常微分方程小论文3000

常微分方程 小论文 关于一类方程系数与解的研究

课 程 小 论 文

论文名称： 关于y'' ay' b 0的系数与解的研究

所属课程: 常 微 分 方 程

授课教师: **********

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2010年1月

常微分方程 小论文 关于一类方程系数与解的研究

[摘要]

本文就关于方程y'' ay' b 0的解的相关性质与其系数的关系进行了研究，选取了4道例题作为相关题型的代表。

[正文]

关于y'' ay' b 0的系数与解的研究

方程y'' ay' b 0是在解高阶线性微分方程中经常遇到的一类方程，而关于其系数与解的题型也非常多。本文独辟蹊径，并不是给定系数，去计算其解的性质，而是针对各种对解的要求，来计算其系数。从这种观点来思考问题或许会对今后解这类题型有所帮助。

[例１]当a和b取何值时，方程y'' ay' b 0的所有解在整条数轴 x 上是有界

的？

a[解] 首先求出特征方程 b

0的根。有

同济大学五版高等数学学习资料

第六章 常微分方程

一． 求解下列微分方程： 1. y' ex y

+ex=0.

解.

dydx=ex(e y 1), dye y 1

=exdx ln1 ey

=ex, 1 ey=cee xc

y=ln(1 ce

e x

).

2. dy dx

=(1 y2

)tanx

y(0)=2

解.

dy

1 y

2

=tanxdx

11+12lncy1 y= lncosx, y(0) = 2, 2lnc1+21 2=0, ln

1+y13+cos2x

3(1 y)=lncos2x, y=3 cos2x

二. 求解下列微分方程：

1. x x

1+ey 1 x

dx+ey

y dy=0 xey

x

1 解. dx y dy

=x

. 1+ey

令

x

y

=u,x=yu.(将y看成自变量) dxdy=u+ydudy

, 所以 u+ydudy=eu(u 1)

1+eu duueu euudy1+eu u= +eu

y=1+eu

c= 1

3

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u+eu 1dyd(u+eu)dy1+eu

ln= ln=ln= , = , ydu c yu+euyyu+eu

x

cc1u+euy

常 微 分 方 程

试卷（一至十） 试 卷（一）

一、填空题（3′×10＝30′）

1、以y1＝e2x，y2=exsinx，y3=excosx为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程是 。

2、微分方程4x3y3dx+3x4y2dy=0的通积分是 。 3、柯西问题

dy?x，y（0）=1的解是 。 dx4、方程ydx-xdy=0的积分因子可取 。

5、证明初值问题的毕卡定理所构造的毕卡序列是 。 6、微分方程F(x，y，p)=0若有奇解y=? (x)，则y=? (x) 满足的P-判别式是 。 7、线性微分方程组

dY，Y2（x）…，Yn（x）?A(x)Y的解组Y1（x）

dx在某区间上线性无头的充分必要条件是 。 8、设A＝

1 0 1 0 0 -1 0 0 2 ，则矩阵指数函数exA＝ 。

9、方程y???y??y?0的通解是 。

10、由方程y????3ay???3ay??y?0的通解是 。 二、解下列各方程（7′×4＝28） 1、求方程

dyx?y?1?的通解： dxx?y?32、 (1+x2)y

第二章 微分方程方法

在应用数学方法解决实际问题的过程中，很多时候，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，在这种情况下，就需要我们建立微分方程模型来研究。事实上，微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在物理、工程技术、经济管理、军事、社会、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用.下面我们就介绍如何应用微分方程模型来解决实际问题.

利用微分方程解决的问题通常可以分为两类：一类问题要求把未知变量直接表示为已知量的函数，这时，有些问题可以求出未知函数的解析表达式，在很多情况下只能利用数值解法；另一类问题只要求知道未知函数的某些性质，或它的变化趋势，这时可以直接根据微分方程定性理论来研究.

2.1 微分方程的一般理论

2.1.1微分方程简介

所谓微分方程就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程?若未知函数是一元函数的微分方程? 叫常微分方程?而未知函数是多元函数的微分方程? 叫偏微分方程? 例如

y?4??4y'''?10y''?12y'?5y?sin2x （2.1.1） x2y''?12xy'?5y?0 (y')2?xy?0

南京理工大学《常微分方程》期末试卷

姓名 共 ----- 页

学号 南京理工大学 专业应用数学、统计 使用教材 （通编、讲义、自编） 修读性质 初修 、 重期末考试分数占总分数的百分比 % 考试方法 （闭、开）卷 考试时间 判卷人 讲授总学时 学分 教研室主任 密封线题人 题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 核分人 一． 求下列一阶微分方程的通解：（28分）

