接触应力和弯曲应力区别

第5章 弯 曲 应 力 习题

(1) 如图5.18所示吊车梁，吊车的每个轮子对梁的作用力都是F，试问： ① 吊车在什么位置时，梁内的弯矩最大？最大弯矩等于多少？

② 吊车在什么位置时，梁的支座反力最大？最大支反力和最大剪力各等于多少？ (2) 如图5.19所示一由16号工字钢制成的简支梁承受集中荷载F，在梁的截面C—C处下边缘上，用标距s=20mm的应变仪量得纵向伸长?s=0.008mm。已知梁的跨长l=1.5m，a =1m，弹性模量E=210GPa。试求F力的大小。

图5.18 习题(1)图 图5.19 习题(2)图

(3) 由两根28a号槽钢组成的简支梁受三个集中力作用，如图5.20所示。已知该梁材料为Q235钢，其许用弯曲正应力[?]=170MPa。试求梁的许可荷载[F]。

图5.20 习题(3)图

(4) 简支梁的荷载情况及尺寸如图5.21所示，试求梁的下边缘的总伸长。

图5.21 习题(4)图

(5) 一简支木梁受力如图5.22所示，荷载F=5kN，距离a=0.7m，材料的许用弯曲正应力[?]=10MPa，横截面为

h=3的矩形。试按正应力强度条件确定梁横截面的尺寸。 b

图5.22 习题(5)图

(6) 如图5.2

一、概述

两个物体相互压紧时，在接触区附近产生的应力和变形，称为接触应力和接触变形。接触应力和接触变形具有明显的局部性，随着离开接触处的距离增加而迅速减小。材料在接触处的变形受到各方向的限制，接触区附近处在三向应力状态。在齿轮、滚动轴承、凸轮和机车车轮等机械零件的强度计算中，接触应力具有重要意义。

接触问题最先是由赫兹（H、Hertz）解决的，他得出了两个接触体之间由于法向力引起接触表面的应力和变形，其他研究者先后研究了接触面下的应力和切向力引起的接触问题等。 通常的接触问题计算，是建立在以下假设基础上的，即

1. 接触区处于弹性应力状态。

2. 接触面尺寸比物体接触点处的曲率半径小得多。

计算结果表明，接触面上的主应力大于接触面下的主应力，但最大切应力通常发生在接触面下某处 由于接触应力具有高度局部性和三轴性，在固定接触状态下，实际应力强度可能很高而没有引起明显的损伤。但接触应力往往具有周期性，可能引疲劳破坏、点蚀或表面剥落，因此，在确定接触许用应力时要考虑接触和线接触。当用接触面上最大应力建立强度条件时，许用应力与接触类型有关，点接触的许用应力是线接触的许用应力的1.3～1.4倍。

二、弹性接触应力与变

4-1(4-1) 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。 解：（a）

b）

c）

（ （

（d）

=

（e）

f）

（（g）

（h）

=

返回

4-2(4-2) 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：（a）

（b）

时

时

（c）

时

时

（d）

（e）

时，

返回

4-7(4-15) 试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。

返回

4-8(4-18) 圆弧形曲杆受力如图所示。已知曲杆轴线的半径为R，试写出任意横截面C上剪力、弯矩和轴力的表达式（表示成 角的函数），并作曲杆的剪力图、弯矩图和轴力图。

解：（a）

（b）

返回

4-9(4-19) 图示吊车梁，吊车的每个轮子对梁的作用力都是F，试问： （1）吊车在什么位置时，梁内的弯矩最大？最大弯矩等于多少？

（2）吊车在什么位置时，梁的支座反力最大？最大支反力和最大剪力各等于多少？

解：梁的弯矩最大值发生在某一集中荷载作用处。

，得：

当 时，

当M极大时： ，

则 ，故，

故 为梁内发生最大弯矩的截面

故：

=

返回

4-10(4-21) 长度

4-1(4-1) 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。 解：（a）

b）

c）

（ （

（d）

=

（e）

f）

（（g）

（h）

=

返回

4-2(4-2) 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：（a）

（b）

时

时

（c）

时

时

（d）

（e）

时，

时，

（f）AB段：

BC段：

（g）AB段内：

BC段内：

（h）AB段内：

返回

4-3(4-3) 试利用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。

BC段内：

CD段内：

返回

4-4(4-4) 试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。

返回

4-5(4-6) 已知简支梁的剪力图如图所示。试作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。 返回

4-6(4-7) 试根据图示简支梁的弯矩图作出梁的剪力图与荷载图。

返回

4-7(4-15) 试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。

返回

4-8(4-18) 圆弧

4-1(4-1) 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。 解：（a）

b）

c）

（ （

（d）

=

（e）

f）

（（g）

（h）

=

返回

4-2(4-2) 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：（a）

（b）

时

时

（c）

时

时

（d）

（e）

时，

时，

（f）AB段：

BC段：

（g）AB段内：

BC段内：

（h）AB段内：

返回

4-3(4-3) 试利用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。

BC段内：

CD段内：

返回

4-4(4-4) 试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。

返回

4-5(4-6) 已知简支梁的剪力图如图所示。试作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。 返回

