3.3.3点到直线的距离教案

必修2 第三章 直线的方程 第四章 圆的方程

§3.3. 3

点到直线的距离

必修2 第三章 直线的方程 第四章 圆的方程

点到直线的距离如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l 的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. y

P

l

Qo x

思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎样求点P到直线l的距离呢?

必修2 第三章 直线的方程 第四章 圆的方程

当A=0或B=0时,直线方程为 y=y1或x=x1的形式.yP (x0,y0) y=y1Q (x0,y1)

y

(x1,y0)Q

P(x0,y0) x x=x1

o

x

o

PQ = y0 - y1

PQ = x 0 - x1

必修2 第三章 直线的方程 第四章 圆的方程

练习15 (1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是______. 3 4 (2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是______. 3

必修2 第三章 直线的方程 第四章 圆的方程

下面设A≠0,B ≠0, 我们进一步探求点 到直线的距离公式:

[思路一] 利用两点间距离公式:y

Pl

Qo x

必修2 第三章 直线的方程 第四章 圆的方程

[思路二] 构

课 题：§1.5点到直线的距离公式

教学目标：

1、知识与技能

（1）让学生理解点到直线距离公式的推导过程 ，掌握点到直线距离公式及

其简单应用；

（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。 2、过程与方法

（1）通过推导公式方法的发现，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、

数学表达等基本数学思维能力；

（2）在推导过程中，渗透数形结合、转化化归等数学思想以及特殊与一般

的方法.

3、情感态度与价值观

引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神。同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣。

教学重点： 点到直线距离公式和简单应用． 教学难点： 点到直线距离公式的推导．

教学方法： 小组讨论、合作探究学习，教师启发讲授。 教学手段: 多媒体教学。 教学过程:

一、复习回顾

前面几节课，我们一起研究学习了两直线的位置关系，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法. 问：1. 两直线的位置关系？2. 两直线的交点情况？3. 两点间的距离公式？

二、创设情境，引入课题

如图,在铁路的附近,有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来.那么怎样设计能使公

课 题：§1.5点到直线的距离公式

教学目标：

1、知识与技能

（1）让学生理解点到直线距离公式的推导过程 ，掌握点到直线距离公式及

其简单应用；

（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。 2、过程与方法

（1）通过推导公式方法的发现，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、

数学表达等基本数学思维能力；

（2）在推导过程中，渗透数形结合、转化化归等数学思想以及特殊与一般

的方法.

3、情感态度与价值观

引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神。同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣。

教学重点： 点到直线距离公式和简单应用． 教学难点： 点到直线距离公式的推导．

教学方法： 小组讨论、合作探究学习，教师启发讲授。 教学手段: 多媒体教学。 教学过程:

一、复习回顾

前面几节课，我们一起研究学习了两直线的位置关系，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法. 问：1. 两直线的位置关系？2. 两直线的交点情况？3. 两点间的距离公式？

二、创设情境，引入课题

如图,在铁路的附近,有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来.那么怎样设计能使公

张喜林制

2.2.4 点到直线的距离

教材知识检索

考点知识清单

1．点到直线的距离公式设P(x1,y1)是平面上一点，直线l:Ax By C 0(AB不同时为零），则P到L的距离d

2．平行线之间的距离公式

两条平行线l1:Ax By C1 0与l2:Ax By C2 0（A、B不同时为零）之间的距离d 要点核心解读

1． 点到直线的距离

点P(x1,y1)到直线Ax By C 0的距离

d |Ax1 By1 C|

A B22

(1)如果给出的方程不是一般式，应先将方程化为一般式方程．

(2)若点P在直线上，点P到直线的距离为零，距离公式仍然成立．

(3)求点到直线的距离的计算步骤：

①给点的坐标赋值：x1 ?,y1 ?,

②给A、B、C赋值：A ?,B ?,C ?; ③计算d |Ax1 By1 C|

A B22;

④给出d的值．

(4)点到几种特殊直线的距离．

①点P(x0,y0)到x轴的距离d

y0|;

②点P(x0,y0)到y 轴的距离d |x0|;

③点P(x0,y0)到直线y a的距离d |y0 a|;

④点P(x0,y0)到直线x a的距离d |x0 a|.

