凸函数在高中数学应用

高中数学凸函数在高考中的应用专题辅导

田祚鹏

函数是高中数学中的边缘知识点，在苏教版高一新教材中由指数函数和对数函数中的两道探究拓展题（7155P P ）涉及，在人教版中由119P 的探索与研究阅读材料涉及。在近两年的高考中，全国各地的高考题和模拟题对函数的这一性质都有所考查。

凸函数的定义有几何定义、代数定义、切线定义等几种形式

（1）凸函数的几何定义（引自人教版高一数学教材119P ）

函数)x (f y =，任意))x (f ,x (M ))x (f ,x (M ,D x ,x 22211121、∈，如果函数)x (f y =在区间]x ,x [21上的图像总是在线段21M M 的下方，我们就说函数的图像在区间D 上是下凸的，这样的函数叫下凸函数；

函数)x (f y =，任质))x (f ,x (M ))x (f ,x (M ,D x ,x 22211121、∈，如果函数)x (f y =在区间]x ,x [21上的图像总是在线段21M M 的上方，我们就说函数的图像在区间D 上是上凸的，这样的函数叫上凸函数。

（2）凸函数的代数定义

设f(x)是定义在区间D 上的函数，若对于任何D x x 21∈、和实数)1,0(∈λ，有)x (f )1()x (

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数学游戏在高中数学教学中的应用

作者：穆海燕

来源：《中学课程辅导·教育科研》2019年第06期

【摘要】 ;作为数学老师一提起数学，学生闻“数”色变。许多学生因为在课堂上的一个环节没有跟上而在后面的学习中频频发出问号，对数学学习产生惧怕，认为数学与自己无缘最终无奈选择放弃。从数学教学方式上看，大多课堂都存在着“填鸭式”“一言堂”等传统教学现象，这样的教学方式在很大程度上扼杀了学生。科学家爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师”，只有让学生对数学这门课产生了浓厚的兴趣他们才会主动的参与进来去探索实践。而采用数学游戏不失为一种较好的解决方法，游戏的设定只有一个就是学生的热情和兴趣。好的数学教育其本质就是好玩，其次才是背后的教育意义，让数学游戏作为师生交流的催化剂，让学生通过实践进行自主的学习思考，主动发表自己的见解正是我们每一个教师最想看到的课堂。 【关键词】 ;数学游戏 高中 数学教学

【中图分类号】 ;G633.6 ; ; ; ; ; 【文献标识码】 ;A ; 【文章编号】 ;1992-7711（2019）06-216-01

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数学游戏在高中数学教学中的应用

作者：穆海燕

来源：《中学课程辅导·教育科研》2019年第06期

【摘要】 ;作为数学老师一提起数学，学生闻“数”色变。许多学生因为在课堂上的一个环节没有跟上而在后面的学习中频频发出问号，对数学学习产生惧怕，认为数学与自己无缘最终无奈选择放弃。从数学教学方式上看，大多课堂都存在着“填鸭式”“一言堂”等传统教学现象，这样的教学方式在很大程度上扼杀了学生。科学家爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师”，只有让学生对数学这门课产生了浓厚的兴趣他们才会主动的参与进来去探索实践。而采用数学游戏不失为一种较好的解决方法，游戏的设定只有一个就是学生的热情和兴趣。好的数学教育其本质就是好玩，其次才是背后的教育意义，让数学游戏作为师生交流的催化剂，让学生通过实践进行自主的学习思考，主动发表自己的见解正是我们每一个教师最想看到的课堂。 【关键词】 ;数学游戏 高中 数学教学

【中图分类号】 ;G633.6 ; ; ; ; ; 【文献标识码】 ;A ; 【文章编号】 ;1992-7711（2019）06-216-01

高考数学函数压轴题：

1. 已知函数f(x)?134x?ax?b(a,b?R)在x?2处取得的极小值是?. 33(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若x?[?4,3]时，有f(x)?m?m?210恒成立，求实数m的取值范围. 3

2

2. 某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数R (x)=3700x + 45x – 3

10x(单位：万元), 成本函数为C (x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本）

(1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x);

(2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?

