 如果方程为:

e

x

++

C=0 则当参数C<0时, 此方程决定一个实函数:

而当参数数. 若在复数域上建立函数关系C>0时, 此方程不能决定一个实函

, 不受限制

.

Lihai--2010.03.0

讨论多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系

祁丽梅

赤峰学院数学与统计学院 ，赤峰 024000

摘要: 本文先是对二元函数连续性、偏导数存在及可微之间的关系就具体实例进行了讨论，然后推广到多元函数由此来总结有关多元函数微分学中关于上述三个概念之间的关系，并通过二元函数具体的实例详细加以证明。

关键词: 二元函数；多元函数；连续；偏导数；存在；可微

一、引言

多元函数微分学是数学学习中的重要内容,是微积分学在多元函数中的具体体现，多元函数的连续性，偏导数存在及可微性之间的关系是学生在数学学习中易发生的概念模糊和难以把握的重要知识点。尽管它与一元函数的微分学有许多共同点，但它们之间也同样有一些差异，这些差异是由“多元”这一特殊性引起的。

二、二元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系

1、若二元函数f在其定义域内某点可微，则二元函数f在该点偏导数存在，反过来则不一定成立。

可微的必要条件：

若二元函数在p0?x0,y0?可微，则二元函数z?f?x,y?在p0?x0,y0?存在两个偏导数，且全微分

dz?A?x?B?y中的A与B分别是A?fx??x0,y0?与B?fy??x0,y0?

其中?x,?y为变量x,y的改变量，则?x?dx,

1.2.1几个常见函数 的导数公式常数函数与幂函数的导数

复习回顾：1.导数的概念

f ( x) lim'

x 0

y f ( x x) f ( x) lim x x 0 x

2.导数的几何意义

切线的斜率3.导数的物理意义

瞬时速度

4.求函数的导数的方法是: (三步法)

步骤:

(1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );

y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x y f ( x x) f ( x) (3) 求极限 y lim lim x 0 x x 0 x

例题一：

函数y f ( x) c的导数例题二：

函数y f ( x) x的导数

例题一： 函数y f ( x) c的导数 y f x x f x 解： 因为 x x c c 0, x y 所以 y` lim lim 0 0. x 0 x x 0

y

y c

O

x

图1.2 1

几何意义：

f ( x) c在任一点处的切线的斜 率为0在任一时刻的瞬时速度 为0

物理意义：y c表示物体没有运

中南大学,高等数学,微积分,课件

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一、隐函数的导数定义:由方程所确定的函数 y y( x )称为隐函数 .y f ( x ) 形式称为显函数F ( x, y) 0 y f (x)

.

隐函数的显化

问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?

隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.

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例1 求由方程y 的导数

xy e ex

y

0 所确定的隐函数

dy dx

,

dy dxx 0

.

解

方程两边对

x 求导 ,x

y x

dy dx

ee

e yy

y

dy dx

0

解得 dy dx

dy dx

x

x eex

,

由原方程知

x 0, y 0,

x 0

yy x 0 y 0

x e

1.

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例2 设曲线 C 的方程为 x 3 y 3 3 xy , 求过 C 上3 3 点 ( , )的切线方程 2 2 线通过原点 .x 求导 ,3 x 3 y y 3 y 3 xy 2 2

, 并证明曲线

C 在该点的法

解

方程两边对

y

3 3 ( , ) 2 2

y x2

2

y x

(

3 3 , ) 2 2

1.

所求切线方程为 y 法线

一、一个方程的情形对方程

F ( x, y ) 0

(1)

如能确定一个一元隐函数 y 隐函数的导数. 2 2 如 x y

f ( x) 且隐函数可导,

则可将y看成x的函数,对上式直接求导,可求出

1 0

直接对x求导,利用y为x的函数,可得

x 2 x 2 yy 0 y y' '

但必须先明确两个问题: 1) 在什么条件下,方程(1)可以确定隐函数? 2) 如能确定隐函数,其是否可导?

1. F ( x , y ) 0定理1 设函数F(x,y)在点 P( x0 , y0 )的某邻域内具连续 偏导数,且

F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0,

则方程F(x,y)=0在( x0 , y0 ) 的某邻域内能唯一确定一个 可导且具连续导数的函数y=f(x),满足 y0 f ( x0 )

Fx dy dx Fy

隐函数的求导公式

隐函数求导公式的推导 求复合函数

F ( x, y) F ( x, f ( x)) 0的全导数,即得

由Fy 连续,且 Fy ( x0 , y0 ) 0 故存在点 ( x0 , y0 ) 的一邻域,使得在其上Fy 0 从而

dy Fx Fy 0 dx

实验六 多元函数的极值

【实验目的】

1． 多元函数偏导数的求法。 2． 多元函数自由极值的求法 3． 多元函数条件极值的求法.

