切线证明的几种常见模型

第1篇：证明切线的方法

证明切线的方法

证明一条直线是圆的切线，可分两种情况进行分析。

（1）圆和直线的唯一公共点已知，方法是：连半

径，证垂直（比较常用）。

（2）圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂

直，证半径。

例如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点O

在线段AB上，以O为圆心、OB为半径作圆交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E。DE是圆O的切线吗？

分析：这属于第一种情况，可以考虑连半径，再证垂直。

DE是切线。

证明：连接OD。

∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，

∴∠B＝∠C。

又∵OB＝OD，

∴∠B＝∠1。

∴∠1＝∠C。

而DE⊥AC，

∴∠C＋∠2＝90°。

∴∠1＋∠2＝90°。

∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD是圆O的半径。

∴DE是圆O的切线。

AB

第2篇：证明圆的切线方法

证明圆的切线方法

我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：

一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延

切线证明法

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30o．求证：DC是⊙O的切线．

【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．

【例3】如图2，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．

【例4】 如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？

A D A O B C D A O 图1 C B D C B O 图3 【例5】 如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．

【例6】 如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．

【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交B

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切线的证明方法和归纳：

1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点，连半径,证垂直.

(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：

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学习资料无交点,作垂直,证半径.

如图，已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。

求证：⊙O与AC相切。

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有交点，连半径,证垂直.

例1 如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心、OB长为半径的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

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已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线．

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相关题型

如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与AB边交于点D，连接C

幕墙立柱的几种常见力学计算模型 幕墙立柱的几种常见力学计算模型

幕墙立柱根据实际支撑条件一般可以按以下几种力学模型设计。

1、 简支梁

简支梁力学模型是《建筑幕墙工程技术规范》(JGJ102-2003)中推荐的立柱计算模型。在均布荷载作用下，其简化图形如图1.1。

User Page 1 7/25/2019

幕墙立柱的几种常见力学计算模型 由截面法可求得简支梁任意位置的弯矩为： 图1.1

qqlM??x2?x

22进而可解得：当x?l/2时，有弯矩最大值：Mmax?0.125ql2。

简支梁的变形可以按梁挠曲线的近似微分方程[1]：

d2yqlqxEI2??(x?) dx22经过两次积分可得简支梁的挠度方程为：

1qlx3qx4ql3xy??(??)

EI122424由于梁上外力及边界条件对于梁跨中点都是对称的，因此梁的挠曲线也是

对称的，则最大挠度截面发生在梁的中点位置。即：当x?l/2时，代入上式有：

5qkl4fmax?

384EI此种力学模型是目前我国幕墙行业使用的较广泛的形式，但由于没有考虑上下层立柱间的荷载的传递，因而计算结果偏于保守。

2、连续梁

在理想状态下，认为立柱上下接头处可以完全传递弯矩和剪力，其最大弯矩和变形可

切线的证法

1. 直线与圆只有唯一公共点，则直线是圆的切线

2. 圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线是圆的切线 3. 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线 一. 角平分线证相切：（作弦心距，利用勾股定理）

例：.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.

（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若

AC3AF

=,求的值。 AB5DF

练习2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F。 （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若sin∠ABC=

4

,CF=1,求⊙O的半径及EF的长。 5

3. 如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

F(2)若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长.

B

4.已知如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B、M两点的⊙O交BC

于点G，交AB于点F,FB恰为⊙O的直径. （1） 求证：AE与⊙O相切； （2）

中考数学专题突破：证明圆的切线

方法一：等角代换（☆☆☆☆☆） 方法二：利用平行线的性质（☆☆） 方法三：证明三角形全等或相似（☆） 方法四：算出角度 方法五：勾股定理

方法一：等角代换（找到与90度相等的角）

【2017山东潍坊22】如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）求证：EF为半圆O的切线；

【解析】（1）证明：连接OD， ∵D为

的中点，∴∠CAD=∠BAD，

∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO， ∴∠CAD=∠ADO， ∵DE⊥AC，∴∠E=90°，

∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°， ∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线；

【2017山东德州20】如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC

为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；

【解析】（1）证明：

连接OE、EC，

∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°， ∵D为BC的中点，∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2， ∵OE=OC，∴∠3=∠4，

∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB， ∵∠ACB=90°，∴∠OED=90

《认识几种常见的岩石》教学设计

【设计意图】

自然界的岩石种类是数不胜数的，面对这些岩石，学生该如何去辨别呢？这节课的标题是《认识几种常见的岩石》，通过观察，对比资料，这节课认识了这几种常见的岩石，但是时间一久，学生又马上会忘记。所以，这节课我在设计时把核心目标定位在“方法”上——通过观察几种常见的岩石，初步尝试像科学家那样用科学系统的方法来辨别岩石。希望通过活动，学生能认识其中的几种岩石，但最重要的还是学生尝试并初步学会这种方法的使用。

【教材分析】： （一）背景和目标

本课指导学生认识几种常见的岩石一页岩、砂岩、花岗岩、石灰岩、大理岩的特征。在观察上，不再只停留在颜色、光滑还是粗糙、是否透明等这些常见的物质属性方面，而是要进一步从岩石的结构、构造等方面进行观察。这是由于岩石是在各种不同地质条件作用下产生的，是按一定的结构和构造构成的，由矿物组合而成的矿物集合体。页岩、砂岩、花岗岩、石灰岩、大理岩这几种岩石从成因上分类分别属于沉积岩、岩浆岩、变质岩，在结构和构造上有显著的不同。通过本课教学，不仅认识这几种岩石的特性，还要进一步提高学生的观察能力和探究能力。这将为今后理解岩石的特性和成因之间的关系奠定一定的基础。 本课内容分为两部分:一是“进

运用联想探究圆锥曲线的切线方程

现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆x2?y2?r2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x?y0y?r2；当M(x0,y0)在圆外时，过M点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为x0x?y0y?r2。那么，在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。

联想一：（1）过椭圆x0xa2xa22?yb22?1(a?b?0)上一点M(x0,y0)切线方程为

xa22?y0yb2（2）当M(x0,y0)在椭圆?1；

x0xa2?yb22过M引切线有两条，?1的外部时，

过两切点的弦所在直线方程为：

xa22?y0yb2?1

2xa2证明：（1）?yb22?1的两边对x求导，得?2yy?b2?0，得y?x?x0??bx0ay022，由

点斜式得切线方程为y?y0??xa22bx0ay022(x?x0)，即

x0xa2?y0yb2?x0a22?y0b22?1 。

（2）设过椭圆?yb22?1(a?b?0)外一点M(x0,y0)引两条切线，切点分别

xxyy为A(x1,y1)、B(x2,y2)。由（1）可知过A、B两点的切线方程分别为：12?12?1、

abx1x0y1y0x2xy2yM(x,y)。又

2014.12.26圆的切线证明

1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.

求证：EF与⊙O相切.

（2011中考）2.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E,(1)求证：PB为⊙O的切线；（2）若tan∠ABE=

3 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.

求证：PA与⊙O相切.

1

E4 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M

求证：DM与⊙O相切.

D

5 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线

CP

1,求sin∠E. 2OB

6 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线.

7 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.

求证：CE与△CFG的外接圆相切.

A8. （2006北京中考）已知：如图，△ABC

1．学生定向

在这一阶段教师要向学生详细说明教学目标或课题，使学生了解所谓的掌握是什么涵义，自己应提供哪些证据证明自己已经达到教学的要求。

2．学习方法指导

在进行正式教学之前，须花上一些时间对尚未接受掌握教学的学生进行一定的指导，使学生明白学习程序与方法。主要指导事项包括：确立进行个别化教学的新观念与新态度；每个学生依据考试表现单独评定成绩，同学之间不作比较，鼓励每一个同学获得优良成绩，成为掌握者；鼓励同学之间互帮互助；学生在每一单元教学之后，均须接受测验并提供反馈/矫正程序；学生可以用不同方法实现预定的教学目标。

3．实施教学

首先进行班级团体教学，教学结束在移到下一单元教学之前，实施单元形成性测验，根据测验结果，把学生分成掌握组与非掌握组，给予非掌握组以补救性教材与教学，直到其掌握为止，方可进入下一单元教学。给予掌握组学生以充实性教学，使之进入第二单元教学。教师在教学中不断遵循“起始班级教学——诊断进步测验——证实掌握或实施个别修正”的顺序进行单元教学，在学期结束时，则对全班同学进行总结性评价。 形成性评价是掌握学习的一个重要手段，但这个手段不是用来对学生区分等级的，而是验明每个学生是否掌握了完成下一个学习任务所必需的知识技能。同时，布卢姆等人认