4-6(4-7) 试根据图示简支梁的弯矩图作出梁的剪力图与荷载图。

返回

4-7(4-15) 试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。

返回

4-8(4-18) 圆弧

第五章 弯曲应力

内容提要

一、梁的正应力

Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲

纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。

横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x的函数，这种弯曲称为横力弯曲。

Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法：

1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；

2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律； 3. 由静力学关系得出正应力公式。 Ⅲ、中性层和中性轴

中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。

中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。

中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为

M?x?1 (5-1) ???x?EIz式中：??x?为变形后中性层的曲率半径，M?x?为弯矩，EIz为梁的弯曲刚度。(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。

Ⅳ、梁的正应力公式

1. 横截面上任一点的正应力为

??My (5-2) Iz正应力的大小与该点

弯曲应力

1. 圆形截面简支梁A、B套成，A、B层间不计摩擦，材料的弹性模量EB?2EA。求在外力偶矩Me作用下，A、B中最大

MeMe2ddlBA?Amax有4个答案： ?Bmin1111(A)； (B)； (C)； (D)。

64108正应力的比值答：B

2. 矩形截面纯弯梁，材料的抗拉弹性模量Et大于材料的抗压弹性模量Ec，则正应力在截面上的分布图有以下4种答案：

M(A)(B)(C)(D)答：C

3. 将厚度为2 mm的钢板尺与一曲面密实接触，已知测得钢

1尺点A处的应变为?，则该曲面在点A处的曲率半径

1000为 mm。 答：999 mm

4. 边长为a的正方形截面梁，按图示两种不同形式放置，在相同弯矩作用下，两者最大

(?)正应力之比maxa? 。

(?max)b答：1/2

2 mmA?Oaaz(a)(b)yth/2tzh/2tbz5. 一工字截面梁，截面尺寸如图，h?b, b?10t。试证明，此梁上,下翼缘承担的弯矩约为截面上总弯矩的88%。

BMy2MMt4, M1??y(ybdy)?1 820?证：?? IzIz?A3IzM1t41?1 820???88% Iz?6

弯曲应力

1. 圆形截面简支梁A、B套成，A、B层间不计摩擦，材料的弹性模量EB?2EA。求在外力偶矩Me作用下，A、B中最大

MeMe2ddlBA?Amax有4个答案： ?Bmin1111(A)； (B)； (C)； (D)。

64108正应力的比值答：B

2. 矩形截面纯弯梁，材料的抗拉弹性模量Et大于材料的抗压弹性模量Ec，则正应力在截面上的分布图有以下4种答案：

M(A)(B)(C)(D)答：C

3. 将厚度为2 mm的钢板尺与一曲面密实接触，已知测得钢

1尺点A处的应变为?，则该曲面在点A处的曲率半径

1000为 mm。 答：999 mm

4. 边长为a的正方形截面梁，按图示两种不同形式放置，在相同弯矩作用下，两者最大

(?)正应力之比maxa? 。

(?max)b答：1/2

2 mmA?Oaaz(a)(b)yth/2tzh/2tbz5. 一工字截面梁，截面尺寸如图，h?b, b?10t。试证明，此梁上,下翼缘承担的弯矩约为截面上总弯矩的88%。

BMy2MMt4, M1??y(ybdy)?1 820?证：?? IzIz?A3IzM1t41?1 820???88% Iz?6

第9章 弯曲应力与弯曲变形 习题解答

题9 – 1 试计算下列各截面图形对z轴的惯性矩Iz（单位为mm）。 50

(a)

100 20 60 (c)

C 350 100 150 20 800 500 C z 50 400 500 (b) 题9-1图

解：（a）yc?350?500?250?250?400?200?317mm

350?500?250?400?350?5003?2???IZ???317?250?350?500??12??

?250?4003?? ????317?200??250?400??12???1.73?109mm4500?800?400?400?550?375?431mm

500?800?400?550（b）yc??500?8003?2???IZ???431?400?500?800??12??

?400?5503?? ?????431?375?400?550??12???1.546?1010mm460?20?10?20?60?50?30?mm?

60?20?20?60?60?203?2???IZ???30?10?60?20?12???（c）yc?

?20?60?

第 五 章 弯 曲 应 力

一、是非判断题

1、设某段梁承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纵向纤维分别是伸长的和缩短的。

（ × ）

2、中性轴是梁的横截面与中性层的交线。梁发生平面弯曲时，其横截面绕中性轴旋转。

（ √ ）

3、 在非均质材料的等截面梁中，最大正应力?max不一定出现在Mmax的截面上。（ × ）

4、等截面梁产生纯弯曲时，变形前后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变。

（ √ ）

5、梁产生纯弯曲时，过梁内任一点的任一截面上的剪应力都等于零。 （ × ） 6、控制梁弯曲强度的主要因素是最大弯矩值。 （ × ） 7、横力弯曲时，横截面上的最大切应力不一定发生在截面的中性轴上。 （ √ ）

二、填空题

1、应用公式??My时，必须满足的两个条件是 满足平面假设 和 线弹性 。 Iz2、跨度较短的工字形截面梁，在横力弯曲条件下，危险点可能发生在 翼缘外边缘 、 翼缘腹板交接处 和 腹板中心 处。

3、 如图所示的矩形截面悬臂梁，其高为h、宽为b、长为l，