2．两条平行直线间的距离

两条平行直线l1:Ax By C1 0与l2:Ax By C2 0的距离为

d |C1 C

教学设计:点到直线的距离公式 设计者：卢伟峰

一、教学分析:

1、教学内容的分析: 点到直线的距离公式是《平面解析几何》第一章最后一节内容，是在研究了平面内直线的方程，两直线的位置关系的基础上的一个重要内容，它既是第一章的终点部分，又是第二章解决一些轨迹问题的基础，同时，这节课也是培养学生迁移，联想及探索创新能力的好素材。

2、学生的分析：学生刚学完两条直线的位置关系，在处理一些简单问题上有了一个明显的认识，但在较复杂的应用方面还不够熟练，所以进行必要的引导很有必要

二、教学目标：（依据教纲和本节教材的特点确定） （1）知识目标：A：理解点到直线距离公式的推导过程。

B：掌握点到直线的距离公式。

（2）能力目标：培养学生迁移，联想能力，逻辑思维能力，数

形结合能力。

（3） 情感目标：通过多种手法，进行数学的美学教育，提高学生

的学习积极性。

三、教学重点：点到直线的距离公式。

四、教学难点：引导学生迁移，联想，创新思维，找出证明途径。 五、教学关键：教师必须抓住学生思维的火花，让学生的内在动机外

显行为化。

六、教法分析:（遵循“教师为主导，学生为主体”的原则） 1、教师必

教学设计:点到直线的距离公式 设计者：卢伟峰

一、教学分析:

1、教学内容的分析: 点到直线的距离公式是《平面解析几何》第一章最后一节内容，是在研究了平面内直线的方程，两直线的位置关系的基础上的一个重要内容，它既是第一章的终点部分，又是第二章解决一些轨迹问题的基础，同时，这节课也是培养学生迁移，联想及探索创新能力的好素材。

2、学生的分析：学生刚学完两条直线的位置关系，在处理一些简单问题上有了一个明显的认识，但在较复杂的应用方面还不够熟练，所以进行必要的引导很有必要

二、教学目标：（依据教纲和本节教材的特点确定） （1）知识目标：A：理解点到直线距离公式的推导过程。

B：掌握点到直线的距离公式。

（2）能力目标：培养学生迁移，联想能力，逻辑思维能力，数

形结合能力。

（3） 情感目标：通过多种手法，进行数学的美学教育，提高学生

的学习积极性。

三、教学重点：点到直线的距离公式。

四、教学难点：引导学生迁移，联想，创新思维，找出证明途径。 五、教学关键：教师必须抓住学生思维的火花，让学生的内在动机外

显行为化。

六、教法分析:（遵循“教师为主导，学生为主体”的原则） 1、教师必

点到直线距离公式说课稿

尊敬的各位领导、老师上午好，我叫顾客。今天我说课的课题是点到直线的距离公式（进行板书：§2.2.4 点到直线的距离）

本节选自人教B版必修二第二章第二节的内容，下面我将通过五个方面来进行阐述。

第一个方面是教材分析。本节内容在解析几何中具有重要的意义与地位，它是从初中平面几何的定性作图，过渡到了高中解析几何的定量计算。对本节的研究，既是两点间距离公式的继续，又为两条平行直线的距离的推导以及后面直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习，奠定了基础。因此，本节课的学习具有承上启下的重要作用。

本节课的讲授对象是高二学生，她们在思维上具有一定的观察能力、概括能力、这就为教学的展开做好了认知上的准备。内容上学生已经学习了两点之间的距离公式，具备直线的基础知识，对坐标法解决几何问题也有初步的认识。但是，学生仍有一定的认知困难，且思维发展不平衡，因此在教学过程中要注意差异性，层次性。