1．

dy?1?x?y2?xy2 dx

2. (x3?xy2)dx?(x2y?y3)dy?0dy?dy?3. ???x?y?0

dx?dx?dyyy2??2 4．

dxxx二. 设连续函数f(x)满足：三. 利用逐次逼近法求方程

2?x0（10分） f(t)dt?x??tf(x?t)dt，求函数f(x)。

0xdy?y2?x2满足初值条件y(0)?1的近似解： dx（8分） ?0(x),?1(x

第八章

常微分方程数值解法

摘要：对显式Euler方法来说,当解二阶连续可导时,其局部...(3.10)有解但解不唯一.不论如何选择这八个参数,不可能...算法8.1 经典Runge-Kutta方法本算法用经典Runge-... 关键词：导,论,算法 类别：专题技术

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常微分方程数值解法

教学目的 1. 掌握解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法；2. 掌握解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；3. 了解单步法的收敛性、相容性与稳定性；多步法的稳定性。

教学重点及难点 重点是解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法和解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；难点是理

常微分期终考试试卷(1)

一、 填空题（30%）

1、方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有只含x的积分因子的充要条件是（ ）。有只含y的积分因子的充要条件是______________。 ２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。 ３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。 ４、若X1(t),X2(t),?,Xn(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。 ５、形如___________________的方程称为欧拉方程。

６、若?(t)和?(t)都是x'?A(t)x的基解矩阵，则?(t)和?(t)具有的关系是_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（６０％） 1、ydx?(x?y3)dy?0 ２、x???x?sint?cos2t

??1??21??３、若A??试求方程组x?Ax的解?(t),?(0)?????并求??

1.求下列方程的通解。

dydx?4ey?ysinx?1.

解：方程可化为

dedx??e?4sinx?1

y 令z?ey，得

dzdx??z?4sinx

由一阶线性方程的求解公式，得 z?e?(?1)dx(?4sinxe??(?1)dx)dx?c?e?x?2(sinx?cosx)?e?c?2(sinx?cosx)?cex?x所以原方程为：ey＝2(sinx?cosx)?ce?x

2.求下列方程的通解。

dy2?2?y?1?()??1.

dx??解：设

dydx?p?sint，则有y?sect， 1?sectdt?c?从而x??sinttgt?sec2tdt?t?tgt?c ，

故方程的解为(x?c)2?1?y2， 另外y??1也是方程的解 .

3.求方程

解：?0(x)?0 ?1(x)? ?2(x)? ?3(x)??dydx?x?y通过(0,0)的第三次近似解.

2?x0xxdx?(x?1412x

42?0x)dx?12x?2120x

x5?x012152??x?(x?x)?dx??220??x?2?014117??10x?x?x?x?dx ?440020??x

812120x?514

2012－2013学年秋学期《常微分方程》考试要求

参考内 容 课 时 第一章初等积分法 §1基本概念， 5课时 §2变量分离方程.齐次方程 §3一阶线性方程.伯努利方程 §4全微分方程与积分因子 §5可降阶的二阶微分方程 7课时 第二章 线性微分方程 §1线性微分方程解的一般理论 §2常系数线性微分方程的解法 §4一般线性方程的一些解法 要 求 1. 能够判别并且求解变量分离方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程以及（教材中所讨论的三类）可降阶二阶微分方程; 2. 了解积分因子的定义; 能判别并求解仅与x(或y)有关的积分因子；对简单的方程能用“凑积分因子”求解（类似于§4例9） 3. 能把简单的积分方程转化为微分方程并求解 1. 了解线性微分方程的叠加原理、掌握线性微分方程的通解结构定理；朗斯基行列式. 2. 熟练求解常系数（齐次和非齐次）线性微分方程。 3. 一般线性方程要求掌握变量变换法（欧拉方程和和降阶法）、变动任意常数法，幂级数解法不作要求 1. 能用矩阵方法求解特征根都是单根时的常系数齐次线性微分方程组（有重根情形不要求） 2. 能用消元法求解常系数线性微分方程组（类似书中

第九章 常微分方程的数值解法主要内容§1、引言

§2、初值问题的数值解法--单步法§3、龙格-库塔方法

§4、收敛性与稳定性§5、初值问题的数值解法―多步法 §6、方程组和刚性方程 §7、习题和总结

§1、 引

言

主要内容

研究的问题 数值解法的意义

1.什么是微分方程 ? 现实世界中大多数事物 内部联系非常复杂

其状态随着 时间、地点、条件 的不同而不同 找出其状态和状态变化规律之间的相互联系， 也即一个或一些函数与他们的导数之间的关系

此种关系的数学表达就为

微分方程

2.数值求解微分方程的意义如何建立数学模型已在建模课程中得到讨论， 各类微分方程本身和他们的解所具有的特性 已在常微分方程及数学物理方程中得以解释， 本章专门 讨论

如何利用数值方法求解微分方程(组)的问题。

3.什么是微分方程 (组)的解析解?

3.什么是微分方 程(组)的解析解?

一个具有所要求阶连续导数的解析函数，将 它代入微分方程，恰使其所有条件都得到满 足的解称为解析解(或古典解),称为真解或解。 寻找解析解的过程称为求解微分方程。 y f ( x , y ), y ( x 0 ) y0