(3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

3. 已知函数?(x)?5x2?5x?1(x?R)，函数y?f(x)的图象与?(x)的图象关于点

1(0,)中心对称。 2（1）求函数y?f(x)的解析式；

（2）如果g1(x)?f(x)，gn(x)?f[gn?1(x)](n?N,n?2)，试求出使g

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高中数学教学论文：浅谈二次函数在高中阶段的应

用

高中数学教学论文：浅谈二次函数在高中阶段的应用 一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射?：AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a0)与集合A的元素X对应，记为?(x)= ax2+ bx+c(a0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知?(x)= 2x2+x+2，求?(x+1)

这里不能把?(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。

类型Ⅱ：设?(x+

一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。

例1.若函数y = f（x）的定义域是[－2，2]，则函数y = f（x+1）+f（x－1）的定义域为 。

?练习：已知函数f(x)的定义域是??1,2? ，求函数f??log1?3?x?? 的定义域。

??2??例2：已知函数f?log3x?的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 练习：定义在?3,8?上的函数f(x)的值域为??2,2?，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为 ，值域为 。

例3.①对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. ② R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),由y=f(x+1)与y=f-1(x+2)互为反函数，则f(2009)= .

例4.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.

练习： 1. f(x)的定义域为(0,??)，对任意正

专题1 函数 (理科)

一、考点回顾

1.理解函数的概念，了解映射的概念.

2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.

3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析

考点一：函数的性质与图象

函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．

复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：

1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．

2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．

3．培养学生用运动变

《几何画板》

在高中数学教学中的应用

辽宁省沈阳市东北育才学校

徐秋慧

《几何画板》在高中数学教学中的应用 徐秋慧

对于数学科学来说主要是抽象思维和理论思维，这是事实；但从人类数学思维系统的发展来说，形象思维是最早出现的，并在数学研究和教学中都起着重要的作用。不难想象，一个没有得到形象思维培养的人会有很高的抽象思维、理论思维的能力。同样，一个学生如果根本不具备数学想象力，要把数学学好那也是不可能的。正如前苏联著名数学家A.H.柯尔莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。”因此，随着计算机多媒体的出现和飞速发展，在网络技术广泛应用于各个领域的同时，也给学校教育带来了一场深刻的变革——用计算机辅助教学，改善人们的认知环境——越来越受到重视。从国外引进的教育软件《几何画板》以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。那么，《几何画板》在高中数学教学中有哪些应用呢？作为一名高中数学教师笔者就此谈几点体会：

一、《几何画板》在高中代数

高考数学函数压轴题：

1. 已知函数f(x)?134x?ax?b(a,b?R)在x?2处取得的极小值是?. 33(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若x?[?4,3]时，有f(x)?m?m?210恒成立，求实数m的取值范围. 3

2

2. 某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数R (x)=3700x + 45x – 3

10x(单位：万元), 成本函数为C (x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本）

(1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x);

(2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?

(3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

3. 已知函数?(x)?5x2?5x?1(x?R)，函数y?f(x)的图象与?(x)的图象关于点

1(0,)中心对称。 2（1）求函数y?f(x)的解析式；

（2）如果g1(x)?f(x)，gn(x)?f[gn?1(x)](n?N,n?2)，试求出使g

导数在研究函数中的应用单元测试

一、选择题

1．下列函数在()

-+

，

∞∞内为单调函数的是（）

Ａ．2

y x x

=-Ｂ．y x

=

Ｃ．x

y e-

=Ｄ．sin

y x

=

答案：Ｃ

2．函数ln

y x x

=在区间(01)，上是（）

Ａ．单调增函数

Ｂ．单调减函数

Ｃ．在

1

e

??

?

??

，上是单调减函数，在

1

1

e

??

?

??

，上是单调增函数

Ｄ．在

1

e

??

?

??

，上是单调增函数，在

1

1

e

??

?

??

，上是单调减函数

答案：Ｃ

3．函数23

()(2)(1)

f x x x

=+-的极大值点是（）

Ａ．

4

5

x=-Ｂ．1

x=Ｃ．1

x=-Ｄ．2

x=-

答案：Ｄ

4．已知函数32

()

f x x px qx

=--的图象与x轴相切于(10)

，极大值为4

27

，极小值为（）

Ａ．极大值为4

27

，极小值为0

Ｂ．极大值为0，极小值为

4 27 -

Ｃ．极大值为0，极小值为

5 27 -

Ｄ．极大值为5

27

，极小值为0

答案：Ａ

5．函数2cos

y x x

=+在

π

2

??

??

??

，上取最大值时，x的值为（）

1

Ａ．0 Ｂ．π

6

Ｃ．

π

3

Ｄ．

π

2

答案：Ｂ

6．设函数()

f x在定义域内可导，()

y f x

=的图象如图1所示，则导函数()

y f x

'

=的图象可能为（）

答案：Ｂ

二、填空题

7．函数2

2ln(0)

y x x x

=->的单调增区间为