第二个方面教学目标。依据对教材分析以及新课标对本节课的教学要求，我将教学目标制定如下：

一、知识与技能

通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。 二、过程与方法

通过推导公式，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、数学表达等基本数学思

第 二 章

入门答辩2.1. 62.1

理解教材新知 新知自解考点一

平 面 解 析 几 何 初 步

直 线 与 方 程

点 到 直 线 的 距 离

把握热点考向考点二 考点三 应用创新演练

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在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与

之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短.将铁路看作一条直线l,仓库看作点P.

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问题1:在直角坐标系中，若P(a,0),则P到y轴的距离是多少？ 提示：|a|. 问题2:在直角坐标系中，若P(x0,y0),则P到x轴、y 轴的距离分别是多少？

提示：|y0|,|x0|.

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问题3:在直角坐标系中，若P(x0,y0),则P到直线l: Ax+By+C=0的距离是不是过点P的直线l的垂线段的长 度？ 提示：是.

问题4:若过P(x0,y0)的直线l′与l:Ax+By+C=0平行，那么点P到l的距离与l′与l的距离相等吗？ 提示：相等.

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点到直线的距离公式 点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离记为 d,则|Ax0+By0+C| A2+B2

d=

.

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1.理解点到直线的距离公式应注意以下几点(1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连 线的最短距离. (2)点到直线的距离公式适

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椭圆上的点到直线距离最值问题

作者：饶雄

来源：《高中生学习·高二版》2016年第03期

在解析几何中，椭圆上的点到直线的最短（长）距离或求动点到定直线的最短（长）距离，是我们经常遇到的问题，要解决它可以从多个方面入手.如归结为数形结合判别式法、参数方程法和柯西不等式法，以下我们举例说明. 数形结合判别式法

例1 求椭圆[x24+y212=1]上一点到直线l∶y=x-5的距离的最小值.

分析 作出直线[l]及椭圆（如图），观察图形，可以发现，利用平行直线与椭圆只有一个交点，可以求得相应的最小距离.

[F1][F][O][x][y][y=x-5]解 如图，虚线为与椭圆相切且与直线[y=x-5]平行的直线，而此直线与[y=x-5]之距即为所求.

设虚线的直线方程为y=x+b， [∴x24+y212=1，y=x+b.] 化简得[4x2+2bx+b2-12=0]. ∵相切， ∴Δ=0.

∴b=±4，由图可知b=-4，

十二种方法推导点到直线的距离公式

十二种点到直线距离公式证明方法

用高中数学知识推导点到直线的距离公式的方法． 已知点P(X0，Y0)直线l：Ax+By+C=0 (A、B均不为0)，求点P到直线I的距离。(因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线) 《1．用定义法推导》

点P到直线l的距离是点P到直线l 的垂线段的长，设点P到直线l的垂线为垂足为Q，由l垂直l’可知l’的斜率为B/A

十二种方法推导点到直线的距离公式

《2，用设而不求法推导》

十二种方法推导点到直线的距离公式

《3，用目标函数法推导》

十二种方法推导点到直线的距离公式

《4，用柯西不等式推导》

“求证：(a+b )(c+d)≥(ac+bd),当且仅当ad=bc，即a/c=b/d时等号成立。”实为柯西不等式的最简形式，用它可以非常方便地2 2222推出点到直线的距离公式。

十二种方法推导点到直线的距离公式

《5．用解直角三角形法推导》

设直线l的倾斜角为，过点P作PM∥y轴交l于G(x1 ，y1)，显然Xl=x。，所以

十二种方法推导点到直线的距离公式

《6，用三角形面积公式推导》

十二种方法推导点到直线的距离公式

《7．用向量法推导》

十二种方法推导点到直线的距离公式

《8．用向量射影公式推导》

十二种方法推