三角函数的经典题型

三角函数的诱导公式(第一课时)

(一)复习提问，引入新课 思考 如何求 cos150 ?150 y

30 想到150 的三角函数值与 30 角的三角函数值可能存在一定 x 的关系 为了使讨论具有一般性，我们来 研究任意角 的三角函数值的求 法.

O

(二)新课讲授由三角函数的定义我们可以知道：

终边相同的角的同一三角函数值相同sin ( 2k ) sin ( k Z) cos( 2k ) cos (k Z) tan( 2k ) tan (k Z)

(公式一)

我们来研究角 与 的三角函数值之间的关系 y

因为r=1,所以我们得到：y x sin ______, cos ______, P(x,y) -y x , sin( ) _____, cos( ) ____ x 由同角三角函数关系得 sin ( ) sin tan( ) tan cos( ) cos

M

O

P' (x, y)

sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan

(公式二)

思考 P '

一：计算题

1.已知x 2sin )x (tan f =，则)1(-f 的值是 。

2.已知x x f 3cos )(cos =，则)(sin x f 等于（ ）

（A ）x 3sin （B ）x 3cos （C ）x 3sin - （D ）x 3cos -

3.已知31)4tan(,21)tan(-=-=+παβα，则)4

tan(πβ+的值为 4.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3

π=x 对称的是（ ） A ．sin(2)3π=-y x B.sin(2)6π=-y x C.sin(2)6π=+y x D.sin()23

π=+x y 5.函数sin cos y x x =-的最大值为

6.函数x x y cos sin 3+=，]2

,2[ππ-∈x 的最大值为 7.下列函数中,周期为π的偶函数是（ ）

A.cos y x =

B.sin 2y x =

C. tan y x =

D. sin(2)2y x π=+

8. 已知函数x x x f sin )(=，则)(x f ( )

A ．

典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①?120?；②640?；③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S， 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?： ①80?；②?51?；③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度；

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度；⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式，并判断其所在象限.

19π； 3(2)-315°； (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是（）

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?；⑵1110?；⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3，3)，则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?，3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?，

典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①?120?；②640?；③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S， 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?： ①80?；②?51?；③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度；

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度；⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式，并判断其所在象限.

19π； 3(2)-315°； (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是（）

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?；⑵1110?；⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3，3)，则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?，3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?，

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三角函数解三角形题型归类

一知识归纳：

（一）任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念

(1)任意角：①定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；②分类：角按旋转方向分为 、 和 ．

(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝ ．

(3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 ，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数 ，零角的弧度数是 . π(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，

180

?180?

?1 rad＝??π?°. ??

1(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr2

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三角函数解三角形题型归类

一知识归纳：

（一）任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念

(1)任意角：①定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；②分类：角按旋转方向分为 、 和 ．

(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝ ．

(3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 ，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数 ，零角的弧度数是 . π(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，

180

?180?

?1 rad＝??π?°. ??

1(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr2

倍角的三角函数

一、选择题

1、已知（）

A．B．C．D．

2、化简的结果是（）

A．1B．－1C．0D．2

3、sin6°·cos24°·sin78°·cos48°=（）

A．B．C．D．

4、若（）

A．-2cosθB．2cosθC．2sinθD．－2sinθ

5、已知，且α是第二象限角，则（）

A．B．5C．5或D．－5或

6、化简（）

A．2sin4B．2sin4－4cos4C．4cos4－2sin4

D．－2sin4 7、（）

A．-1B．0C．1D．2

8、若sinαsinβ＋cosαcosβ=0，则sinαcosα＋sinβcosβ=（）

A．-1B．0C．1D．

9、已知cos(α＋β)·cos(α－β)=则cos2α－sin2β=（）

A．B．C．D．

10、若（）

A．0B．2C．-2D．-4

二、填空题

11、若则cos4A=________________.

______________________.

12、已知θ为第二象限角，且

三、解答题

13、求值：.

14、已知的值.

15、已知sinθ＋sin2θ=a,cosθ＋cos2θ=b.求证：(a2＋b2)(a2＋b2－3)=2b.

答案：一、DCABA DCBCD

提示：

2、原式=

3、原式=

6、原式=2|sin4－cos4

1 三角函数九种经典类型题

类型一 同角三角函数关系式的应用

1、(1)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2

θ＝________.

(2)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2

，则cos α－sin α的值为________． 答案 (1)45 (2)32

解析 (1)由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ

＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ

＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2sin 2θcos 2θ

＋1 ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45

. (2)∵5π4＜α＜3π2

， ∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α，

∴cos α－sin α＞0.

又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34

， ∴cos α－sin α＝32. 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α

＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公

三角函数、解三角形讲义

三角函数

（1）已知sin??m?34?2m?，cos??（????），则tan?? （ ） m?5m?524?2mm?3535A、 B、? C、? D、?或?

m?34?2m12412

（2）若A??0,??,且sinA?cosA?5sinA?4cosA7,则?_______________. 1315sinA?7cosA

（3）已知sin??m，求cos?的值及相应?的取值范围。 (4)

（5）已知角?的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线y?2x上，则，

cos2??（ ）

A ?

(6）若0＜?＜（ ） （A）

2343 B ? C D

3455?2，-???3?1?，则cos(??)?＜?＜0，cos(??)?，cos(?)?423243233536 （B）? （C） （D）?3399

???)cos2???(7)计算2cos2(??)tan(4的值

A -2 B 2 C-1

三角函数、解三角形讲义

三角函数

（1）已知sin??m?34?2m?，cos??（????），则tan?? （ ） m?5m?524?2mm?3535A、 B、? C、? D、?或?

m?34?2m12412

（2）若A??0,??,且sinA?cosA?5sinA?4cosA7,则?_______________. 1315sinA?7cosA

（3）已知sin??m，求cos?的值及相应?的取值范围。 (4)

（5）已知角?的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线y?2x上，则，

cos2??（ ）

A ?

(6）若0＜?＜（ ） （A）

2343 B ? C D

3455?2，-???3?1?，则cos(??)?＜?＜0，cos(??)?，cos(?)?423243233536 （B）? （C） （D）?3399

???)cos2???(7)计算2cos2(??)tan(4的值

A -2 B 2 C-1