4． 学习掌握MATLAB软件有关的命令。

【实验内容】

求函数z?x?8xy?2y?3的极值点和极值

42【实验准备】

1．计算多元函数的自由极值

对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:

步骤1.定义多元函数z?f(x,y)

步骤2.求解正规方程fx(x,y)?0,fy(x,y)?0,得到驻点

?2z?2z?2z步骤3.对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数A?,B?,C?2, 2?x?y?x?y步骤4. 对于每一个驻点(x0,y0),计算判别式AC?B,如果AC?B?0,则该驻点是极值点,当A?0为极小值, A?0为极大值;,如果AC?B?0,判别法失效,需进一步判断; 如果AC?B?0,则该驻点不是极值点.

2．计算二元函数在区域D内的最大值和最小值

设函数z?f(x,y)在有界区域D上连续，则f(x,y)在D上必定有最大值和最小值。求f(x,y)在D上的最大值和最小值的一般步骤为：

步骤1. 计算f(x,y)在D内所有驻点处的函数值；

步骤2. 计算f(x,

由导数的运算法则，探究[cf(x)]?等于什么？ 1.1.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）

探究二：导数的四则运算法则的应用 例1：求下列函数的导数 （1）y?x?2x?3 （2）y?x?sinx 33

班级： 姓名： 小组：

学习1.熟练掌握导数的四则运算法则，并能利用公式求简单函数的导数； 目标 2.会运用公式求简单的问题. 学习重点：导数的四则运算法则 重点 难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 难点 学法通过课前自主预习，熟练掌握导数的四则运算法则；小组合作探究得出结论． 指导 （阅读课本15页，独立完成以下题目） 1.导数的四则运算法则： 导数运算法则 (3)y?(2x2?3)(3x?2) sinx （4）y?cosx 例2：求下列函数的导数 (1) y?(2x?5x?1)?e (2)y? 1．下列导数运算正确的是 （ ） 2x课前预习 ?f(x)?g(x)?? '2、?f(x)?g(x)??

①?C'=0(C为常数函数)；???

②?(x^n)'=?nx^(n-1)?(n∈Q*)；熟记1/X的导数???

③?(sinx)'?=?cosx；???(cosx)'?=?-?sinx；???

(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2???

-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2???

(secx)'=tanx·secx???(cscx)'=-cotx·cscx???

(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2???(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2???

(arctanx)'=1/(1+x^2)???(arccotx)'=-1/(1+x^2)???

(arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)???(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)???

④?(sinhx)'=hcoshx???(coshx)'=-hsinhx???

(tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2???(co

7(3)偏导数与全微分

total differentiation

第三节 偏 导 数与全微分partial derivative

偏导数

全微分 连续性与可微性,偏导数 与可微性 小结 思考题 作业第八章 多元函数微分法及其应用1

7(3)偏导数与全微分

偏导数与全微分

一、偏导数1. 定义 设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 )的某邻域

内有定义， 将y固定为y0 , 而x在x0处有增量 x时, 函数有相应的增量 (称为关于x的偏增量).

x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )如果极限 f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) xz lim lim x 0 x x 0 x 存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y )在点( x0 , y0 )处 对x的偏导数, 记为2

7(3)偏导数与全微分

偏导数与全微分

xz f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim lim x 0 x x 0 x

对x的偏导数, 记为 z , f x x0 , , z x 或 f x ( x

7(3)偏导数与全微分

total differentiation

第三节 偏 导 数与全微分partial derivative

偏导数

全微分 连续性与可微性,偏导数 与可微性 小结 思考题 作业第八章 多元函数微分法及其应用1

7(3)偏导数与全微分

偏导数与全微分

一、偏导数1. 定义 设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 )的某邻域

内有定义， 将y固定为y0 , 而x在x0处有增量 x时, 函数有相应的增量 (称为关于x的偏增量).

x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )如果极限 f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) xz lim lim x 0 x x 0 x 存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y )在点( x0 , y0 )处 对x的偏导数, 记为2

7(3)偏导数与全微分

偏导数与全微分

xz f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim lim x 0 x x 0 x

对x的偏导数, 记为 z , f x x0 , , z x 或 f x ( x